一種考慮應變率效應的結構非線性時程分析方法

王文明，李宏男

（大連理工大學 建設工程學部，大連 116024）

土木工程中應用的大多數材料都有一定的率敏感性，鋼筋混凝土結構是目前應用最為廣泛的結構，鋼筋和混凝土在不同應變率下有不同的力學性能。試驗研究表明［1-6］，隨著應變率的提高，鋼筋和混凝土的特征強度有不同程度的提高。在地震作用下，混凝土的應變率一般能達到10-3～10-2/s，最大能達到10-1/s左右［3］，鋼筋所能達到的應變率更大。對結構進行抗震分析時，采用靜態下的理論不盡合理，應該考慮應變率效應。

對于一些復雜或者重要的抗震結構，需要對其進行彈塑性變形演算［7］。理論上說，振動臺試驗得到的結構響應最為可靠，但是這種方法無法普遍用于實際工程。非線性時程分析深受廣大學者和工程師的認可，該方法目前被認為是相對精確的方法。然而到目前為止，該方法采用的本構關系、彎矩-曲率關系和破壞準則等大多都是在靜力荷載作用下得到的。從數值計算的角度來說，通過該方法得到的結構響應是不精確的。為了提高該方法的準確性，在結構非線性時程分析中應該考慮應變率效應。國外一些學者對結構進行地震作用下的非線性時程分析時，考慮了應變率效應。研究表明，考慮應變率效應后，計算得到的結構響應發生一定的變化［8-9］。在有些情況下，變化很明顯，這說明在非線性時程分析中考慮應變率效應是很有必要的。對結構進行非線性時程分析時，可以采用微觀模型（如纖維模型），也可以采用宏觀模型（如塑性鉸模型）。對于宏觀模型而言，計算過程中不計算某點的應力和應變，所以不可能精確地考慮應變率效應。對于微觀模型，精確考慮應變率效應還存在一些困難。基于以上原因，本文提出了一種在結構非線性時程分（析中考慮應變率效應的近似方法，該方法不僅可以應用于微觀模型，還可以用于宏觀模型。文中給出了該方法的力學解釋，并通過數值模擬對該方法進行了驗證。

1 考慮應變率效應的非線性時程分析方法

在簡諧運動中，回復力為零的位置叫做這個簡諧運動的平衡位置。地震作用下，結構發生復雜的往復運動，各層間剪力為零的位置為結構的平衡位置。材料沒有進入非線性階段之前，結構的平衡位置為結構的初始位置。如果材料能夠進入非線性階段，由于殘余位移的存在，結構的平衡位置會發生變化。在地震作用下的很多時刻，結構的基底剪力為零。可以近似認為，當結構的基底剪力為零時，結構處在平衡位置。本文將相鄰的平衡位置出現時刻之間的過程稱為一個半循環，如圖1所示（圖1為文中模型在峰值加速度調幅到6 m/s2的El Centro波作用下的頂點位移時程曲線，取前5 s）。在地震作用過程中，結構的頂點位移有很多極值點。在絕大多數情況下，結構的頂點位移在一個半循環內僅有一個極值。本文將相鄰的平衡位置和頂點位移極值所在時刻之間的過程稱為一個1/4循環。一個半循環可以分為兩個1/4循環，分別稱為前1/4循環和后1/4循環。

圖1 頂點位移時程曲線Fig.1 Time history of top displacement

本文提出的考慮應變率效應結構非線性時程分析方法的具體步驟如下：

（1）建立結構力學模型，對結構進行不考慮應變率效應的非線性時程分析。

（2）對模型的設置進行修正。修正步驟如下：確定頂點位移達到最大值的時刻和之前結構處在平衡位置的時刻（即基底剪力為零的時刻），計算該1/4循環的時間；分別計算這兩時刻進入非線性構件控制截面各處鋼筋和受壓區邊緣位置的應變，然后計算這些位置在該1/4循環內應變的變化量；將應變變化量除以該1/4循環的時間，得到這些位置在該1/4循環內的平均應變率；根據各處鋼筋的平均應變率修改相應位置鋼筋的本構關系，根據受壓區邊緣位置平均應變率的2/3修改混凝土的的本構關系。

（3）對結構進行第二次非線性時程分析。

下面對為什么進行兩次分析進行解釋。第一次分析沒有考慮材料的應變率效應，計算結果不可靠，第二次分析是第一次分析的修正。不進行多次分析的原因如下：① 該方法是一種實用方法，進行多次分析會大大降低該方法的實用性；② 第三次和第二次的分析結果相差很小，可以忽略不計。

2 方法的力學解釋和意義

2.1 方法的力學解釋

該方法的力學解釋如下：

（1）對于結構來說，在地震作用下，存在一個或者幾個對其有重要影響的1/4循環，其中最大變形對應的前1/4循環尤為重要。如果在該1/4循環內采用的本構關系更為合理一些，計算得到的結構反應能更為準確一些。

（2）在1/4循環內，如果材料必須采用某固定應變率下的本構關系，采用平均應變率下的本構關系是較為合理的。

（3）根據控制截面一些位置的平均應變率對整個構件的本構關系進行修正是合理的。在地震作用下，構件的非線性變形集中于局部，其他部位保持彈性。對于處于彈性階段的部位，不管采用多大應變率下的本構關系，都不會對計算得到的結構響應產生影響（在不同的應變率下，可以認為材料的彈性模量和泊松比不變）。

（4）材料的動態強度提高幅度與應變率的對數近似成線性關系［1-6］。這意味著只有當應變率發生量級的變化時，材料的屈服強度才產生較為明顯的變化。以HRB335鋼筋為例，應變率為0.1/s時，屈服強度為387.93 MPa；應變率為 0.2/s時，屈服強度為 394.03 MPa（應變率之比為2，屈服強度之比為1.016）。在地震作用下，對結構有重要影響的1/4循環可能有多個。在這些不同的1/4循環內，任意一點平均應變率的比值一般在0.5～2之間。這意味著，對結構進行第二次非線性時程分析時，材料的本構關系在對結構有重要影響的時間段內是合理的。

（5）在地震作用的很多時間段內，結構不產生塑性變形。在這些時間段內，不管采用多大應變率下的本構關系，都不會對計算得到的結構響應產生影響。

基于以上原因，可以看出本文提出的方法是合理的，下文會通過數值模擬的方法對其進行進一步驗證。

2.2 方法的意義

對結構進行非線性動力時程分析時，可以采用微觀模型，也可以采用宏觀模型。微觀模型是指，在計算過程中需要計算結構中某點的應力和應變的模型，如纖維模型；宏觀模型是指，在計算過程中不計算任意一點的應力和應變的模型，如塑性鉸模型。一般來說，采用微觀模型對結構進行分析，計算結果更為可靠，但是計算成本較高。有鑒于此，本文方法的意義如下：

（1）本文方法對微觀模型具有一定意義。理論上說，對結構進行非線性時程分析時，如果采用微觀模型，可以采用材料的動態本構模型（能夠精確考慮應變率的不斷變化）。然而，目前為止，在分析中采用材料的動態本構模型還存在一些應用上的困難。目前，絕大多數軟件沒有這項功能。ABAQUS雖然擁有這項功能，但是軟件中只有CDP（Concrete Damaged Plasticity）模型適用于混凝土結構的抗震分析，這種材料模型不能用于B31單元，用于B21單元時不能考慮應變率效應。對于鋼筋混凝土框架結構而言，如果計算時采用動態本構模型，梁和柱只能采用實體單元，然而實體單元難以應用于工程實際。除此之外，混凝土采用CDP模型時，如果考慮應變率效應，計算難以收斂。可以說，用微觀模型對結構進行分析時，本文提出的方法具有一定意義。

（2）本文方法對宏觀模型具有重要意義。用宏觀模型進行非線性動力時程分析時，計算過程中不計算任意一點的應力和應變。這意味著，對于宏觀模型而言，無法精確地考慮材料的應變率效應。如果在宏觀模型中考慮應變率效應，必須采用近似方法。這里提出的方法可以用于宏觀模型。

下面簡要說明一下如何在塑性鉸模型中使用本文方法。設置塑性鉸時，需要確定塑性鉸的骨架曲線和滯回規則。骨架曲線可以是彎矩和曲率的關系，也可以是彎矩和轉角的關系。按照本文的方法，需要在步驟2中對模型的設置進行修正。方法如下：首先，確定進入塑性的塑性鉸截面曲率為屈服曲率和極限曲率時截面各處鋼筋和受壓區邊緣的應變（第一次分析之前即可確定）；其次，計算這些截面在頂點位移達到最大值時刻和之前基底剪力為零時刻的曲率，采用線性插值的方法分別計算各處鋼筋和受壓區邊緣在這兩個時刻的應變，進而求得這些點在該1/4循環內的平均應變率；最后，根據這些點的平均應變率對相應塑性鉸的設置進行修正（修正骨架曲線）。

下面以屈服彎矩為例說明骨架曲線的修正方法。采用塑性鉸模型時，一般不考慮混凝土的抗拉強度。對于鋼筋混凝土矩形截面柱，截面屈服彎矩可按下式計算［10］：

計算截面的動態屈服彎矩時，鋼筋的屈服強度采用動態屈服強度，式中與fy有關參數（ξy和f'c）的計算均需采用鋼筋的動態屈服強度。

3 方法的驗證

相對來說，如果在非線性時程分析時采用的本構關系為動態本構模型，那么計算的結構反應可以被認為是精確解。如果按照本文方法計算的結構反應十分接近精確解，即可驗證本文方法是有效的。

3.1 采用的動態本構模型

試驗研究表明，隨著應變率的提高，鋼筋的彈性模量基本不變，鋼筋的屈服強度和抗拉強度都有一定程度的提高，強度低的鋼筋比強度高的鋼筋對應變率更為敏感［1-2］。在地震作用下，鋼筋的應變率一般不會超過1/s，其動態本構模型可以按照作者在文獻［2］中給出的模型選取，即：

隨著應變率的提高，混凝土的彈性模量和泊松比如何變化沒有達成一致共識［4］，這里不考慮混凝土彈性模量和泊松比隨應變率的變化。隨著應變率的提高，混凝土的抗壓強度有明顯的增加趨勢。混凝土動態抗壓強度可按下面的公式計算［5］：

式中：fcd為當前應變率下的抗壓強度；fcs為準靜態應變率下的抗壓強度；c為當前的應變率。

隨著應變率的提高，混凝土的抗拉強度有明顯的增加趨勢。混凝土動態抗拉強度可按下面的公式計算［6］：

式中：ftd為當前應變率下的抗拉強度t為當前的應變率；ts為準靜態應變率，這里取為ts=10-5/s；fts為準靜態應變率下的抗拉強度。

3.2 模型介紹

采用的結構模型如圖2所示，該結構由一根無質量的鋼筋混凝土柱和柱頂的質量塊組成。質量塊質量為4 800 kg，沿柱全長配置φ8@100的箍筋。

縱筋采用HRB335，箍筋采用HPB235，彈性模量分別為2.0×1011Pa和2.1×1011Pa，鋼筋采用理想彈塑性本構模型，縱筋在不同應變率下的本構關系如圖3所示（應力σ和塑性應變εin的關系，應力單位為Pa）。通過定義一系列不同塑性應變率下屈服強度比的方法生成鋼筋的動態本構模型，軟件在計算的過程中根據線性插值的方法計算每一時刻每一積分點的應力和應變。混凝土強度為 C30，采用 CDP模型［11］，混凝土在不同應變率下的本構關系如圖4所示（應力σ和塑性應變 εin的關系，應力單位為Pa），通過定義一系列塑性應變率下混凝土的本構關系的方法生成材料的動態本構模型。混凝土柱采用C3D8R單元，單元大小為0.1 m ×0.1 m ×0.1 m，鋼筋采用 T3D2單元，單元長度為0.1 m，通過軟件中的Embedded將鋼筋埋入混凝土之中，不考慮鋼筋與混凝土之間的粘結滑移。

圖2 結構模型（mm）Fig.2 The model

圖3 鋼筋的本構關系Fig.3 The constitutive relationship of rebar

圖4 混凝土的本構關系Fig.4 The constitutive relationship of concrete

3.3 地震波的選取

計算中，采用三條地震波，分別為El Centro波、Northbridge波和 Taft波，峰值加速度分別調幅到8 m/s2、8 m/s2和 6 m/s2，三條地震波均取前 15 s進行輸入。

3.4 分析工況設置

每次分析時，均設置兩個分析步。首先是靜態分析，然后是動態分析。其中靜態分析用于自重作用分析，動態分析用于地震作用分析。需要說明的是，對結構進行自重作用分析時，如果材料采用的是動態本構模型，應變率在分析過程中起作用。這是由于在ABAQUS軟件中，不論是靜態分析還是動態分析，均需要設置分析總時間，分析中應變隨時間變化，應變率就起作用。自重作用分析時，不應該考慮應變率效應，這可以通過調大靜態分析總時間的方法消除應變率效應對自重分析的影響。當然，如果材料在自重作用下不能進入非線性階段（應變率不起作用），就可不必注意此問題。

按照5%的阻尼比設置材料的阻尼參數，由于文中模型可以看成單自由度體系，設置材料的阻尼參數時，僅需計算Alpha，Beta等于零。對結構進行地震作用分析時，均采用隱式算法。

3.5 分析結果

結構在三條地震波作用下的最大反應如表1所示。為了便于在整個時程內比較不同計算方法得到的結構響應，這里給出了一些主要的時程曲線。應變最大的縱向鋼筋單元在El Centro波作用下的應力時程和應變時程分別如圖5和圖6所示，結構在三條地震波作用下的頂點位移時程分別如圖7、圖8和圖9所示。

通過對計算結果進行分析，可以得到以下結論：

（1）采用動態本構模型得到的單元應變時程和應力時程與采用靜態本構模型得到的結果有明顯的不同。在ElCentro波作用下，采用動態本構模型時，縱向鋼筋的最大應力為388.6 MPa，大約是其靜力屈服強度的1.16 倍。

（2）材料沒有進入非線性階段之前，各種方法計算得到的結構響應時程相同；材料進入非線性階段之后，各種方法計算得到的結構響應時程不同，但是曲線形狀相似。

（3）采用靜態本構計算得到的結構最大反應具有較大的誤差。在所有的分析工況中，采用靜態本構計算得到的結構最大反應相對誤差的絕對值均大于5%。最大頂點位移的相對誤差更為明顯，最大為16.27%。可以看出，在非線性時程分析中考慮材料的應變率效應是很有必要的。

（4）本文方法的精度較高。采用本文方法計算得到的結構最大反應具有較小的誤差，相對誤差的絕對值均沒有超過5%。在El Centro波和Taft波作用下，按照本文方法計算得到的結構頂點位移時程與精確解幾乎重合，這說明本文提出的方法精度較高。

表1 結構的最大反應Tab.1 The maximum response of the structure

圖5 某鋼筋單元在El Centro波作用下的應力時程Fig.5 Stress history of a rebar element under El Centro ground motion

圖6 某鋼筋單元在El Centro波作用下的應變時程Fig.6 Strain history of a rebar element under El Centro ground motion

圖7 結構在El Centro波作用下的頂點位移時程Fig.7 Top displacement history of the structure under El Centro ground motion

4 結論

本文提出了一種在結構非線性動力分析中考慮應變率效應的近似方法，該方法可以用于微觀模型和宏觀模型。文中給出了該方法的力學解釋，并通過數值模擬對該方法進行了驗證。結果顯示，本文提出的方法具有較高的精度，可以作為一種在非線性時程分析中考慮應變率效應的有效方法。

圖8 結構在Northbridge波作用下的頂點位移時程Fig.8 Top displacement history of the structure under Northbridge ground motion

圖9 結構在Taft波作用下的頂點位移時程Fig.9 Top displacement history of the structure under Taft ground motion

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