法向接觸剛度對螺栓連接結構振動模態的影響研究

趙丹，艾延廷，翟學，陳勇

（沈陽航空航天大學航空航天工程學院，沈陽110036）

0 引言

在工程應用領域，如何正確處理零件與零件之間的連接或裝配關系是1項關鍵技術[1]。以往在對裝配體進行模態仿真和動力學分析時，由于分析模型的不確定，并且所需計算的工作量大，不得不簡化模型，如不考慮零件之間的連接配合關系，而是將裝配體中的各零件直接合并為1個整體，認為裝配件之間是剛性連接。由于有預載荷的機械裝配體（如螺栓法蘭連接）的接觸表面存在接觸應力，而接觸應力和接觸面粗糙度不同，使接觸面間形成分布不均勻的法向接觸剛度[2-3]，對整個裝配體的振動模態產生重要影響，使計算結果無法反映連接結構的實際情況[4]。隨著有限元和計算機技術的發展，出現了很多模擬螺栓預緊力的方法，如降溫法、滲透接觸法和層單元法等，但是這些方法計算復雜[5]，不利于工程應用。隨著研究不斷深入，有限元技術能越來越真實地模擬螺栓預緊力[6]。

本文以L型螺栓連接結構為例，建立了實際結構有限元分析模型，應用Ansys Workbench軟件中的螺栓預緊力模塊，通過優化L梁接觸面間的法向剛度因子優化了有限元計算結果，并與模態試驗結果進行了對比分析，驗證了該方法的有效性及適用性。

1 接觸剛度計算理論

根據赫茲理論[7]，2個彈性球體的接觸，可以轉換為具有當量曲率半徑和當量彈性模量的球體與剛性光滑平面的接觸。機械結合面實質上由2個粗糙表面組成，為便于研究，將其簡化成光滑與粗糙彈性表面相接觸。

設光滑表面距基準表面的距離為d，微凸體平均曲率半徑為R，彈性模量為E，微凸體的高峰分布的概率密度函數為φ(z)，則對于某個微凸體，其高度介于基準平面上z和z+d z之間的概率為φ(z)d z，因此，高度為z的任一微凸體的接觸概率為

若粗糙表面的微凸體數為m，則接觸的微凸體數為m'

其中高度介于z與z+d z之間的接觸點數應為mφ(z)d z，這些微凸體與光滑平面間的法向接近量均可作為(z-d)，可得預期的載荷W為

而為表面峰高分布的標準差。

由于真實接觸總是發生在輪廓面積的范圍內，微凸體數m應是指整個輪廓面積上包含的微凸體數。設n為單位輪廓面積上的微凸體數，則n=m/Ac。將式（3）的兩端同除以Ac得到

由式（5）可知，接觸表面間的距離h與載荷pc之間的關系是非線性的。但是，當h值在某一給定值的附近作微幅擾動時，可以近似地把這種關系線性化，并用一剛度系數進行表征，由于波紋的變形要遠小于微凸體的變形，計算剛度系數時，可忽略波紋變形的影響。每個波紋上的輪廓接觸面積均構成1個輪廓面積元，該面積元上的接觸效應可用彈性常數為k的分布彈簧來表征。對式（5）兩端取微分，可得

由式（4）、（6）可得

式中：d(d)為對距離d的微分。

從式(7)可得到分布彈簧剛度系數k的計算公式

由式（5）可知，表面特征參數為已知的情況下，相應的h值只與外載荷有關，將其代入式（8），便可求出

式中：C為表面特征參數已知時k中的常數；f（Pc）為由載荷確定的函數。

2個實際表面的接觸，各輪廓面積元可看成沿整個名義面積均勻分布，這些面積元之間相距1個波紋節距。若將每個面積元上的分布彈簧看成為1個彈簧束，故可用1組沿名義表面均布的彈簧束來表征，這些彈簧束的當量總剛度K為

在平面接觸的情況下，作用在1個波紋上的載荷與名義壓力成正比，若用nB表示粗糙表面單位名義面積上的波紋個數（即波紋分布密度），則總的輪廓面積Ac為

式中：Aa為名義接觸面積，即接觸表面積。

從式（12）中明顯可見，接觸面間的接觸剛度在表面特征參數已知和名義接觸面積一定的情況下，其大小只與外載荷有關。

2 接觸剛度有限元計算方法

2.1 剛性簡化的螺栓連接結構模態計算

對圖1所示結構進行完全剛性簡化，并基于Ansys workbench軟件對其進行模態分析。

在保證計算精度的前提下，模型中略去了螺紋，采用8節點單元劃分網格。仿真模型的材料特性：彈性模量取210 GPa，泊松比取0.3，密度取7850 kg/m3計算出前5階固有頻率，見表1。

表1 剛性簡化模型前5階固有頻率Hz

2.2 有限元模型

本文在建模過程中，忽略了螺紋結構。L型螺栓連接結構分析模型如圖2所示。其中1個梁的一端從端面到距離端面70 mm進行全約束，梁和螺栓材料彈性模量取210 GPa，泊松比取0.3，密度取7850 kg/m3。

Ansys Workbench軟件提供了強大的工作平臺，并簡化了傳統有限元軟件的復雜過程。2個L梁的接觸表面對有限元模型的振動模態起主要作用，其接觸類型設置為摩擦接觸。其他接觸表面對振動模態的影響較小。為了簡化計算，將其設置為綁定接觸。由于在振動過程中接觸面間的接觸狀況一直在改變，所以接觸剛度也會隨著改變，故所有接觸面間的接觸剛度為變量。

2.3 法向剛度因子優化方法

目前，廣泛應用有限元方法對非線性接觸問題進行分析，對非線性實體表面接觸，可使用罰函數或增強拉格朗日公式進行計算，2種方法都基于罰函數方程[8]

對于1個有限的接觸力Fn，存在1個法向剛度因子kn，kn越高，穿透量xp越小。

增強拉格朗日公式與罰函數法公式相比，增加了額外的控制自動減少滲透。kn是影響精度和收斂行為最重要的參數。法向剛度因子越大，結果越精確，收斂變得越困難；反之，穿透量越大，求解更快速、容易收斂。在工程應用中總是需要在結果精度和耗費時間上尋找平衡。

2.4 優化目標的選取

通過上述研究發現，改變法向剛度因子會對結構的固有頻率產生很大影響。本文接觸面法向剛度因子設為變化參數，程序優化中的目標函數為[6]：

3 結果分析

3.1 模態試驗

本文采用LMS SCADASⅢ型振動測量和分析系統及TestLab軟件進行振動測試與分析。試驗設備與系統如圖3、4所示。

試驗件為2個長200 mm、寬40 mm、厚10 mm的L型梁，梁結構螺栓安裝邊高40 mm。其中1個梁一端固定，另一端與另1個梁通過3個螺栓連接，組成1個組合式L型螺栓連接結構。測量時儀器的設定頻率測量范圍為0～4096 Hz，2個L型梁通過螺栓連接，一端用螺栓和鐵板固定在質量較大的試驗臺上，夾持長度為70 mm，其中螺栓為M6×30的標準件。梁的另一端（測點1）接1個質量較輕的加速度傳感器。

試驗中分別測得L型螺栓連接結構在擰緊力矩分別為1、3、5 N·m下的前5階固有頻率。

3.2 優化結果與試驗結果對比

通過Workbench軟件,改變螺栓預緊力的大小，并對接觸面法向剛度因子進行優化，計算出結構的固有頻率值，代到目標函數式（15），得到優化解，見表2～4。

表2 1 N·m的擰緊力矩下結構固有頻率

表3 3 N·m的擰緊力矩下結構固有頻率

表4 5 N·m的擰緊力矩下結構固有頻率

從表2～4中的試驗數據可知，螺栓連接結構的各階固有頻率隨螺栓擰緊力矩的增大而增大，且第4階固有頻率變化最大，其余各階固有頻率隨預緊力增大變化的趨勢增大。

4 結論

本文基于Ansys Workbench軟件，利用螺栓預緊力模塊，運用優化法向剛度因子方法對L型螺栓連接結構進行了模態分析，并與其試驗結果進行比較得出如下結論。

（1）螺栓預緊力對連接結構的法向接觸剛度影響較大，預緊力越大，法向接觸剛度越大。法向接觸剛度對結構的各階固有頻率也有較大的影響，法向接觸剛度越大，結構的各階固有頻率也就越大。

（2）將螺栓與連接結構作為1個整體進行一體化計算，計算值與試驗值的誤差較大，由此說明在對螺栓連接結構進行動力學特性仿真時，需要考慮螺栓預緊力對法向接觸剛度的影響，而不能簡單地用一體化計算方法進行模態分析。

（3）單獨使用螺栓預緊力模塊的有限元計算的結果與試驗結果對比誤差較大，說明在對螺栓連接結構進行動力學特性仿真時，不僅要考慮螺栓預緊力，并且要考慮接觸面法向剛度因子。結合使用螺栓預緊力模塊和法向剛度因子優化的方法，保證L型的螺栓連接結構模態分析計算的結果與試驗值誤差較小，最終滿足工程要求。

（4）在實際情況中，由于在振動中接觸面間的接觸間隔一直在改變，所以接觸剛度也會隨著改變，以往的有限元算法沒有考慮這一問題。本文在有限元分析時，充分考慮到了非線性振動問題，接觸剛度隨著振動過程不斷改變。所以，本文使用的方法更能準確地模擬螺栓預緊力，為今后深入研究非線性振動模態問題打下基礎。

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