矩陣K dV約束流的r矩陣

徐 英，梁鳳鳴

(1.淮南師范學院數學與計算科學系，安徽淮南 232001;2.泰山學院學報編輯部，山東泰安 271021)

1 引言

近幾十年來，著名的r矩陣理論［1］被廣泛的應用于研究約束孤子流中，這些約束孤子流是由孤子方程通過非線性化Lax對文獻［2－3］得到的有限維經典可積Hamilton系統.又因為所有這些約束孤子流都有Lax表示Lx=［U，V］，其中L和V都是李代數.因此，其守恒積分可以由TrLk，k∈Z表示.由如下r矩陣關系

通過直接計算，可以得到如下對合關系

已有的r矩陣關系幾乎都是在對2×2矩陣型的Lax算子的研究中得到的［4－6］，在本文中我們考慮一個4×4矩陣型的Lax算子的r矩陣關系，我們會發現這個Lax算子也滿足r矩陣關系(1)，從而有(2)，由此我們可以得到其有限維Hamilton系統足夠多的守恒積分在Poisson括號下兩兩對合，進而可證明其有限維Hamilton系統在Liouville意義下是完全可積的.

2 矩陣KdV方程

文獻［7］考慮4×4譜問題

其中

以及(3)的輔助譜問題

其中

的Lax對非線性化.

3 有限維可積系統的r矩陣

文獻［7］考慮(3)和(4)的Lax對非線性化.

在約束

下，得到其有限維Hamilton系統

其中

有限維Hamilton系統(6)有如下Lax表示

當且僅當約束(5)成立，這里

在辛流形(R4N，∑2i=1dpi∧dqi)下，兩光滑函數f，g的Poisson括號定義為

記L1(λ)=L(λ)?E4，L2(μ)=E4?L(μ).這里C=A?B定義為c4(i－1)+k，4(j－1)+ι=aijbkl，A=(aij)，B= (bkl)［8］.

在Poisson括號(8)下，通過復雜冗長的計算得到［8］

由此可得如下定理.

定理1 L(λ)滿足r矩陣關系

其中

這里ekl為第k行l列元素為1，其他位置全為0的4×4矩陣.

由r矩陣關系(1)，有

Lax矩陣的特征多項式是

其中

設

因此，Hamilton函數與守恒積分的關系可以表示成

并且由定理1可知，L(λ)滿足r矩陣關系，所以(2)成立，從而守恒積分對合，即{Fim，Fin}=0，i，j=1，2.

又由文獻［7］知守恒積分Fim(i=1，2，1≤m≤N)在R4N的稠密開子集上是函數獨立的.因此，在辛空間中，該有限維Hamilton系統(6)在Liouville意義是下完全可積的.

［1］Babelon O，Villet CM.Hamiltonian structures and Lax equations［J］.Phys.Lett.B.，1990(237):411－416.

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［6］陳金兵.廣義c－KdV約束流的Lax對及其r矩陣［J］.徐州師范大學學報，2003，21(3):1－5.

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［8］Faddeev L D，Takhtajan.Hamiltonian methods in the theory of soliton［M］.Spring:Verlag，1987.