缺失投影數(shù)據(jù)的估計研究

鄭源彩

（中北大學 信息探測與處理技術(shù)研究所, 太原 030051）

0 引言

CT從理論上講是一個投影重建圖像的反問題，有其普遍性，在數(shù)學界已經(jīng)引起了廣泛的重視。CT作為一種技術(shù)，既有堅實的數(shù)學理論為依托，又有現(xiàn)代微電子和計算技術(shù)相支持。目前，CT已經(jīng)成為醫(yī)院中不可或缺的診斷工具和科研手段，在工業(yè)各個領(lǐng)域也得到廣泛的應(yīng)用[1]。

CT圖像重建算法是CT技術(shù)中較為關(guān)鍵的部分，CT重建算法[2]主要有濾波反投影重建算法和迭代重建算法。當投影數(shù)據(jù)完備、噪聲不很嚴重時，濾波反投影（CBP）等解析法可以得到很好的重建圖像，而且相比迭代算法速度較快，但其對投影數(shù)據(jù)的完備性要求較高，投影角度的偏少會導致明顯的偽影。在實際應(yīng)用中，由于考慮到劑量和對比度的因素，可能只掃描部分數(shù)據(jù)，如醫(yī)用CT掃描病人；或者受條件限制不能完整掃描物體，如工業(yè)CT掃描大型飛機等不規(guī)則物體的情況，這些都屬于不完全數(shù)據(jù)成像[3]。在CT掃描過程中，由于CT設(shè)備本身的結(jié)構(gòu)和重建算法的局限性以及病人自主或者非自主的運動破壞了投影數(shù)據(jù)的一致性和完整性，使得我們所采集到的投影信息缺失，因此，不完全投影數(shù)據(jù)的恢復算法被人們寄予厚望[1]。在投影數(shù)據(jù)缺失，投影角度受限的情況下，常采用代數(shù)重建算法（ART）及其改進算法，但由于ART算法運行速度較慢，耗時較多[4]。從而使得將不完全角度或缺失的投影數(shù)據(jù)進行估計并恢復其投影圖像是目前研究的一個難點。

在實際應(yīng)用中，要克服不完全投影數(shù)據(jù)為重建算法帶來的局限，就必須對不完全投影數(shù)據(jù)進行處理，使其完備化。

Kennan T.Smith于1984年首先提出了Lamda重建算法[5]，這也是研究不完全投影數(shù)據(jù)恢復領(lǐng)域的第一種算法，該算法的優(yōu)點是具有嚴格的局部性，適用于重建任意維的空間信息。但是，Lamda重建算法計算過于繁瑣。J.Wiegert, M.Bertram,T.Netsch等人[6]于2004年提出一種新的不完全投影數(shù)據(jù)恢復的方法，首先需要使用數(shù)學估計方法補全缺失的投影數(shù)據(jù)，然后利用數(shù)學方法對已知的不完全投影數(shù)據(jù)進行修正，但是，該方法必須要在錐角小于6度的情況下才有意義。Eric Todd Quinto[7]于2007年詳細討論了不完全數(shù)據(jù)的外部重建問題，即把物體外部視為感興趣區(qū)域，已知該部分的投影數(shù)據(jù)，而物體內(nèi)部區(qū)域的投影數(shù)據(jù)缺失的問題，并通過改進Lamda重建算法解決了這一問題。

插值方法在工程實踐和科學實驗中應(yīng)用非常廣泛，如信息技術(shù)中的圖像重建、圖像放大中，為避免圖像的失真所做的插值補點、建筑工程的外觀設(shè)計等[8]。常見的插值方法有最近鄰插值法、線性插值法及三樣條插值法等等。

1 投影數(shù)據(jù)估計方法

缺失投影數(shù)據(jù)的估計，目前國內(nèi)外都還沒有一個較好的解決方法，本文通過比較幾種常用的插值方法，將其運用到缺失投影數(shù)據(jù)的估計上，并對其投影圖像進行恢復，判斷其恢復效果。

1.1 最近鄰近插值

最近鄰插值是一種簡單的插值方法，它是通過計算與點P(x0, y0)臨近的4個點，并將與點P(x0, y0)最近的整數(shù)坐標點(x, y)的灰度值取為P(x0, y0)點灰度近似值。在P(x0, y0)點各相鄰像素間灰度變化較小時，這種方法是一種簡單快捷的方法。但當P(x0, y0)點相鄰像素間灰度值差異很大時，這種方法會產(chǎn)生較大的誤差，甚至會影響圖像質(zhì)量，且圖像有明顯的鋸齒狀，即存在灰度不連續(xù)。

1.2 雙線性插值

雙線性插值法是最近鄰插值法的一種改進，即用線性內(nèi)插方法，根據(jù)點P(x0, y0)的4個相鄰的灰度值，通過兩次插值計算出灰度值。由于雙線性插值法已經(jīng)考慮了點P(x0, y0)的直接鄰點對它的影響，因此一般可以得到令人滿意的結(jié)果。但這種方法具有低通濾波性質(zhì)，使高頻分量受到損失，使圖像細節(jié)退化而變得輪廓模糊，且該插值法計算量較大。

當在點P(x, y)處不是整數(shù)時，就要用周圍點內(nèi)插求出其值此時可用與之相鄰的4個整數(shù)位置上的像素灰度值進行插值。待求的像素灰度計算如下：

其中：α=x-[x]，β=x-[x]。

1.3 三次樣條插值

為了得到更為精確的灰度值，對于角度β下的投影數(shù)據(jù)gβ，插值區(qū)間為{pβ, qβ}，對于其坐標為x的位置，三次樣條插值：

2 實驗結(jié)果

采用雙線性插值法對缺失的投影數(shù)據(jù)進行估計，得到不同缺失情況下的投影恢復圖像。圖1為標準的Sheep-Logan頭部模型的投影；圖2分別為缺失1列，缺失4列，以及缺失50行20列數(shù)據(jù)的投影圖像；圖3則是采用插值法恢復數(shù)據(jù)的投影圖像。

圖1 Sheep-Logan頭部模型投影

圖2 缺失數(shù)據(jù)的投影圖像

圖3 恢復數(shù)據(jù)的投影圖像

3 結(jié)論

通過上圖可以看出盡管對缺失的投影數(shù)據(jù)進行了估計，但我們已有的先驗知識并不多，還不能較精確地逼近原來的數(shù)據(jù)，因此相對應(yīng)的投影圖像恢復的效果也不是很好。對此，本文只是做了個初步的嘗試。從圖中我們可以看到對于缺失多行或者多列數(shù)據(jù)的投影進行恢復，效果不是那么好，但是對于同時缺失某幾十行和某幾十列數(shù)據(jù)的投影其恢復效果較前面的要好。因此，對于缺失投影數(shù)據(jù)的估計將是未來專家學者們研究的一個方向。

[1] 羅海.CT圖像重建及運動偽影校正方法研究[D].合肥:中國科學技術(shù)大學,2011.

[2] 莊天戈.CT原理與算法[M].上海:上海交通大學出版社,1992.

[3] 高河偉,張麗,陳志強,程建平.有限角度CT圖像重建算法綜述[J].CT理論與應(yīng)用研究, 2006,15(1):46-50.

[4] 王浩.CT不完全投影數(shù)據(jù)重建算法研究[D].大連:大連理工大學,2008.

[5] Smith K.T.Inversion of the X-ray transform in inverse problems[J].SIAM-AMS Proceedings, 1984:41-52.

[6] Wiegert J,Bertramb M,Wulff J et al.3D ROI imaging for cone beam computed tomography[J]. International Congress Series, 2004:7-12.

[7] Quinto E T.Local algorithms in exterior tomography[J].Journal of Computational and Applied Mathematics,2007,199(1):141-148.

[8] 趙前進.關(guān)于數(shù)值分析中插值法教學的研究[J].安徽科技學院學報,2007,21(3):34-36.