基于力耦合的非諧振單元組成的超聲變幅器設(shè)計(jì)

王時(shí)英，呂 明，軋 剛

（太原理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，太原 030024）

超聲在工業(yè)、農(nóng)業(yè)、醫(yī)療、軍事等諸多領(lǐng)域發(fā)揮了巨大的作用，超聲應(yīng)用的關(guān)鍵技術(shù)是如何產(chǎn)生相應(yīng)的超聲能量，為了使超聲電能最大效率地轉(zhuǎn)換為機(jī)械振動(dòng)能量，超聲振動(dòng)系統(tǒng)按“全調(diào)諧”方式工作［1］。此時(shí)超聲電源和變幅器有相同的諧振頻率，變幅器的結(jié)構(gòu)尺寸是由超聲振動(dòng)系統(tǒng)的諧振頻率決定的。根據(jù)全諧振設(shè)計(jì)理論，變幅器可以按半波長(zhǎng)及其整數(shù)倍分為變幅桿、圓盤(pán)等若干個(gè)振動(dòng)單元，按照諧振頻率分別設(shè)計(jì)每個(gè)振動(dòng)單元的結(jié)構(gòu)尺寸，并串聯(lián)組裝起來(lái)，振動(dòng)系統(tǒng)會(huì)在這一頻率上諧振。基于此，許多學(xué)者對(duì)單個(gè)變幅桿及圓盤(pán)振動(dòng)特性進(jìn)行了研究［2-5］。在超聲珩磨工藝中，變幅器作為加工工具的組成部分，其中的變幅桿和圓盤(pán)結(jié)構(gòu)尺寸可以由系統(tǒng)諧振頻率確定，可以用全諧振理論設(shè)計(jì)，而超聲珩齒工藝中，變幅器中的齒輪（簡(jiǎn)化為圓盤(pán)）的結(jié)構(gòu)尺寸是由它的使用要求決定，無(wú)法用現(xiàn)有的全諧振理論進(jìn)行設(shè)計(jì)，針對(duì)這個(gè)情況，提出了非諧振單元變幅器設(shè)計(jì)理論［6］，將結(jié)構(gòu)尺寸不能任意確定的齒輪與結(jié)構(gòu)尺寸可以任意確定的變幅桿組成復(fù)雜超聲振動(dòng)系統(tǒng)，通過(guò)調(diào)整變幅桿的結(jié)構(gòu)及尺寸，采用力耦合條件聯(lián)合設(shè)計(jì)變幅桿和齒輪，使齒輪與變幅桿組成的復(fù)雜超聲振動(dòng)系統(tǒng)諧振于要求的頻率范圍，滿足超聲珩齒要求。

1 超聲珩齒振動(dòng)系統(tǒng)的組成及其數(shù)學(xué)模型的建立

1.1 超聲珩齒振動(dòng)系統(tǒng)的組成

珩齒是將被珩齒輪通過(guò)心軸安裝在珩齒機(jī)工作臺(tái)的前后頂尖上，由裝在主軸上的珩輪帶動(dòng)齒輪高速旋轉(zhuǎn)實(shí)現(xiàn)珩削加工。超聲珩齒振動(dòng)系統(tǒng)將替代心軸和珩齒機(jī)一端頂尖安裝在珩齒機(jī)上，因此設(shè)計(jì)了如圖1所示的超聲珩齒夾具，它是由換能器、傳振桿及變幅器（階梯型變幅桿及齒輪組成）實(shí)現(xiàn)超聲振動(dòng)；傳振桿在節(jié)點(diǎn)與套筒連接，套筒通過(guò)軸承固定在夾具體上，夾具體固定在珩齒機(jī)工作臺(tái)上；變幅器用螺紋連接在傳振桿上，被加工齒輪通過(guò)內(nèi)孔連接在變幅桿上，并通過(guò)螺紋緊固。珩齒加工時(shí)，珩輪帶動(dòng)齒輪、變幅桿及換能器高速旋轉(zhuǎn)，因此換能器的電源采用電刷接入。

圖1 超聲珩齒夾具Fig.1 Jig of ultrasonic honing

1.2 超聲珩齒振動(dòng)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

超聲換能器、傳振桿、變幅器的結(jié)構(gòu)尺寸為二分之一波長(zhǎng)，按照全諧振設(shè)計(jì)理論，可以將變幅器從振動(dòng)系統(tǒng)中分離出來(lái)單獨(dú)進(jìn)行分析。齒輪可簡(jiǎn)化為外徑等于齒輪分度圓直徑、內(nèi)徑等于齒輪孔徑的環(huán)盤(pán)。由于變幅桿、齒輪及緊固螺母三者材料相同，且連接牢靠，可以將它們看作一個(gè)整體剛性連接振動(dòng)結(jié)構(gòu)；螺母以及超出被加工齒輪厚度的螺桿由于尺寸較小而忽略，齒輪變幅器對(duì)應(yīng)的簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)模型如圖2所示。建立柱坐標(biāo)系r，θ，z，坐標(biāo)系原點(diǎn)在階梯變幅桿大小截面突變中心位置。其中變幅桿的大端直徑為D1=2R1，小端直徑為D2=2R2，環(huán)盤(pán)的厚度為2h，直徑為D3=2R3，大端位移為ξ1，小端位移為 ξ2，環(huán)盤(pán)的彎曲振動(dòng)位移為w，變幅桿大端與小端截面突變處的圓弧半徑為R4。

圖2 階梯型變幅器的數(shù)學(xué)模型Fig.2 Mathematical model of the step transformer

階梯型變幅器的邊界條件為：

（1）變幅桿的大端與換能器在z=-L1連接，換能器輸出的位移最大，故變幅桿左端處位移最大，即位移導(dǎo)數(shù)為零：

其中，L1=λ/4。

（2）在z=0處，由于截面躍變，情況較復(fù)雜。如果截面比不是很大，可以認(rèn)為位移和應(yīng)力是連續(xù)的［7］。此處，有：

其中，QRi（i=1，2）為材料內(nèi)的應(yīng)力。

（3）變幅桿與環(huán)盤(pán)在z=L2處相連，變幅桿的位移應(yīng)等于盤(pán)的位移：

（4）在z=L2處，變幅桿所受的軸向力與盤(pán)內(nèi)孔面所受的剪力相等，即：

D為盤(pán)的彎曲剛度。

（5）當(dāng)r=R2時(shí)，變幅桿與環(huán)盤(pán)內(nèi)緣可以看做剛性連接，環(huán)盤(pán)此處的撓曲率為零：

（6）環(huán)盤(pán)作邊界自由的彎曲振動(dòng)，當(dāng)r=R3時(shí)，所受的彎矩為零，即：

剪切力也為零，即：

S2為階梯形變幅桿小端橫截面積。

2 階梯型變幅器的頻率方程及求解

階梯型變幅桿的縱向振動(dòng)大端的位移方程為：

小端的位移方程：

在實(shí)際加工中，要求環(huán)盤(pán)作只有圓節(jié)線的彎曲振動(dòng)，環(huán)盤(pán)的振動(dòng)位移分布（R2≤r≤R3）為：

式中，C1、C2、C3、C4為積分常數(shù)

（4）邊界條件和耦合條件

將式（9）～式（11）及其導(dǎo)數(shù)代入式（1）～式（8）得到下列方程：

將方程（12）～方程（19）變成形式：

其中常數(shù)Pij（i，j=1，2，3，4，5，6，7，8）是方程（12）～ 方程（19）的A1、B1、A2、B2、C1、C2、C3、C4對(duì)應(yīng)的系數(shù)，因?yàn)樗鼈儾蝗繛榱悖敲瓷鲜?個(gè)方程的系數(shù)行列式等于零：

上式即為變幅器的頻率方程，此方程與L2和系統(tǒng)的諧振頻率f有關(guān)，可以通過(guò)改變這兩個(gè)參數(shù)使Δ=0，此時(shí)的長(zhǎng)度即為變幅器在此頻率下的諧振的設(shè)計(jì)參數(shù)。

設(shè)振動(dòng)系統(tǒng)的諧振頻率為15 kHz，變幅器的材料選用45鋼，其材料常數(shù)即設(shè)計(jì)計(jì)算材料常數(shù)為：彈性模量為2.092 ×1011N/m2，泊松比為 0.29，材料密度為7 810 kg/m3。根據(jù)換能器尺寸確定R1=37.5 mm，變幅器的其它尺寸為R2=18 mm，R3=60 mm，h=6 mm。變幅桿的大截面長(zhǎng)度L1取定值，L1=λ/4=81 mm。取L2的變化范圍從10 mm到450 mm，在MATLAB軟件中編程，以L2為橫坐標(biāo)，以求出頻率方程（20）的值Δ作為縱坐標(biāo)，繪制出如圖3的曲線，在最靠近Δ=0的L2值有三個(gè)，分別為 86.25 mm，258.8 mm，431.3 mm。

圖3 頻率 f=15 kHz時(shí)，L2的長(zhǎng)度變化時(shí)頻率方程解的誤差Fig.3 f=15 kHz，the relationship between L2 and error of frequent equation’s solution

考慮到變幅器結(jié)構(gòu)盡量緊湊，取L2=86 mm。這樣，就確定了階梯型變幅器的非諧單元—變幅桿的長(zhǎng)度，從而確定了整個(gè)變幅器的結(jié)構(gòu)尺寸。

如果按照全諧振設(shè)計(jì)（把階梯形變幅桿作為單一變幅桿進(jìn)行設(shè)計(jì)，諧振頻率為15 kHz），那么，大端和小端的長(zhǎng)度應(yīng)該相等，即L1=L2=λ/4=81 mm。然而按非諧理論設(shè)計(jì)，實(shí)際求得L2＞L1，說(shuō)明非諧理論應(yīng)用的必要性。

3 階梯型變幅器的模態(tài)分析

為了驗(yàn)證理論設(shè)計(jì)變幅器的振動(dòng)模態(tài)，在ANSYS中建立如圖4所示的變幅器模型，單元類(lèi)型選擇SOLID45，智能劃分網(wǎng)格，網(wǎng)格精度等級(jí)為3，進(jìn)行模態(tài)分析，提取十階頻率，頻率搜索范圍為10 kHz到20 kHz。

圖4 階梯型變幅器的有限元模型及振型Fig.4 Finite element mode and its vibratory mode of the step transformer

模態(tài)分析后，變幅器在14.548 kHz時(shí)的振型如圖4所示。從ANSYS模態(tài)仿真振型來(lái)看，階梯型變幅桿作縱向振動(dòng)；與變幅桿相連的圓盤(pán)作純圓節(jié)線的彎曲振動(dòng)，而且整個(gè)振動(dòng)系統(tǒng)的諧振于14.548 kHz，與設(shè)計(jì)理論相差0.452 kHz。這說(shuō)明，用解析法設(shè)計(jì)的變幅器是一種有效的、比較可靠的變幅器設(shè)計(jì)理論。

4 變幅器的諧振頻率測(cè)試及振動(dòng)實(shí)驗(yàn)

采用敲擊法測(cè)試變幅器的諧振頻率，實(shí)驗(yàn)裝置如圖5所示。電荷放大器型號(hào)為YE5854；示波器型號(hào)為T(mén)DS1012，測(cè)試頻率100 MHz；壓電加速度傳感器型號(hào)為CA-YD-125，質(zhì)量?jī)H1.2 g。把變幅器平放在泡沫板上，在圓盤(pán)的中央用膠粘上傳感器。測(cè)試時(shí)用小錘敲擊變幅器的一端，實(shí)驗(yàn)測(cè)得變幅器響應(yīng)波形如圖6所示。

圖5 實(shí)驗(yàn)裝置示意圖Fig.5 Sketch of experimental device

圖6 敲擊法得到的波形圖Fig.6 Waveforms measured by the transformer’s strike

在示波器中，由于三個(gè)周期的波傳播用時(shí)50 μs×4=200 μs，那么該波的頻率為：

即該變幅器的固有頻率為15 kHz，與設(shè)計(jì)頻率吻合。

把階梯型變幅器與超聲波換能器連接，在盤(pán)上均勻撒上少量細(xì)沙，接通電源，細(xì)沙迅速在圓盤(pán)上排列成一個(gè)圓圈，如圖7所示，說(shuō)明圓盤(pán)的確在作純圓節(jié)線的彎曲振動(dòng)，此時(shí)系統(tǒng)的振動(dòng)頻率為15.623 kHz，進(jìn)一步說(shuō)明理論設(shè)計(jì)結(jié)果正確。

圖7 階梯形變幅器振型Fig.7 The vibrational shape of step transformer

5 結(jié)論

齒輪的結(jié)構(gòu)尺寸是由它的使用要求決定，與由超聲振動(dòng)系統(tǒng)諧振頻率決定的尺寸相差較大，因此是一種非諧振單元，本文采用力耦合方法，將齒輪簡(jiǎn)化為圓盤(pán)，將它和變幅桿組合設(shè)計(jì)，實(shí)現(xiàn)了諧振于某一頻率的超聲變幅器可以由不諧振于此頻率的變幅桿和環(huán)盤(pán)組成的設(shè)計(jì)。經(jīng)有限元分析及實(shí)驗(yàn)測(cè)試，設(shè)計(jì)變幅器的諧振頻率及振動(dòng)模態(tài)與理論預(yù)期結(jié)果一致，說(shuō)明本文提出的非諧單元組成的變幅器的動(dòng)力學(xué)設(shè)計(jì)方法是可行、有效的。

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