一般非線性離散系統P－D 型迭代學習收斂性研究

劉長良，賈萬根

0 引言

迭代學習控制 (Iterative Learning Control，ILC)作為學習控制的一個重要研究方向，是智能系統中具有嚴格數學描述的一個分支。自Arimoto開創性的提出迭代學習控制概念以來，研究人員針對不同類型的對象［1～6］，提出了形式多樣的迭代學習控制律［7～11］，并在一定的前提假設條件下，利用微積分不等式、Lyapunov 理論、λ 范數、2 －D 理論等各種數學工具，分析得到了收斂性的條件。雖然迭代學習控制一直是控制界的研究熱點領域之一，但大多只是針對一類特定的系統。對于一般的非線性系統，由于結構、參數等很不確定而且非線性環節的存在使得系統控制器的研究變得復雜，所以針對一般的非線性系統的研究成果相對較少。文獻［12］給出了一般非線性離散系統開環PID 的迭代學習控制收斂性的充分條件及實現條件，并做了嚴格的數學證明。然而，理論研究表明［13］:閉環迭代律的控制性能比開環控制性能要好，收斂速度也較快。因此，文獻［14］在文獻［12］的基礎上應用范數和歸納法理論，證明了一般非線性離散系統閉環P 型迭代學習控制的收斂性。為了同時利用系統當前運行和前次運行的信息，以便進一步改善控制性能，本文針對一般的非線性離散系統給出了P-D 型開閉環迭代學習控制收斂性的充分條件。

1 問題描述

考慮一般的非線性離散系統

其中，

x(i)∈Rn×1;u(i)∈Rm×1;y∈Rr×1;f，g 為矩陣函數。系統結構和參數未知。所要解決的問題是:要求系統在給定的時間區間［0，N ］上跟蹤期望輸出yd(i)。假設期望控制ud(i)存在，即:在給定狀態初值x (0)下ud(i)是上述方程組的解，則迭代控制的目的是通過多次重復的運動，在一定的學習律下使

第k 次運行時離散系統表達式為

輸出誤差為

2 非線性離散的P-D 型開閉環迭代學習收斂性

取開閉環P-D 型控制律，即其開環采用D 型ILC，閉環采用P 型ILC。

式中:k 為迭代次數;LP(i)為閉環迭代系數;LD(i)為開環迭代系數。

定義1 定義誤差函數的λ 范數為

其中，0 ＜λ ＜1。

定理1 如果系統(1)滿足條件:

(1)f，g 是連續的函數矩陣。

(2)f，g 關于x，u 的偏導數存在，且滿足Lipschitz 條件。記f，g 在第k 次迭代時關于x，u的偏導數分別為fxk，fuk，gxk，guk。

(3)每次學習時的初始狀態、初始控制量都相同xk(0)=x0，uk(0)=u0。

(4)矩陣(I + gukLP(i))－1存在 (I 為單位陣)。則非線性離散系統 (1)采用學習律 (4)進行迭代學習控制，輸出y (i)以任意精度跟蹤期望輸出yd(i)的充分條件為

證明:取第k+1 次迭代時的誤差函數

將開閉環P-D 型迭代學習控制律(4)代入上式得

即

由條件(4)

兩邊同乘λi+1，(0 ＜λ ＜1)

兩邊同取范數，有

下面用數學歸納法證明:

當i+1 =0 時，據定理1 中條件(3)得

假設當i+1 =n 時，有

成立，則

當i+1 =n+1 時，

因為0 ＜λ ＜1，故

由定理1 的充分條件式(9)、式(16)及上式，有

所以，式(10)，(11)成立，定理得證。

3 仿真實例

根據針對一般非線性離散系統的開閉環P-D型迭代學習控制算法的收斂性證明，為了表明該算法的有效性，特此考慮如下非線性離散系統:

應用上述開閉環P-D 型控制律

設期望輸出

控制律(4)中LP(i)，LD(i)分別取

滿足條件

在初始狀態為零的條件下，算法(4)跟蹤期望軌跡的仿真結果如圖1 和圖2 所示。圖1 是算法(4)在第3 和第5 次時關于期望軌跡第一分量的跟蹤情況，而圖2 是算法(4)在第3 和第5次時關于期望軌跡第二分量的跟蹤情況。從圖1和圖2 可以看出，當第5 次迭代時算法(4)幾乎已經能實現完全跟蹤。從圖3 和圖4 可以很清楚地看出誤差最大值隨迭代次數的變化情況。

圖4 跟蹤yd2誤差最大值變化曲線Fig．4 Maximum tracking error curve of yd2

4 結論

針對一般非線性離散系統結構、參數等很不確定而且非線性環節的存在使得系統控制器的研究變得復雜的特點，在充分利用系統上次和當前運行得到的信息及閉環控制效果要優于開環的結論的條件下，本文給出了對于一般非線性離散系統的開閉環P-D 型迭代學習收斂的充分條件，仿真結果表明了該充分條件的正確性。

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