基于仿真的粘滯阻尼系數(shù)對(duì)剛體接觸力影響的分析

紀(jì)寧毅，李 虎

（中國(guó)船級(jí)社質(zhì)量認(rèn)證南京分公司，江蘇 南 京 2 10011）

美國(guó)MSC公司的仿真分析軟件ADAMS，是著名的機(jī)械系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)仿真分析軟件。在ADAMS軟件中，盡管可以定義多種二維或者三維的接觸關(guān)系，但是求解的準(zhǔn)確性往往讓人不是很滿意。究其原因，筆者認(rèn)為是在運(yùn)用該軟件仿真分析與處理問題過程中的參數(shù)設(shè)置不當(dāng)造成的。本文基于粘滯阻尼理論對(duì)機(jī)械系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)仿真分析軟件ADAMS中的機(jī)構(gòu)系統(tǒng)多接觸參數(shù)設(shè)置問題，作一些初步研究與探討。

1 ADAMS中多接觸求解的問題

由于ADAMS對(duì)多接觸問題的求解穩(wěn)定性并不是太高，導(dǎo)致了該軟件對(duì)多接觸問題的求解條件要求比較苛刻。筆者經(jīng)過長(zhǎng)時(shí)間的摸索發(fā)現(xiàn)，在模型簡(jiǎn)化、約束添加、仿真步長(zhǎng)與求解器選擇均符合仿真分析要求的前提下，依據(jù)模型材料特性和幾何特性，對(duì)多接觸仿真分析參數(shù)的選取，將決定了多接觸問題的求解結(jié)果正確與否。機(jī)構(gòu)的多接觸仿真參數(shù)選取得不當(dāng)，仿真結(jié)果將受影響，甚至在某些嚴(yán)重的情況下，會(huì)造成接觸體間相互穿透，如同沒有定義接觸。

2 粘滯阻尼

在機(jī)械系統(tǒng)中，粘滯阻尼是最常用的一種阻尼模型，系統(tǒng)通過把構(gòu)件間的碰撞接觸力，定義成一種非線性的彈簧阻尼系統(tǒng)模型進(jìn)行計(jì)算，即接觸力由兩部分組成：非線性彈簧單元和線性阻尼單元。發(fā)生接觸碰撞的構(gòu)件材料等效剛度，當(dāng)作彈簧單元的剛度，阻尼單元用于計(jì)算能量的損失[3]。

碰撞接觸力的表達(dá)式為[1]

對(duì)于式（1）中的非線性彈簧部分Kδq，可由Hertz碰撞模型直接獲得[7]，即

其中，

K為接觸體的等效剛度，取決于接觸物體的材料和結(jié)構(gòu)形狀；

δ為瞬態(tài)切膚深度；

q為冪指數(shù)；

E為等效彈性模量；

E1和E2分別是兩物體材料的彈性模量；

R為接觸體的等效曲率半徑；

R1和R2分別是兩物體接觸處的當(dāng)量曲率半徑；

μ1和μ2分別為兩物體的泊松比。

機(jī)械系統(tǒng)中的絕大部分接觸碰撞，并非是相對(duì)靜止不動(dòng)的，而是屬于動(dòng)態(tài)的接觸碰撞，接觸體相互靠近的距離是個(gè)變量，同時(shí)考慮到能量的守恒與損耗，在非線性彈簧部分后加入阻尼項(xiàng)c*dδ/dt，形成一個(gè)非線性的彈簧阻尼系統(tǒng)，則

為了避免求解函數(shù)變量在接觸瞬間，由于階躍突變而引起的不連續(xù)，系統(tǒng)把阻尼系數(shù)c定義成一個(gè)step函數(shù)，即

將式（6）帶入式（5），即可得到碰撞接觸力的表達(dá)式（1）。

式（6）中，

dmax為最大切膚深度；

cmax為最大阻尼系數(shù)。

dmax的作用，在于定義系統(tǒng)的阻尼何時(shí)達(dá)到最大值。

當(dāng)兩物體接觸后的瞬態(tài)接觸切膚深度δ≥dmax時(shí)，阻尼系統(tǒng)中阻尼系數(shù)的取值為cmax；

當(dāng)0≤δ＜dmax時(shí)，阻尼系統(tǒng)中的阻尼系數(shù)由step函數(shù)決定，其大小與切膚深度的關(guān)系變化如圖1所示。

step函數(shù)是一個(gè)3次多項(xiàng)式，當(dāng)瞬態(tài)接觸切膚深度δ=0時(shí)，阻尼系數(shù)c=0；

當(dāng) δ=dmax時(shí)，c=cmax，然后保持不變。

Lankarani和Nikravesh曾提出確定式(1)中阻尼單元的最大阻尼系數(shù)cmax的方法[8]：

式(7)中ζ被稱為滯后阻尼因子，而且

式（8）中的等效剛度 K 可由式（2）獲得，δ觶(-)是兩物體碰撞前在接觸點(diǎn)公法線方向的相對(duì)速度，即

νi(-)和νj(-)分別為兩物體碰撞前碰撞點(diǎn)的速度在接觸點(diǎn)公法線方向的投影，e為恢復(fù)系數(shù)，它表示物體在碰撞后速度恢復(fù)程度，也表示物體變形恢復(fù)的程度，并且反映了兩個(gè)物體在碰撞過程中機(jī)械能損失的程度。

由式（8）可知，滯后阻尼因子ζ不僅與碰撞實(shí)驗(yàn)測(cè)得的恢復(fù)系數(shù)e和碰撞前物體接觸點(diǎn)公法線方向的相對(duì)速度δ觶(-)有關(guān)，同時(shí)也與等效剛度K有關(guān)。所以，最大阻尼系數(shù)cmax不僅與兩碰撞物體本身材料屬性（楊氏模量、泊松比等）有關(guān)，同時(shí)也與兩碰撞物體的幾何特性及運(yùn)動(dòng)特性有關(guān)。

3 仿真實(shí)例分析

為了能夠更形象直觀地闡述在多接觸仿真分析過程中最大阻尼系數(shù)對(duì)仿真結(jié)果的影響，本文特選取兩種典型的多接觸模型加以舉例分析說明。該模型分別如圖2、圖3所示。

圖1 球碰撞板

圖2 斜齒輪接觸模型

圖1為一球體從具有一定高度的位置自由落體與放置在地面的長(zhǎng)形板體發(fā)生碰撞；圖2為一對(duì)斜齒輪的多接觸嚙合模型，該模型為了實(shí)現(xiàn)齒輪傳動(dòng)，須通過齒輪間的接觸來完成。在分析過程中，為了避免施加的負(fù)載發(fā)生突變，負(fù)載轉(zhuǎn)矩的定義使用step函數(shù)平緩施加。模型間的接觸定義為實(shí)體與實(shí)體（Solid-Solid）接觸。

在機(jī)械系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)仿真分析軟件ADAMS中，完成對(duì)圖1中模型的約束和載荷的添加，以及求解器的設(shè)置和仿真控制。在最大阻尼系數(shù)cmax的取值分別為0N·s/mm、0.005N·s/mm、0.02N·s/mm和0.1N·s/mm，而其他接觸碰撞參數(shù)

K=5e+4 N/mm3/2，q=1.5，dmax=0.01 mm，

接觸中不考慮摩擦。

圖3表示了球體質(zhì)心與板體質(zhì)心的位移變化曲線，圖4表示了球體與板體碰撞的接觸力變化曲線圖。

圖3 球體質(zhì)心與板體質(zhì)心的位移變化曲線

圖4 球體與板體碰撞的接觸力變化曲線

從圖3和圖4仿真曲線變化圖可知，在最大阻尼系數(shù)cmax=0 N·s/mm時(shí)，球體的質(zhì)心位移和碰撞接觸力均是周期性變化，球體與板體發(fā)生了完全彈性碰撞，機(jī)械能守恒。在最大阻尼系數(shù)cmax的取值分別為0.005 N·s/mm、0.02 N·s/mm和 0.1 N·s/mm時(shí)，球體的質(zhì)心位移和接觸力，不僅隨著撞擊次數(shù)的增多而逐漸衰減，并且最大阻尼系數(shù)cmax的取值變化情況，決定了碰撞過程中機(jī)械能的衰減速度與程度。

對(duì)于圖2的一對(duì)斜齒輪嚙合傳動(dòng)，在其余約束定義準(zhǔn)確的前提下，將斜齒輪的嚙合定義成實(shí)體與實(shí)體的接觸碰撞。小齒輪（主動(dòng)輪）轉(zhuǎn)動(dòng)周期是1 s。圖5表示了當(dāng)最大阻尼系cmax分別取50 N·s/mm、5 N·s/mm、0.5 N·s/mm和0 N·s/mm時(shí)，而其他接觸參數(shù)

K=8.97e+5 N/mm3/2，q=1.5，dmax=0.01 mm，

同時(shí)接觸中考慮摩擦力，靜摩擦系數(shù)μs=0.08，動(dòng)摩擦系數(shù)μd=0.05，靜滑移速度νs=0.1 mm/s，動(dòng)滑移速度νd=10 mm/s，并且保持不變的情況下，斜齒輪接觸嚙合力的變化曲線圖。

圖5 斜齒輪嚙合接觸力變化曲線

從圖5仿真結(jié)果可以看出：在最大阻尼系數(shù)cmax=50 N·s/mm時(shí)，齒輪間的嚙合接觸力在仿真時(shí)間達(dá)到4.76 s時(shí)放生了穿透現(xiàn)象，其余時(shí)刻基本趨于平穩(wěn)，接觸力可以正常準(zhǔn)確的計(jì)算，當(dāng)cmax分別取5 N·s/mm、0.5 N·s/mm和 0 N·s/mm時(shí)，齒輪剛開始接觸傳動(dòng)的一段時(shí)間內(nèi)，都可以順利計(jì)算，但是隨著時(shí)間的增加，接觸力會(huì)發(fā)生跳躍，波動(dòng)明顯產(chǎn)生，模型接觸穿透加劇，函數(shù)的求解過程中發(fā)生多次發(fā)散不收斂，數(shù)值不準(zhǔn)確。從上圖還可以看出，當(dāng)最大阻尼系數(shù)的數(shù)值從大到小的變化過程中，接觸力發(fā)生波動(dòng)穿透的時(shí)刻隨之提前，并且波動(dòng)穿透會(huì)加劇。

4 結(jié)束語

本文在理論與實(shí)踐結(jié)合的基礎(chǔ)上，分析了在多接觸求解問題過程中參數(shù)的設(shè)置，指出最大阻尼系數(shù)cmax的不同取值，對(duì)系統(tǒng)的多接觸仿真分析結(jié)果的影響。從實(shí)踐中可知，cmax數(shù)值的選取，直接決定了接觸過程能量的損失程度與求解結(jié)果的準(zhǔn)確性，從而體現(xiàn)了該參數(shù)在接觸碰撞求解過程中的重要性。本文可為多接觸問題的研究提供了一些理論基礎(chǔ)與實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，同時(shí)對(duì)多接觸的進(jìn)一步研究，具有一定的參考與借鑒作用。

[1]陳立平，等．機(jī)械系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)分析及ADAMS應(yīng)用教程[M]．北京：清華大學(xué)出版社，2005．

[2]石明全．基于ADAMS的多接觸問題研究[J]．計(jì)算機(jī)工程與應(yīng)用，2004，（29）：220-222．

[3]洪 峰.時(shí)滯阻尼理論[J].世界地震工程，2001，17(3)：1-8.

[4]李 斌，陶皎皎，趙 雷．橋梁結(jié)構(gòu)的阻尼理論及其在ANSYS 中的實(shí)現(xiàn)[J]．四川建筑，2007，27（4）：117-118．

[5]Johnson K L．Contact Mechanics[M]．Cambridge：Cambridge University Press，1985．