正態分布場合下無失效數據的可靠性參數估計

徐天群，陳躍鵬，劉煥彬

(1.武漢理工大學a.理學院；b.自動化學院，武漢430070；2.黃岡師范學院 數學與信息科學學院，湖北黃州438000）

0 引言

在可靠性試驗中，獲得的數據一般是定數或定時截尾數據。在定時截尾試驗中，有時會遇到無失效數據，即在規定的時間內沒有樣品失效（r=0）。當產品可靠性不很高時，定時截尾數據中的失效數通常有r≥1，此時已有較成熟的統計方法來處理該類數據。但隨著科學技術的發展，產品的質量越來越高。在可靠性試驗中，“無失效數據”的現象越來越多。因此，對無失效數據進行可靠性研究具有很重要的應用價值。

自Martz和Waller[1]用無失效數據作驗證試驗以來，對無失效數據的研究已有二十多年的歷史了。在無失效數據的處理中，為了充分利用產品的各種先驗信息以提高估計的精度，常常采用Bayes方法。韓明[2給出了無失效數據情形超參數取某種先驗分布下失效概率的多層Bayes估計和E-Bayes估計。張曉冉[3]研究了無失效數據失效概率的單層Bayes迭代估計和多層Bayes迭代估計。傅惠民，張勇波[4]提出了一種正態分布定時無失效數據可靠性分析方法。張志華，姜禮平[5]利用分布函數的凹凸性，給出了正態分布場合下失效概率的Bayes估計，進而得到了產品可靠性指標的估計。李億民[6]給出了失效概率的多層Bayes估計，進而給出了正態分布參數及可靠度的估計。寧江凡[7]利用Bayes法和最小二乘法，給出了液體火箭發動機無失效條件下失效概率和可靠度的估計。

本文將給出正態分布參數及可靠度的E-Bayes估計和多層Bayes估計。

1 失效概率pi的E-Bayes估計和多層Bayes估計

假設某產品的壽命服從正態分布，即T～N(μ, σ2)，其密度函數為：

其中，t＞0，σ＞0。

對某產品進行m次定時截尾試驗，截尾時間為ti(t1＜t2＜…＜tm)，ni為相應的試驗樣品數，若整個試驗過程沒有一個樣品失效，則稱（ti，ni）（i=1，2，…，m）為無失效數據。這組無失效數據也可寫為（ti，si)（i=1，2，…,m）。其中， ；i=1，2，…,m。

文獻[8]提出了處理無失效數據的一種方法—加權最小二乘法。利用該方法對產品壽命分布的參數和可靠度進行估計時，首先是要給出時刻ti處失效概率pi=P(T＜ti)的估計p?i，其中T是產品的壽命；然后用加權最小二乘法估計壽命分布中的各個參數；最后給出可靠度的估計。其中關鍵是要給出失效概率pi的估計。

1.1 pi的E-Bayes估計的定義

若 pi的先驗分布為共軛分布—Beta分布，其密度函數為：

其中，a和b為兩個超參數，0＜pi＜1, a＞0, b＞0，為Beta函數。

在無失效數據中，認為產品的失效概率大的可能性小，小的可能性大，因此應取 pi的減函數作為 pi的先驗分布。通過求導知，當0＜a≤1, b＞1時，π(pi|a,b)為pi的減函數。

當a=1, b＞1時，π(pi|a,b)仍為 pi的減函數。由于在貝葉斯估計中，要考慮估計的穩健性，當先驗分布的尾部越細時，Bayes估計的穩健性越差，所以b不宜太大，假定b的一個上界為c，這樣可以確定b的范圍為1＜b＜c。當a=1時，pi的先驗分布為：

其中，0＜pi＜1, 1＜b＜c。

從定義可以看出，pi的E-Bayes估計是將的Bayes估計）對超參數b求數學期望（expectation）。

1.2 pi的E-Bayes估計和多層Bayes估計

定理1[2]對某產品做m次定時截尾試驗，所有樣品沒有一個失效，得到一組無失效數據為（ti，ni）(i=1，2，…，m)。記si=；i=1，2，…,m。若pi的先驗分布由式（2）給出，超參數b的先驗分布為（c＞1），則在平方損失函數下

（1）pi的E-Bayes估計為：

（2）pi的多層Bayes估計為：

定理2對某產品做m次定時截尾試驗，所有樣品沒有一個失效，得到一組無失效數據為（ti，ni）(i=1，2，…，m)。記si=；i=1，2，…,m。若pi的先驗分布由式（2）給出，超參數b的先驗分布為（1＜b＜c），則在平方損失函數下

（1）pi的E-Bayes估計為：

（2）pi的多層Bayes估計為：

證明：（1）在無失效數據情形下，pi的似然函數為[8]：

若pi的先驗分布由式（2）給出，則根據Bayes定理，pi的后驗分布為：

在平方損失函數下，pi的Bayes估計為后驗均值，即

若超參數b的先驗分布為

則pi的E-Bayes估計為:

（2）pi的多層先驗分布為:

pi的多層后驗分布為:

在平方損失函數下，pi的多層Bayes估計為后驗均值，即：

定理3對某產品做m次定時截尾試驗，所有樣品沒有一個失效，得到一組無失效數據為（ti，ni）(i=1，2，…，m)。記 si=；i=1，2，…,m。若pi的先驗分布由式（2）給出，超參數b的先驗分布為（1＜b＜c），則在平方損失函數下

（1）pi的E-Bayes估計為：

（2）pi的多層Bayes估計為：

該定理的證明同定理2，證明略。

2 正態分布參數及可靠度的E-Bayes估計和多層Bayes估計

假設某產品的壽命服從正態分布，其密度函數為式（1），則時刻t處可靠度的估計為，其中Φ(·)為標準正態分布的分布函數。

利用加權最小二乘法，得到參數μ和σ的估計分別為[8]：

由定理1、2、3可以得到失效概率pi在超參數b分別取3種先驗分布時的E-Bayes估計和多層Bayes估計：，用這些估計分別代替上面的，得出μ?和；再由分布函數即可求得時刻t正態分布可靠度的E-Bayes估計和多層Bayes估計分別為：(j=1,2，3)。

3 實例分析

3.1 軸承壽命分布的參數及可靠度的E-Bayes估計和多層Bayes估計的計算結果

某軸承的無失效數據[9]（單位時間：小時）如表1，假定軸承的壽命服從正態分布。

表1 軸承的無失效數據

表2 參數和可靠度的計算結果

表2 參數和可靠度的計算結果

?

3.2 經典方法可靠度的估計結果

經典方法[8]是指先利用次序統計量給出諸 pi的估計；然后利用加權最小二乘法來擬合正態分布曲線。用經典方法計算出該軸承壽命分布的參數和77小時處、277小時處可靠度的估計分別為：

3.3 結果分析

表3 參數和可靠度的計算結果

表3 參數和可靠度的計算結果

c 2 3 4 μ?EB2 σ?EB2 R?EB2（77）R?EB2（277）μ?HB2 σ?HB2 R?HB2（77）R?HB2（277）5 1560.9 590.7058 0.9940 0.9851 1564.9 592.8436 0.9940 0.9851 1603.6 614.5296 0.9935 0.9846 1615.4 620.6766 0.9934 0.9845 1644.5 637.0049 0.9931 0.9841 1665.1 647.5390 0.9929 0.9840 6 1683.8 658.3337 0.9927 0.9837 1713.3 673.1612 0.9925 0.9836 1721.7 678.6706 0.9923 0.9834 1760.0 697.5339 0.9921 0.9832

表4 參數和可靠度的計算結果

表4 參數和可靠度的計算結果

c 2 5 6 3 4 μ?EB3 σ?EB3 R?EB3（77）R?EB3（277）μ?HB3 σ?HB3 R?HB3（77）R?HB3（277）1601.2 613.3799 0.9935 0.9846 1605.5 615.7039 0.9935 0.9845 1696.8 666.2236 0.9925 0.9835 1706.8 671.4286 0.9924 0.9834 1794.9 719.4664 0.9915 0.9826 1809.8 726.9790 0.9914 0.9825 1894.1 772.4207 0.9907 0.9819 1913.1 781.7173 0.9906 0.9818 1994.1 824.9484 0.9899 0.9813 2016.4 835.6001 0.9899 0.9813

對表2～4分析如下：

（1）對不同的c，可靠度的E-Bayes估計和多層Bayes估計都是穩健的。在應用中，c可以取區間（2，6）的中點，即c=4。

（2）對相同的c和相同的時間t，在超參數取同一種先驗分布下，可靠度的E-Bayes估計和多層Bayes估計非常接近；可靠度的三種E-Bayes估計有：，三種多層Bayes估計有：；由經典方法得出的可靠度的估計比E-Bayes估計法和多層Bayes估計法要大（取c=4）。

（3）當c增大時，可靠度的E-Bayes估計和多層Bayes估計都減小。

4 結論

從定理1、2、3可看出，失效概率的E-Bayes估計表達式比多層Bayes估計簡單些。

從計算結果可看出，對超參數的同一種先驗分布，可靠度的E-Bayes估計(t)(j=1，2，3)和多層Bayes估計(j=1，2，3)結果非常接近。

[1]Martz H F，Waller R A.Zero-Failure（BAZE）Reliability Demonstra?tion Testing Procedure[J].Journal of Quality Technology,1979，11（3）.

[2]韓明.失效概率的E-Bayes估計及其性質[J].數學物理學報，2007， 27A（3）.

[3]張曉冉，張海娟，高作峰.無失效數據的一類迭代Bayes分析[J].武漢大學學報（理學版），2009，55（4）.

[4]傅惠民，張勇波.正態分布定時無失效數據可靠性分析方法[J].航空動力學報，2010，25（2）.

[5]張志華，姜禮平.正態分布場合下無失效數據的統計分析[J].工程數學學報，2005，22（4）.

[6]李億民.正態分布無失效數據的多重Bayes方法[J].山東理工大學學報，2010，24（2）.

[7]寧江凡，鄢小清，張士峰.液體火箭發動機無失效條件下的可靠性分析方法[J].國防科技大學學報，2006，28（5）.

[8]茆詩松，羅朝斌.無失效數據的可靠性分析[J].數理統計與應用概率，1989，4（4）.

[9]茆詩松，夏劍鋒，管文琪.軸承壽命試驗中無失效數據的處理[J].應用概率統計，1993，9（3）.