各國規范中RC框架自振周期的對比和探討

閻紅霞，楊慶山，秦敬偉，李 明

（1.北京交通大學 土木建筑工程學院，北京 100044；2.河北大學 建筑工程學院，河北 保定 071002）

在RC框架結構的抗震設計中，通常采用基于彈性反應譜理論的底部剪力法或振型分解反應譜法得到結構所受的地震作用，這兩種方法均需利用結構的自振周期［1］。因此，結構自振周期對RC框架結構抗震設計非常重要。目前，計算RC框架結構自振周期的方法有：經驗公式、基于能量法的瑞利公式和振型分析方法。許多國家都采用這三種方法來計算結構的自振周期，且提倡采用經驗公式［2-4］。眾所周知，結構的自振周期是由結構質量和側向剛度決定的。砌體填充墻的加入使框架結構側向剛度大幅度增強，結構自振周期較大降低［4-5］，各國規范在計算框架結構自振周期時均考慮到了該影響。實際工程中，為了滿足建筑功能或者用戶的要求，非結構構件的砌體填充墻的布置非常靈活，使結構剛度增強程度很難統一。

本文首先詳細總結了國內外規范關于RC框架結構基本自振周期的取值方法，并采用這些方法對兩個實際的RC框架結構（一個布置有填充墻，另一個沒有布置填充墻）的基本自振周期進行了計算，將計算值和實測值進行了對比。結果表明，總體上考慮填充墻布置的得到的自振周期和實測值吻合較好，而包括我國在內的不考慮填充墻布置時經驗公式的計算值，誤差都很大。為了進一步探討填充墻布置的影響，本文基于有限元軟件ABAQUS，建立了考慮填充墻構件的有限元模型，其中墻體采用平面shell單元和梁柱采用beam單元模擬，并在shell單元的四角點和beam單元間耦合的方法模擬墻體和梁柱的連接，并通過對該兩個實際框架結構有限元模型動力振型分析得到的結構自振周期計算值和實測值的對比，驗證了模型的正確性；然后，采用該建模方式，分析了填充墻的布置對自振周期的影響，發現考慮填充墻布置的美國ASCE 7-05（2006）規范較準確，建議我國規范中RC框架結構基本自振周期計算的經驗公式宜參照美國ASCE 7-05（2006）規范考慮填充墻布置。

1 國內外規范中框架結構基本自振周期的計算

國內外規范對RC框架結構基本自振周期的計算公式可以分為兩大類，一類是經驗公式，另一類是較精確的瑞利公式。下面具體介紹這兩類公式的內容。

1.1 經驗公式

框架結構基本自振周期計算的經驗公式是根據實際結構的實測結果經過統計分析得到的［5］，總體來說可以分為兩類：忽略和考慮填充墻布置的情況。下面分類詳細討論［2-3］。

1.1.1 忽略填充墻布置的情況

以下規范中基本自振周期是框架結構總高度和底部寬度的函數：

（1）印度 IS-1893（2002）、尼泊爾 NBC-105（1995）、哥倫比亞 NSR-98（1998）、埃及（1988）、委內瑞拉（1988）和埃塞俄比亞ESCP-1（1983）國家規范中規定帶填充墻的RC框架結構為式（1）：

其中，Ta（s）是結構自振周期、h（m）是結構總高度，d（m）是沿著地震力作用方向結構寬度，以下同。

（2）法國AFPS-90（1990）規范建議帶填充墻的RC框架結構為式（2）：

在式（1）、式（2）中，用沿地震作用方向上框架結構整個底寬d有時可能并不準確。例如，圖1（c）所示填充墻的布置情況，也許取d'更合適。

圖1 填充墻在框架結構中的不同布置Fig.1 The different setting of infill in RC frame

以下規范中基本自振周期是結構樓層層數的函數：

（1）哥斯達黎加規范（1986）建議帶填充墻的框架結構為式（3）：

其中n是框架結構的層數，以下同。該式是考慮了填充墻增大了框架結構剛度，將純框架結構的自振周期（Ta=0.1n）降低20%得到。

（2）意大利抗震設計規范和加拿大建筑結構規范規定采用公式Ta=0.1n計算框架的基本自振周期。

以下規范中基本自振周期是結構總高度的函數：

其中α是系數，各國取值不一樣，大致在0.049～0.073范圍內。以色列的抗震規范（SI-413 1995）取0.049、阿爾及利亞抗震設計規范（A05-RPA99，A05-RPA83）取0.05（并且Ta取公式（1）、公式（4）的較小值）、英國建議取 0.073。

需要指出的是阿爾及利亞抗震設計規范（A05-RPA99，A05-RPA83）規范還指出無砌體填充墻的RC純框架結構的自振周期計算α取0.075。

我國和美國規范［6］有多個計算基本自振周期的經驗公式：

（1）我國《高層建筑混凝土結構技術規程》（2002）［7］規定對于比較規則的框架結構的基本自振周期，采用近似公式計算：

此外，《建筑結構荷載規范》（2006）［1］中指出高層建筑的RC框架結構基本自振周期的經驗公式為：

需要特別指出的是公式（5）和公式（6）都是針對高層建筑（10層及10層以上或房屋高度超過28 m的結構），而對于多層框架結構沒有指明計算方法，實際工程設計中都采用這兩個公式。

（2）美國 ASCE 7-05（2006）［6］規范規定，地震作用下當框架結構沒有被阻止其側移趨勢的較剛性部件所包圍或相連，且框架承擔了全部的地震作用時（類似于純框架結構），應采用式（7）計算框架結構的基本自振周期：

此外，該規范又指出對于不超過12層，且每層層高大于3 m且滿足前面規定的條件的框架，基本自振周期的經驗公式除了用公式7計算外也可以用式（8）計算。

上述估算Ta的經驗公式都與填充墻布置無關，則對圖1所示的三種不同的填充墻布置情況，計算出結果一樣的。

目前，有少數國家規范的RC框架基本自振周期計算的經驗公式考慮了填充墻的布置：

（1）Eurocode 8（2003）建議采用式（9）計算高度40 m以下的框架結構的基本自振周期：

其中，Ct是針對填充墻布置的修正系數；Ac（m2）是結構首層填充墻的有效面積，At（m2）是首層填充墻i的有效截面面積，lwi（m）是首層考慮抗震方向首層填充墻i的長度，h1（m）是結構首層墻高，以下同。

（2）哥倫比亞舊規范（NSR-84 1984），采用公式1估算框架結構基本自振周期，但d的計算采用式（12）來考慮填充墻的布置。

其中，Ns是考慮地震作用方向的填充墻被分割的數量；ds（m）是第s個填充墻長度、dsmax（m）最長填充墻的長度，該方法對首層無填充墻的情況（圖1（b））不適用。

哥倫比亞新規范（NSR-98 1998）采用式（9），但Ct采用式（13）和式（9）計算，且不能超過0.07：

（3）菲律賓規范（NSCP 1992）指定式（9）計算基本自振周期Ta，而Ct和Ac分別采用式（14）、式（15）。

現代有軌電車的配線設置不僅需要考慮列車正常運行以及故障運行的運營功能需求，還應考慮社會車輛和交叉口的影響，同時滿足有軌電車網絡化運營模式的需求。

當框架結構為矩形時，為了防止填充墻的長高比lwi/h大于1，在公式（11）、公式（13）和公式（15）中都規定其值應小于等于0.9。

Eurocode 8（2003）、NSR-98（1998）和 NSCP（1992）規范都采用公式（9）計算基本自振周期，都用系數Ct考慮填充墻的布置，但僅僅考慮了首層填充墻的布置影響。對圖1（b）中所示的底層沒有填充墻的框架結構Ac=0，則Ct不正確。因此，可以認為在Eurocode 8和NSCP（1992）規范中是不允許框架結構首層沒有填充墻。但是，這兩個規范中并沒有提到這一點。

（4）美國 ASCE 7-05（2006）［6］規范指出，對于填充墻和框架結構連接較好，并且限制地震作用下框架的側向位移，框架結構基本自振周期的計算采用式（16）：

其中，AB（m2）是結構底部的面積、Ai（m2）、Di（m）和hi（m）分別是第i個填充墻的面積、長度和高度，i是抵抗側向荷載方向填充墻的數量。

1.2 瑞利公式計算框架結構自振周期

針對經驗公式的局限性，如僅適合于規則框架結構，歐洲 Eurocode 8（2003）、哥倫比亞 NSR-98（1998）、哥斯達黎加Costa Rican code（1986）、委內瑞拉Venezuelan code（1988）、日本 NSCP code（1992）、阿爾及利亞Algerian code（1999）等推薦也可以使用瑞利公式（公式（18））來計算框架結構的基本自振周期Ta：

其中：wi（kg）、δei（m）、g（m/s2）和Fi（N）分別為框架第i層的結構重力，彈性變形，重力加速度和地震力。δei是根據采用經驗公式得到的基本自振周期后結構分析得到的。在 Eurocode 8（2003）和 Algerian code（1999）還給出了簡化的瑞利公式：

其中，Δ（m）為假想的結構頂點水平位移，即把各樓層的重力荷載代表值作為該層水平荷載加在框架結構上，計算得到的結構頂點彈性水平位移。瑞利公式是基于包括所有構件質量和剛度的結構動力計算方法。通常，規范規定瑞利公式計算得到的結構基本自振周期不應該超過按經驗公式得到的20%～30%。

我國《高層建筑混凝土結構技術規程》（2002）［7］明確規定對于質量和剛度沿高度分布比較均勻的框架結構，其基本自振周期公式可按修正的瑞利計算：

其中，ψT為考慮非承重墻剛度對結構基本自振周期的折減系數，但規范中僅僅給出當非承重墻體為填充磚墻時的取值為0.6～0.7，而對于其他材料的非承重墻體并沒有具體說明。式（20），通過 Δ考慮了填充墻的質量沿結構高度分布對結構周期的影響，通過ψT考慮了填充墻的剛度對結構自振周期的影響。

實際上，經驗值較瑞利公式更準確，因為經驗值考慮了一些結構動力計算時沒有考慮的一些不確定性因素，比如非結構構件如填充墻的剛度分布問題，混凝土和填充墻材料的彈性模量等因素，這些因素將降低結構的基本自振周期。因此，許多國家將瑞利方法計算值作為上限值，防止不切實際地降低地震力設計值［3］。如英國規范規定在強震區振型分析較經驗公式不得大于瑞利公式計算的1.3倍，其他地區為1.4倍；孟加拉國規范規定為1.2 倍［2］。

為了比較各國相關規范計算框架結構基本自振周期的差異和準確性，下面針對兩個實際的框架結構進行基本自振周期的計算，并將其和實測值進行比較。

2 各國規范框架結構基本自振周期計算值比較

2.1 實際框架結構介紹

位于阿爾及利亞東部城市Rouiba有相鄰的兩個根據阿爾及利亞建筑結構抗震設計規范（1983）設計RC框架結構［9］，本文將其分別稱為框架1和框架2?？蚣?僅有現澆樓板、梁和柱；框架2是在框架1的基礎上布置有粘土空心磚填充墻，它的結構尺寸和填充墻布置如圖2所示?？蚣?平面尺寸為20.1×7.8（m2），橫向兩跨縱向五跨，縱向完全對稱；豎向三層，每層高3.46 m，總高 10.38 m；柱截面尺寸均為 300 ×300（mm2），梁截面尺寸均為300×400（mm2），現澆樓板和填充墻的厚度分別為120 mm和240 mm。

圖2 框架2結構示意圖（單位mm）Fig.2 Structural diagram of frame 2（dimensions in mm）

采用Bruel和Kjaer信號采集儀，得到這兩個建筑物在風激勵下的振動加速度。環境風荷載可以認為是平穩白噪聲激勵，通過對采集的加速度信號進行快速傅里葉FFT變換，得到加速度自功率譜，然后采用峰值法，得到結構的自振周期。這兩個框架結構的前三階自振周期和振型如表1所示。由于兩個框架結構的地基和基礎良好，地基與上部結構的相互作用忽略不計，則砌體填充墻的加入是造成兩結構周期不同的原因。從表1可知，填充墻使框架結構的基本自振周期大幅度減小，高達56.5%。

表1 框架結構的自振周期和振型Tab.1 The vibration periods and mode of frames

2.2 各國規范經驗公式的計算結果

在1.1節所述的規范中，僅有美國和阿爾及利亞少數幾個國家提出了對不帶填充墻的框架基本自振周期的經驗公式，用這些公式對框架1進行計算，結果如表2所示。從表2可知，阿爾及利亞采用公式Ta=0.075h0.75計算值和測試值之間的差距最小僅為9%，其次是美國規范的Ta=0.1n，為25%。

表2 結構1的基本自振周期經驗公式計算值Tab.2 The fundamental periods of vibration of structure 1 using empirical formulas

表3 結構2的基本自振周期經驗公式計算值Tab.3 The fundamental periods of vibration of structure 2 using empirical formulas

采用1.1節所述各國基本自振周期計算的經驗公式對框架2基本自振周期進行了計算，計算結果如表3所示。從表3可知，對于布置砌體填充墻的結構2，絕大部分不考慮填充墻布置的經驗公式計算得到的基本自振周期較測試值偏大許多（公式（1）計算的竟高達92%），僅法國的較實際測試偏小，為20%。而考慮填充墻布置的經驗公式的計算值卻相反?？傮w來看，考慮填充墻布置得到的結果誤差要小于不考慮填充墻布置，其中美國ASCE 7-05（2006）規范得到的誤差最小，僅為2%。

2.3 各國規范瑞利公式的計算結果

根據1.2節所述的簡化瑞利公式，對框架1和框架2結構基本自振周期進行了計算，結果如表4所示。從表4中可以看出，對于沒有填充墻的結構1，計算結果誤差較小。而對于結構2，顯然兩個計算結果都偏太大，計算頂點位移的時候考慮了砌體填充墻質量的影響，但折減系數0.6考慮填充墻使得該框架結構填充墻的加入使得結構剛度增大程度還遠遠不夠。

表4 結構1、2的基本自振周期瑞利方法計算值Tab.4 The fundamental periods of vibration of structure 1 and 2 using Rayleigh method

前面討論方法，不管是經驗公式還是瑞利公式得到的僅是框架結構的基本自振周期，這對底部剪力法足夠了，但對振型分解反應譜法而言，就應采用其他的計算手段，如特征值分析法得到所需的多階振型自振周期。下面，討論如何建立較準確的框架結構有限元模型，以便于用動力分析得到多階振型和周期。

3 計算RC框架結構自振周期有限元模型的探討

RC框架結構的有限元模型，通常beam單元來模擬RC框架結構的梁、柱結構構件，shell單元來模擬現澆樓板，忽略了非結構構件填充墻，這種方法建立的模型針對框架靜力豎向荷載的分析是趨于安全的。但是，實際中由于填充墻的加入增大了框架結構的剛度，模型中沒有考慮填充墻會使模型較實際結構偏柔，最終導致模型動力分析得到的自振周期計算值較真實值偏大很多，從而不可采用。因此，傳統的模型已不在適合計算結構的自振周期。在計算框架結構自振周期時填充墻的模擬，Chaker等［10］指出有限元中平面應力單元較對角斜撐模型更準確。下面，以有限元軟件ABAQUS為平臺，探討計算框架結構自振周期的有限元模型。

3.1 有限元模型

基于ABAQUS平臺建立框架結構的有限元軟件模型：結構構件梁、柱采用beam單元，現澆樓板、填充墻采用shell單元，根據結構1和結構2的實際尺寸建立有限元模型1和2，并賦予相應的材料屬性（密度、彈性模量和泊松比）?？蚣芰篵eam單元和現澆樓板shell單元之間采用constraint中的tie連接，保證框架梁和現澆樓板的剛性連接，在選擇樓板作為從屬面的時候選擇sufarce，可以保證樓板在平面內剛度無限大；填充墻shell單元四個角點和梁柱節點處采用constraint中coupling方法模擬墻和梁柱的連接，如圖3（a）所示（為了清楚，將梁柱和填充墻分開顯示）。圖3中的（b）和（c）分別是結構1和結構2的有限元模型。對于網格類型，Beam單元采用B31，shell單元采用S4R。模型1和模型2采用ABAQUS/Standard中特征值分析的Lanczos方法進行動力分析，得到這兩個模型的自振周期和振型，下面對計算結果進行分析對比。

圖3 有限元模型Fig.3 The model of FEA

3.2 動力振型分析的結果

按3.1節所述的有限元動力分析得到兩個模型的振型和實測結果一致，依次為橫向、縱向和扭轉；對于前三階結構自振周期，模型 1 為 0.394 s、0.383 s和0.344 s，模型2 為0.178 s、0.152 s和0.137 s。將有限元計算結果和2.1節所述實測值進行比較，如圖4所示。從圖4可知，有限元計算和實測的結果非常接近，對基本自振周期，模型1和2誤差僅僅為1.5%和2.3%。因此，本文建議的計算自振周期的有限元模型正確。

圖4 自振周期對比Fig.4 The comparison of vibration periods

4 填充墻的布置對自振周期的影響分析

通過2.2節的分析，發現考慮填充墻布置的計算框架結構的基本自振周期的經驗公式相對要準確，為了進一步探討具體影響，對圖1所示三種情況，采用3.1節敘述的建立具有填充墻的框架結構有限元模型的方法，對圖1的三個結構進行了振型分析，具體的結構尺寸如下：

圖1所示的三個框架結構，縱向和橫向完全對稱，橫向三跨縱向四跨，每跨均為4×4（m2），整個結構平面為16×12（m2），豎向四層，每層高 3.5 m，總高14m；柱尺寸均為 300×300（mm2），梁尺寸均為300×400（mm2），樓板和填充墻的厚度分別為120 mm和240 mm，圖5是有限元模型示意圖（沒有顯示填充墻的布置）。

將圖5所示的有限元模型，每層滿布填充墻（如圖1（a）所示）時，振型分析得到的第一階自振周期為0.187 s，規范 NSR-84中經驗公式（公式（1）和公式（19）計算得到）計算值為0.188 s；美國 ASCE 7-05（2006）規范（式（20）和式（21）計算得到）計算值為0.109 s。這兩個經驗公式和結構動力分析的結果較接近。

將圖5所示的有限元模型，依次設置首層（圖1（b））到第四層沒有布置填充墻時，得到的結構基本自振周期為0.419 s、0.388 s、0.316 s和0.214 s。相對于填充墻滿布時的基本自振周期0.187 s，周期增大倍數依次為2.24、2.07、1.69 和1.14 倍。對于建筑功能的要求，填充墻在首層缺少的情況比較多，而這種情況對結構的自振周期影響最大。考慮填充墻布置的規范中僅NSR-98中的經驗公式可以計算首層沒有布置填充墻的情況，對該結構的計算值為0.506 s，該值和有限元計算值0.419 s的誤差比較小，為17%?？梢?，基本自振周期計算的經驗公式僅考慮首層填充的布置是合理的。

圖5 三維有限元模型Fig.5 3-D finite element model

將圖5所示的有限模型，按圖1（c）中所示進行填充墻布置，分析的得到結構的第一階自振周期為0.219 s。和滿布時的到的周期0.187 s相比差19%，差別不是特別大。此時，式（2）若取d為填充墻布置的寬度8 m得到的為0.203 s和動力分析結果很接近，如按d為12 m得到的為0.147 s，差別較大，可見d的取值應該考慮填充墻的布置情況。在經驗公式中，應該通過參數的設定，考慮首層填充墻的填充率。

5 結論

通過本文分析，可以得出以下結論：

（1）框架結構基本自振周期計算的經驗公式宜考慮填充墻布置的影響，并宜參照美國 ASCE 7-05（2006）規范，根據填充墻和框架連接情況分別考慮。

（2）對于填充墻和框架連接較好，填充墻限制結構側向位移時，建議參照美國ASCE 7-05（2006）和NSR-84規范：經驗公式宜取框架結構總高度的函數，系數考慮首層填充墻的布置，但取值還需根據我國實際情況，通過大量的實際結構測試值和結構動力分析來確定。

（3）我國規范中瑞利公式考慮了填充墻的布置和剛度對自振周期的影響是比較合理的，折減系數的選取應該進一步細化。

（4）對帶填充墻的框架結構建立本文提出的有限元模型，并采用特征值分析的辦法能獲得較準確的多階自振周期。

［1］GB 50011-2010.建筑抗震設計規范［S］.北京：中國建筑工業出版社，2010.

［2］Kaushik H B，Rai D C，Eeri M，et al.Code approaches to seismic design of masonry-infilled reinforced concrete frames：a state-of-the-art review［J］.Earthquake Spectra，2006，22（4）：961-983.

［3］Amanat K M，Hoque E.A rationale for determining the natural period of RC building frames having infill［J］.Engineering Structures，2006，28：495-502.

［4］王廣軍.鋼筋混凝土房屋自振周期的經驗公式［J］.四川建筑科學研究，1990，1：31-36.

［5］張 慧.填充墻對框架結構體系自振周期的影響［J］.水電能源科學，2008，26（6）：102-104.

［6］ASCE/SEI 7-05.Minimum design loads for buildings and other structures［S］.Virginia：American Society of Civil Engineers，2006.

［7］JGJ 3-2002.高層建筑混凝土結構技術規程［S］.北京：中國建筑工業出版社，2002.

［8］GB 50009-2001（2006版）.建筑結構荷載規范［S］.北京：中國建筑工業出版社，2006.

［9］Chaker A A，Cherifati A.Influence of masonry infill panels on the vibration and stiffness characteristics of RC frame buildings［J］. Earthquake Engineering and Structural Dynamics，1999，28：1061-1065.

［10］Chaker A A，Cherifati A.Influence of masonry infill panels on the vibration and stiffness characteristics of R/C frame buildings［J］. Earthquake Engineering and Structural Dynamics，1999，28（9）：1061-1065.