基于多項式Wigner-Ville分布的膛內彈丸回波信號處理

楊 健，陳 曦，李學連

(1.中國人民解放軍73691部隊，南京 210014;2.南京理工大學電子工程與光電技術學院，南京 210094)

彈丸膛內運動參數是設計武器并對其進行改進的重要依據。在彈丸試射試驗中，需要測量多個物理量來反映彈丸在膛內的運動過程，對彈丸膛內運動速度的連續測定是其中的重要環節。膛內彈丸測速主要使用多普勒測速法。彈丸在膛內做變加速直線運動，回波信號為一非平穩隨機信號。彈丸的運動特征表征為回波信號的相位函數，一次相位函數表明彈丸做勻速運動，二次相位函數表明彈丸做勻加速運動，三次相位函數表明彈丸加速度變換率是常數，四次及更高次相位函數表明彈丸做變加速運動。實驗表明，彈丸在膛內做變加速運動，根據Stone-Weierstrass理論，閉區間上的任意連續函數可用多項式逼近，采用多項式擬合的方法可以近似擬合彈丸膛內運動曲線。由于彈丸速度的變化與回波信號的多普勒頻率之間呈線性關系，故回波信號可近似為多項式相位信號(polynomial phase signal，PPS)。

對PPS信號的分析和處理是目前信號處理領域的熱點，現有的PPS信號分析方法可以分為參數化方法和非參數化方法。參數化方法利用信號時變相位的多項式結構估計相位參數;非參數化方法以時頻分析技術為代表，利用時頻分布中的能量峰值得到低方差的瞬時頻率(instantaneous frequency，IF)估計。通常可以利用多項式相位變換、高階模糊度函數、多項式 Wigner-Ville分布(polynomial Wigner-Ville distribution，PWVD)等方法對PPS信號進行分析。多項式相位變換和高階模糊度函數存在對噪聲比較敏感、交叉項干擾嚴重等問題。PWVD是一種非線性時頻分析方法，具有較高的時頻聚集性，對交叉項干擾有著較好的抑制效果。文獻［2］將PWVD分解為一系列 Wigner-Ville分布和 L-Wigner-Ville分布的卷積;文獻［3］將PWVD與短時Fourier變換的結果按照“與”和“濾波”的方式相綜合，均得到了多項式相位信號的時頻分布，但算法較復雜。

1 多項式Wigner-Ville分布

1.1 信號模型

采用多項式擬合的方法對膛內彈丸速度曲線進行逼近，膛內彈丸運動過程為變加速運動，需要采用p≥4階的多項式近似，取 p=4，5，6，7 時，誤差 σ2分別為 139.86、56.95、6.76、5.83。可見，隨著p的增大誤差 σ2下降，當 p≥6時誤差已經符合要求。雖然誤差隨p的增大而減小，但p增大的同時算法復雜度也呈級數提高，故采用p=6階的多項式擬合彈丸速度曲線較合理。彈丸速度表示為

式中:ai為多項式系數。

設發射信號為

式中:A為信號幅度;f為發射頻率。則回波信號為

式中:k為回波信號衰減系數;tr為時延，有

式中:R為彈丸與發射源之間初始距離。

信號的IF定義為

聯立式(1)、式(3)和式(4)，可得到彈丸回波信號

代入式(5)可得到信號的IF

1.2 Wigner-Ville分布及交叉項干擾

信號sr(t)的瞬時相關函數為

對kz(t，τ)做延時τ的Fourier變換即得到信號sr(t)的Wigner-Ville分布(Wigner-Ville distribution，WVD)。對彈丸回波信號做WVD如圖1(a)所示，在每個采樣時間上提取峰值形成“脊線”如圖1(b)所示，由于交叉項的干擾，紅圈部分提取的“脊線”為交叉項干擾而非IF，造成較大誤差。

圖1 彈丸回波信號的WVD

針對交叉項干擾，Choi和 Williams于1989年提出了Choi-Williams分布，L.Cohen于1989年將各種改進的WVD核函數的方法統一為Cohen類時頻分布。根據要處理信號的不同選用不同的核函數，核函數的性質決定了時頻分布的特征［4］。1994年，R˙G Baraniuk和 D˙L˙Jones提出了基于自適應徑向高斯核函數的時頻分析方法［5］。1995年，B˙ Ristic等提出了基于Radon-Ambiguity變換的多分量線性調頻信號的自適應雙線性時頻分布［6］。以上方法可以改善時頻分布的聚集性和減小交叉項，但算法較復雜，對高階PPS信號產生的交叉項干擾仍無法有效抑制。

1.3 多項式Wigner-Ville分布

1994年，B.Boashash B等人提出了多項式 Wigner-Ville分布(PWVD)，利用高階差分方法，將PPS信號變換為復指數信號，其頻率變化規律反映信號的瞬時頻率，然后通過Fourier變換將復指數信號轉變為沿信號瞬時頻率軌跡的函數［7］。

PWVD定義為

滿足方程組(10)的dl取值有很多，文獻［7］給出系數為d1=d2=0.675，d3= －0.85，文獻［8］給出系數為 d1=0.62，d2=0.75，d3=－0.87，采用這2種系數構造PWVD是傳統選擇。計算PWVD前需要對PPS信號做N倍內插，采用文獻［8］、［9］的系數，符合條件的N值很大;同時計算PWVD時需要對信號進行抽取，抽取是非均勻的，由于插值倍數N較大，抽取數據占采樣數據比例很小，其他無用數據占用大量系統資源。這種算法復雜度高，效率低，本文設計PWVD系數如下

將文獻［7］系數、文獻［8］系數、式(11)系數分別代入方程組(10)，得到 d31+d32+d33的值分別為 0.001、0.001 7、－0.001，可見式(11)的系數設計求解系數方程組得到的誤差與文獻［7］相等，比文獻［8］小。不難看出，采用式(11)的系數，對PPS進行N=10倍內插即可。本文通過對PPS信號的10倍頻完成內插，計算PWVD時，需要進行抽取，將抽取間隔增大為原來的10倍以保持結果的一致，這時PWVD的核函數被改寫為

2 算法仿真結果及性能分析

采用式(11)的系數設計對彈丸回波信號做PWVD如圖2(a)所示，可見完全消除了交叉項干擾，提取“脊線”如圖2(b)所示，圖1(b)中紅圈部分“脊線”提取為信號IF。

仿真中，發射源載波頻率fc=200 MHz，采樣率fs=10 kHz，設定信噪比SNR=10 dB。下面對WVD、文獻［7］系數的PWVD、文獻［8］系數的PWVD、采用本文式(11)系數計算的PWVD的性能進行比較。首先對計算時間進行比較，考慮頻率分辨率 N=64，128，…，1 024，分別進行100次試驗，對試驗結果取均值，比較計算時間如圖3所示。當N取典型值512時，本文系數的 PWVD計算時間為0.086 4 s，文獻［7］系數的 PWVD 為0.855 2 s，文 獻［8］系 數 的 PWVD 為1.120 2 s，WVD 為0.023 4 s，整體來說 PWVD 的計算較WVD的計算復雜，采用本文系數的PWVD與另2種系數的PWVD相比，計算效率提高了10倍以上。

圖2 彈丸回波信號的PWVD

比較不同信噪比條件下經時頻分布提取瞬時頻率與原信號瞬時頻率之間的誤差，考慮 SNR=0，2，4，…，20 dB，分別進行100次獨立試驗，取100次結果的均值，比較如圖4所示，文獻［7］系數的PWVD與本文系數的PWVD的誤差曲線基本重合，圖中沒有標繪。從圖4(a)可以看出，與WVD相比，PWVD對噪聲較敏感，當信噪比低于10 dB時，誤差迅速增大，當信噪比低于6 dB時，信號的時頻分布峰值已無法辨認。當信噪比取典型值SNR=10 dB時，本文系數的PWVD誤差為8.98，文獻［7］系數的 PWVD 為 9.12，文獻［8］系數的 PWVD 為46.25，WVD 為52.55。從圖 4(b)可以看出，當信噪比較高時(SNR≥10 dB)，與WVD相比，PWVD可以將誤差降低1個數量級左右。

圖3 不同算法計算效率的比較

4 結束語

對彈丸回波信號進行分析可以得到膛內彈丸運動速度曲線，彈丸回波信號是典型的PPS信號，采用WVD分析會產生嚴重的交叉項干擾，造成“脊線”提取為交叉項干擾而非信號瞬時頻率。本文采用PWVD分析彈丸回波信號，從仿真結果來看，有效抑制了交叉項干擾，準確提取了信號的瞬時頻率。在構造PWVD核函數時，本文提出一組新的PWVD核函數系數，在處理膛內彈丸回波信號的效率、誤差等方面與傳統方法進行了比較，新算法將計算效率提高了10倍，誤差降低了1個數量級。

圖4 不同算法噪聲敏感性、誤差的比較

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(責任編輯魯 進)