一種改進的揚聲器Volterra模型研究

韋峻峰，馮海泓

（1.中國科學院 聲學研究所東海研究站，上海 200032；2.中國科學院 聲學研究所嘉興工程中心，浙江 嘉興 314006）

在電子消費類產品需求推動下，更輕、更薄且聲音足夠大成為當前揚聲器的設計趨勢。然而，這些設計使揚聲器更多地工作在非線性區域，小信號模型已不能很好地表述其工作狀態。揚聲器的非線性參數辨識正成為當前研究的熱點問題。Kaizer［1］最先將Volterra級數引入了揚聲器的大信號建模。此后，Klippel將揚聲器的小信號模型進行擴展，提出了鏡像濾波器法［2］實現揚聲器的大信號建模。Jeong［3］基于Volterra模型提出了諧波平衡法，簡化了頻域求解非線性方程的運算。

然而，在實際使用Volterra模型對揚聲器進行建模時并不能很好地反映揚聲器的非線性失真，模型在大幅度激勵信號下輸出誤差顯著增大。因此，一些基于揚聲器Volterra模型的應用在小信號輸入下的效果要優于大信號輸入的結果，這些應用包括揚聲器參數辨識、非線性失真補償等［4-5］。針對這一問題，本文對動圈揚聲器進行了1～3階Volterra建模，結合揚聲器大信號的工作特點，將振膜的平衡位置偏移量及高階核函數互調響應用于模型的修正。實驗表明，改進的Volterra模型在大信號激勵的情況下與實驗結果更為一致。

1 揚聲器Volterra模型

1.1 動圈揚聲器的大信號等效電路

考慮動圈揚聲器在大振幅工作狀態下，因定心支片、折環、磁路和音圈等部件的特性發生變化而導致回放聲音中產生的失真，通常稱為固有非線性失真。Klippel曾對固有非線性失真的成因、現象及模型參數進行了一系列的研究［6］。在其研究中，部分揚聲器的參數不再被視為常數，而被修改為與位移、電流相關，這些參數稱為大信號參數。將揚聲器線性模型中的相關參數替換為大信號參數后，可以得到如圖1所示的大信號等效電路。

圖1 動圈揚聲器的大信號機械-電等效電路Fig.1 Large signal electro-mechanical analogous circuit of moving coil loudspeaker

由等效電路可建立如下微分方程：

其中，Fr是電磁驅動力［6］，由隨位移變化的電感產生，其表達式為：

當揚聲器工作在小振幅狀態時，對式（1）與式（2）進行Laplace變換，可寫為：

由于振膜位移x很小，Bl（x）、Le（x）和Kms（x）可視為常數，分別記為b0、l0和k0。揚聲器的阻抗特性Z（s）和電壓-位移傳遞函數Hu1（s）為：

1.2 大信號Volterra模型

當揚聲器工作在大振幅狀態時，由于參數Bl（x）、Le（x）和Kms（x）隨著振膜位移x的變化而變化，其輸入與輸出不再是線性關系。通常使用Volterra級數［7］求解式（1）與式（2）組成的方程組，得到輸入電壓與輸出位移的關系。根據Volterra級數理論，非線性系統的響應可以表示為各階核函數與激勵信號的卷積的形式，其框圖如圖2所示。

其中：u（t）為激勵信號，y（t）為非線性系統的響應，h1表示系統的1階核函數即線性沖激響應，h2與h3分別表示系統的2階和3階核函數，u（t）為輸入。

圖2 非線性系統的Volterra模型框圖Fig.2 Block diagram of nonlinear system modeling via Volterra series model

當輸入信號x（t）=exp（s1t）時，系統線性響應在復頻域的表達式為：

除線性響應外，輸出中還具有輸入信號的2次以上諧波響應。

輸入信號x（t）=exp（s1t）+exp（s2t）時，只考慮到2階響應輸出，有：

式中前兩項為線性響應。第3、4項對應著系統的2次諧波失真。H2（s1，s2）是對稱的，有H2（s1，s2）=H2（s2，s1），故第5項系數為2，對應著系統的互調失真。

輸入信號x（t）=exp（s1t）+exp（s2t）+exp（s3t）時，只考慮到3階響應輸出，有：

其中yd（t）為輸出的直流分量，其形式在下文中給出。y1（t）是1階核函數的響應，等同于線性響應。y2（t）與y3（t）分別是2、3階核函數的響應，由諧波響應和互調響應構成。其具體形式如下：

2次諧波響應參見y2（t）的前3項，2次互調響應為y2（t）的后3項。與之類似，3次諧波響應參見y3（t）的前3項，其余項為3次互調響應項。可見，隨著分析階數的增加，互調響應項的數量顯著增加。

將Bl（x）、Kms（x）與Le（x）近似表示為二階冪級數的形式，如下：

令輸入U=exp（s1t）+exp（s2t）+exp（s3t），且位移為如式（10）的形式，代入式（3）和式（4），由諧波平衡法可求出線性核函數如式（6）及2、3階核函數如下：

其中，系數Qi、Ri詳見附錄 1。

圖3 不同輸入電壓下位移基頻響應幅度Fig.3 Amplitude of linear response of diaphragm displacement in different input voltage

1.3 揚聲器Volterra模型的局限性

在激勵信號很小時，揚聲器工作在弱非線性狀態，可以通過上述Volterra核函數預測位移的基頻響應及諧波、互調響應。若逐步增大激勵信號，由Volterra核函數預測得到的結果便不再準確。圖3比較了由Volterra核函數預測得到的位移基頻響應結果和測量得到的位移響應結果。從圖中可明顯觀察到，激勵電壓大于3 V以上，Volterra核函數的預測結果與實驗結果的差異逐漸增大。造成Volterra模型誤差增大的原因在于模型的近似處理，包括冪級數截斷、Volterra級數的低近似等等。并且，揚聲器參數發生的偏移，包括平衡位置偏移、單圈直流電阻升高、彈性部件的順性改變等加劇了誤差。Klippel的實驗中也發現了上述現象，并將其稱為非線性幅度壓縮（Nonlinear Amplitude Compression）［8］。除幅度存在較大差異外，Volterra模型預測的共振頻率并沒有發生變化，而測量得到的位移共振頻率隨電壓增大而升高。

2 改進的揚聲器Volterra模型

2.1 大信號Volterra模型分析

在大信號輸入揚聲器的情況下會產生顯著的諧波失真和互調失真。例如，向2階Volterra系統輸入單頻激勵信號，可表示為：

有響應：

其中H2{·}為雙線性Volterra算子。若2階核函數時域形式為h2（τ1，τ2），有：

輸出為：

由共軛關系，前兩項和后兩項可以合并，化簡為：

前一項為2階諧波響應，后一項為2階互調響應。互調響應頻率為0，產生了直流分量。對于3階Volterra系統的情況，可以求得單頻信號激勵下輸出：

前一項為3階諧波響應，后一項為互調響應。互調響應的頻率與線性響應頻率相同。

若只考慮1～3階響應，對于單頻輸入的情況下，揚聲器Volterra模型的輸出如下

傳統的揚聲器Volterra模型僅包含式（25）中的1至3項，沒有考慮高階核函數的互調響應對線性響應的影響（第5項），也沒有考慮直流分量對揚聲器工作狀態的影響（第4項）。然而，在激勵信號幅度較大時，高階互調項幅度顯著增大，該影響變得不可忽略。

2階及2階以上的偶數階核函數的部分互調響應產生直流分量，使揚聲器振動的平衡位置偏移。在小振幅情況下，揚聲器工作在Bl（x）、Kms（x）等參數斜率較小的平衡位置附近，參數隨位移變化很小。大振幅情況下，平衡位置發生偏移，與位移相關的揚聲器參數均受影響產生變化，同時振動的不對稱引起失真增大。這解釋了實驗中位移共振頻率發生變化的現象。另一方面，受到平衡位置偏移的影響，部分揚聲器在大振幅下彈性部件可能發生異常，出現幅度壓縮、不穩定、混沌和音圈跳出磁隙無法恢復的現象［8］。

3階及3階以上的奇數階核函數的部分互調響應與揚聲器線性響應頻率一致，導致基頻響應的變化，具體表現為幅度壓縮和共振頻率的變化。

2.2 改進方法

根據上述分析，可以得到一種改進的揚聲器Volterra模型，其結構如圖4所示。為說明本文所述方法，以下將對已知參數的揚聲器進行3階Volterra建模，計算得到已知輸入下揚聲器的各階響應。

首先預測振膜的平衡位置偏移量xd。激勵為式（19）的形式，則近似求得偏移量為：

之后對如Bl（x）、Kms（x）和Le（x）等與位移相關的非線性參數進行更新。以Bl（x）為例，修正后結果為：

其中b0’=b0+b1xd+b2x2d，b1’=b1+2b2xd。

將更新后的參數代回。如此數次迭代后可得到預測偏移量和修正的非線性參數結果。

圖4 改進的揚聲器Volterra模型框圖Fig.4 Block diagram of loudspeaker unit modeling via improved Volterra series model

最后將非線性參數代入各階核函數，并考慮高階核函數的互調項影響，可求出修正后的基頻響應及各階諧波響應。修正后的位移基頻響應為：

3 實驗驗證

3.1 實驗設備

實驗設備由激光傳感器、測試支架、采集聲卡、計算機和功率放大器組成，如圖5所示。

揚聲器振膜的振動測量有多種方式，可以通過位移、速度、加速度傳感器和傳聲器進行測量。為了驗證振膜平衡位置和位移基頻響應的預測結果，實驗中采用了ANR1282型激光位移傳感器。該傳感器的測量精度為4 μm，量程為40 mm，測量位移的頻率范圍為直流0～1 000 Hz。被測樣品A與樣品B為2種汽車用揚聲器，參數見附錄2。由于揚聲器集中參數模型及Volterra模型均在低頻使用，且揚聲器樣品的共振頻率都在100 Hz以內，激光傳感器的工作頻率范圍包含了上述頻率，故可用于實驗中。激光傳感器和被測揚聲器固定在支架上，通過調整揚聲器的水平位置和激光傳感器的垂直位置，可以把激光光束打在防塵帽的中心位置，使光束與振動表面垂直以獲得最佳的信噪比。

圖5 實驗裝置Fig.5 Experiment setup

激勵信號為離散對數掃頻信號［9］，該信號由連接在計算機上的AudioFire 4專業聲卡進行數模轉換后，經功率放大器放大，輸出到被測揚聲器。激光傳感器輸出的信號為模擬信號，該信號接入聲卡輸入端，經模數轉換后存儲在計算機內。實驗使用的專業聲卡、功放等設備均經過6位半數字萬用表Fluke 8845A校準。

揚聲器在工作一段時間后，音圈溫度將有所提高。此外，在揚聲器工作結束時，振膜平衡位置并不穩定。為了排除上述因素影響，兩次測量之間有10 min的冷卻時間。

3.2 振膜平衡位置偏移量驗證

由于被測揚聲器參數已知，可使用改進的Volterra模型預測不同激勵電壓下振膜的平衡位置偏移情況，并通過實驗測量振膜位移，以評價預測的結果。對樣品A預測和實驗得到的平衡位置偏移如圖6。預測時只考慮到2階核函數產生的平衡位置偏移量，因此存在一定的誤差。

圖7為樣品A和樣品B在激勵信號頻率等于位移共振頻率情況下，以4 V脈沖正弦波激勵得到的振膜平衡位置偏移量。0～10 s激勵電壓為0 V，振膜的偏移為0。10～20 s激勵電壓為4 V，出現較大的平衡位置偏移。由式（17）、式（26）可知，偏移的方向與揚聲器參數b1、k1的符號有關。兩個樣品的參數b1和k1符號均相反，與測量得到的平衡位置偏移方向相反的現象一致。在20 s之后激勵電壓變為0，受到彈性部件的記憶效應影響，揚聲器的音圈偏移沒有立即回到原平衡位置。部分相關研究中也發現了這一現象［10-11］。從圖中可以看出，樣品A音圈偏移的恢復較樣品B要緩慢得多，說明樣品B與樣品A相比性能更穩定。

圖6 預測和實驗得到的振膜平衡位置Fig.6 Rest position of diaphragm by prediction or measurement

圖7 揚聲器工作后平衡位置偏移的恢復過程Fig.7 The recovery process of rest position varying after work

圖8 不同輸入電壓下位移基頻響應幅度Fig.8 Amplitude of linear response of diaphragm displacement in different input voltage

3.3 位移響應驗證

圖8為樣品A使用改進的揚聲器Volterra模型預測已知輸入下振膜位移的基頻響應結果。對比傳統Volterra模型的預測結果（參見圖3），由于考慮了高階核函數互調造成的參數變化和幅度壓縮，改進的Volterra模型的預測結果更接近于測量結果。此外，圖9給出了1 V、2 V和4 V激勵電壓下樣品B的實驗結果和兩種模型的預測結果。

圖9 不同輸入電壓下位移基頻響應幅度Fig.9 Amplitude of linear response of diaphragm displacement in different input voltage

4 結論

為了改善傳統的揚聲器Volterra模型在激勵信號幅度較大時預測得到的響應與測量結果誤差較大的情況，本文提出了一種改進的揚聲器Volterra模型。考慮到揚聲器工作在大振幅狀態時音圈偏移量對非線性參數造成的影響，結合揚聲器的工作特點，音圈偏移量首先由偶數階核函數計算得到。此外，在計算位移響應時引入了高階核函數的互調項，使位移響應預測結果更為精確。

為了驗證模型，揚聲器的位移響應由一套激光位移測量系統測量得到。實驗結果表明，音圈偏移量的預測結果與實驗結果一致。并且，改進的揚聲器Volterra模型可表征揚聲器的幅度壓縮現象。該模型可應用于揚聲器的振動特性分析、參數辨識和固有非線性失真補償。

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附錄1

附錄2

實驗中使用的揚聲器的非線性參數