進動分解及其在轉子動平衡中的應用

雷文平，韓 捷，陳 宏，鞏曉赟

（1.鄭州大學 振動工程研究所，鄭州 450001；2.鄭州大學 化工與能源學院，鄭州 450001）

影響系數法作為一種主要的轉子動平衡方法在工業現場使用廣泛［1］.由于影響系數法建立于線性假設的基礎之上，在應用過程中仍然存在很多不足之處［2-3］.特別地，當轉子支撐的各向剛度存在明顯差異時，傳統的基于影響系數法的平衡效果不穩定，會受傳感器影響，經常發生以下現象：① 傳感器安裝方向不一樣，動平衡效果不一樣；② 利用某些特定方向上的傳感器會導致最后計算的配重大到無法實施。針對這一問題，屈梁生院士提出了全息動平衡方法［2］，采用雙傳感器的信息融合方法克服了單傳感器的片面性，得到了較好的應用.然而全息動平衡技術建立在模態平衡法的基礎上，采用力和力偶分解的原理進行平衡，因而只能進行低階振型的平衡，對于超二臨界的轉子的平衡則不適用。本文在分析傳統影響系數法的弊端的基礎上，采用雙傳感器信息融合技術，并采用正進動來代替傳統不平衡響應進行影響系數法改進，取得了良好的效果。

1 傳統影響系數法的弊端

影響系數平衡法涉及以下方程［3］：

聯立方程（1）和方程（2），便可以求出A和U。因此，不平衡響應（R和R'）的準確性決定了平衡結果的準確性。傳統方法不平衡響應是采用單方向傳感器測量的，對于各向異性轉子來說，從同一截面x，y方向傳感器測得的不平衡響應往往并不相同。從圖1中可以明顯看出，x方向響應幅值要大于y方向，盡管x，y方向傳感器夾角為90°，其相位差并不為90°。

圖1 傳感器安裝方向與不平衡響應的對應關系Fig.1 The relation between installed direction of sensor and unbalance response

2 工頻軌跡的進動分解

按圖1的傳感器器安裝方式，設某測點x，y方向的工頻振動分別為：

式中，X，Y分別表示在x，y方向檢測到的信號幅值；φX、φY表示x，y方向的相位角，Ω表示轉速。定義：

則式（3）可以寫成：

將式（5）消去時間變量t可以得到一個橢圓軌跡，得到：

在運動學上，轉子沿橢圓軌跡的運動可看作是兩個頻率相同而進動方向相反的圓軌跡分運動的合成［4-6］：

用復平面上的點r（r=x+iy）表示橢圓上的一點，即：

式中：rfc和rbs分別為rf的實部和虛部，rbc和rbs分別為rb的實部和虛部，令φf和φb分別為正進動圓和反進動圓的初始相位角，Rf和Rb分別為rf和rb的模，有：

所以：

當Rf＞Rb時，轉子為正進動，Rf＜Rb時，轉子為反進動。當Rf=Rb時轉子的渦動軌跡為一直線。橢圓的長半軸RL和短半軸RS與兩個進動圓的關系為：

橢圓軌跡的偏心率為：

3 改進影響系數法

由文獻［3］可知：轉子運轉過程中一般為同步正進動，即以正進動分量Rf為主。由式（12）、式（13）可知，隨橢圓軌跡的偏心率e的減小，反進動分量Rb越來越小，當e減至0時，Rb也減小為0，可見反進動分量與轉子不平衡不存在必然的聯系。實際上當轉子振動情況比較復雜、軌跡偏心率較大時，由于反進動的存在給轉子失衡量的估計帶來了不可忽略的干擾，造成了平衡的效率降低［7］。

圖2 單圓盤轉子在不同的不平衡力的作用下的軌跡和正進動分量Fig.2 Whirl orbit and forward precession component of rotor excited by different unbalance force

實驗中，在單圓盤轉子（具有一定的初始不平衡量）上施加質量為 2 g，角度分別為 0°，45°，90°，135°，180°，225°，270°，315°的不平衡質量后，轉子的渦動軌跡和正進動圓軌跡如圖2所示。相對于圖2（a）中的渦動軌跡來說，正進動分量圖2（b）更好地體現了不平衡狀態，正進動圓的半徑反映了不平衡量的大小，正進動角度反映了不平衡量的相位。

因此，改進影響系數法的基本思路是：將工頻正進動圓的幅值Rf作為不平衡響應幅值，正進動相位角φf作為不平衡響應的相位，即新的不平衡響應Rf＜φf成為正進動不平衡響應（Forward Precession Unbalance Response，FPUR），結合影響系數法采用計算機輔助型平衡過程來完成平衡。

4 數值模擬

轉子-軸承系統的有限元模型由方程（14）表示［1］：

其中：［M］，［C］，［G］，［K］分別表示質量陣、阻尼陣、陀螺陣和剛度陣，Ω表示主軸的旋轉角速度，假定轉子繞Z軸旋轉，{q}=（rX，rY，θX，θY）T表示各個有限元節點的解，rX，rY分別表示X，Y方向的位移，θX，θY為繞X，Y軸的角位移，{f}={u}eiΩt代表不平衡力。在ANSYS中，可以用COMIN214來模擬軸承，它可以模擬各向異性的軸承.軸的模擬采用BEAM188單元，圓盤的模擬采用MASS21單元.建立模型后，可通過諧響應分析解方程（14）求穩態渦動響應［8］。

本文建立的轉子-軸承模型如圖3所示，盤P1-P5的直徑轉動慣量和極轉動慣量分別為1.54×10-4kg·m2和2.94 ×10-4kg·m2。質量為0.783 kg。軸承特性：kxx=2.63e+6 N·m-1，kyy=1.315e+6 N·m-1，kxy=kyx=-2.63e+5 N·m-1，由于不考慮阻尼影響，cxx=cyy=cxy=0。該模型的主要參數還包括：主軸總長度0.36 m，半徑為 0.004 8 m，楊氏模量 2.1e11 N·m-3，泊松比為 0.3，密度為 7 800 kg·m-3。轉子的第一，二階臨界轉速分別為1 921和7 238 r/min，對應的反進動臨界轉速分別為1 883和6 472 r/min。沿軸的方向，從左到右，均勻分布13個節點，節點號分別為 S1，S2，…，S13.節點號在圖3 中標識.在節點3，5，7，9，11處建立圓盤.為了驗證改進方法的動平衡效果，設計了兩組實驗，分別采用了不同的初始不平衡分布和不同的平衡轉速進行轉子動平衡的數值模擬，初始不平衡量的分布情況如表1所示，實驗1和2的平衡轉速分別選為1 200、3 600 r/min，前者低于第一臨界轉速，后者位于第一、二臨界轉速之間。

表1 2組實驗對應的初始不平衡量（單位：g∠°）Tab.1 Initial unbalance distribution（unit：g∠°）

實驗1中典型的平衡數據如表2所示，結果顯示改進方法與X，Y單方向計算結果相同，即當校正平面和不平衡平面正好相同的情況下改進方法與傳統方法具有相同的結果，同時作者分別用轉速2 400，3 600，4 800，6 000和7 200轉進行實驗，結論均一致.因為采用傳統方法時X，Y方向均得出了完全精確的結果，所以改進方法在這種情況下與傳統方法是兼容的。

在實驗2中，由于平衡分布較為復雜，校正平面仍然選為P2和P4，從表2中可以看出此時，采用X，Y單方向的平衡計算結果不再一致了，顯然實驗2更接近現場轉子的真實情況。由于，改進方法融合了X，Y兩個方向的結果。因此從平衡后的結果（表3和圖4）看，改進方法優于傳統方法。

表2 實驗1數據（轉速：1 200 r/min）Tab.2 Experimental data 1（rotating speed：1200 r/min）

表3 實驗2數據（轉速：3 600 r/min）Tab.3 Experimental data 2（rotating speed：3 600 r/min）

圖4 平衡前后不同節點振動對比Fig.4 Whirl response before and after balancing

5 實驗研究

為了驗證改進方法的平衡效果，在BENTLY轉子實驗臺上進行了實驗。圖5為轉子實驗臺及傳感器安裝示意圖，轉子由滑動軸承支撐，支撐的各向剛度存在一定的差異，轉子通過撓性聯軸節與電機相聯，兩個圓盤上各均勻分布16個加重小螺紋孔，兩個孔之間的夾角為22.5°。沿軸從左至右方向上，兩個圓盤分別為P1和P2，在靠近左右連個軸承附近分別安裝兩對互相垂直的電渦流傳感器，分別為S1X，S1Y和S2X，S2Y，K φ為鍵相傳感器。轉子第一階臨界轉速為1 180 r/min，實驗時平衡轉速選在1 600 r/min。

表4為雙面平衡的實驗數據，由于軸承的各向剛度的差異，X，Y方向響應（振幅）差別較大，因而最后的平衡結果差別也比較大，尤其是采用X方向的平衡效果很差，平衡后的殘余振動最大，相比較而言，改進方法具有結果客觀唯一，其平衡效果最好。

圖5 轉子實驗臺模型Fig.5 Illustration of rotor test fig

表4 轉子實驗臺實驗數據（轉速：1 600 r/min）Tab.4 Experimental data using rotor test fig（rotating speed：1 600 r/min）

6 結論

通過分析和實驗研究，得到如下結論：

（1）轉子的工頻橢圓軌跡可以分解為兩個頻率相同但旋轉方向相反的圓軌跡，分別為正進動圓和反進動圓，工業現場的失衡轉子一般處于穩態的同步正進動狀態，即正進動分量占主導因素，正進動圓較好地反映了轉子的不平衡狀態，其半徑反映了不平衡量的大小，其初始相位角反映了不平衡量的相位，而反進動分量與轉子不平衡不存在直接和必然的聯系。

（2）提出一種基于影響系數法的改進平衡方法，該方法采用正進動分量代替傳統方法的不平衡響應進行轉子平衡。數值模擬結果表明，在忽略任何非線性干擾和測量誤差情況下，傳統方法和改進方法結果趨于一致，具有兼容性。由于改進方法結合了兩個方向傳感器的信號，克服傳統平衡方法中平衡效果受傳感器安裝方向影響的弊端，在實際轉子平衡中結果客觀，唯一，效果更好。具有較好地工程應用價值。

［1］ Kang Y，Lin T W，Chang Y J，et al.Optimal balancing of flexible rotors by minimizing the condition number of influence coefficients［J］.Mechanism and Machine Theory，Mechanism and Machine Theory，2007，43（7）：891-908.

［2］屈梁生，邱 海，徐光華.全息動平衡技術：原理與實踐［J］.中國機械工程，1998，9（1）：60-63.

［3］周仁睦.轉子動平衡-原理、方法與標準化學工業出版社［M］.北京：化學工業出版社，1992.

［4］鐘一諤，何衍宗，王 正，等.轉子動力學［M］.北京：清華大學出版社，1987.

［5］韓 捷，石來德.全矢譜技術及工程應用［M］.北京：機械工業出版社，2008.

［6］陳先利，韓 捷.基于全矢譜的旋轉機械回轉相位及應用研究［J］.機械科學和技術，2008，27（4）：515-519.

［7］廖與禾，郎根峰，屈梁生.平衡目標選擇與全息動平衡法的改進研究［J］.熱能與動力工程，2008，23（4）：382-386.

［8］ Release 12.0 documentation for ANSYS［M］.SAS IP，Inc.，USA，2009.