一族多分量的劉維爾可積系及其可積耦合

李柱

(信陽師范學院數學學院，河南信陽 464000)

1 引言

自從上世紀60年代以來孤立子理論得到了迅速發展.1989年屠規彰提出了利用零曲率方程得到可積孤子方程族的簡便方法［1］，隨后，人們利用此方法得到了許多具有物理意義的可積方程族［2－7］.近年來，有些可積系統無法由跡恒等式建立其哈密頓結構，為了解決此問題，馬文秀教授等在雙線性泛函下建立了變分跡恒等式［8］.其基本思想如下，對于給定的譜矩陣U=U(u，λ)∈G，其中G是矩陣loop代數，選擇λ和u合適的秩使得U是同秩的，定義假設V和V是12靜態零曲率方程Vx=［U，V］的同秩解，則它們是線性相關的:V1=γV2，γ=const.此條件是得到跡恒等式的必要條件.令G是一個矩陣loop代數，U=U(u，λ)∈G是同秩的，記＜.，.＞表示為在矩陣李積下非退化的雙線性形式不變量，若靜態零曲率方程Vx=［U，V］對于一個確定的常數有唯一解V∈G，則對任何方程Vx=［U，V］的同秩解V∈G有如下的變分跡恒等式

其中γ是常數.變分跡恒等式推廣了跡恒等式的使用范圍，它可以應用于半單或非半單李代數.

本文安排如下，在第二和第四部分得到了一族多分量的可積系統及其耦合系統，作為其約化情況得到了Dirac族，并在第三和第五部分利用變分跡恒等式給出了相應的哈密頓結構.

2 多發量的可積系統

設a=(a1，a2，…，aM)，b=(b1，b2，…，bM)，c是一個常數，定義它們的乘法和除法為

設G3={a=(aij)3×M=(a1，a2，a3)T，ai=(ai1，ai2，…，aiM)}，及其換位運算［a，b］為

容易驗證G3是一個李代數.

相應的loop代數~G3為

考慮如下的等譜問題

取

其中

解靜態零曲率方程Vx=［U，V］，可得

記

直接計算得

得如下的可積系

其中

由(5)可得

其中

因此，系統(9)可以記為

當M=1，u3=u4=u5=0時，系統(13)約化為Dirac族因此稱(13)為推廣的多分量Dirac族.

3 系統(13)的哈密頓結構

設Gs是一個s維的線性空間，其基元為是Gs的兩個元素，定義其換位運算為

在上述運算下易知Gs是一個李代數.

相應的loop代數G~s及其基和換位運算分別為

在loop代數G~s的基礎上構造線性等譜問題

其相容性條件可得零曲率方程

相應的靜態零曲率方程為

其中

若V1和V2是(19)的同秩解并且滿足

對于a，b∈~Gs，由方程

可得s階矩陣R(b)，由方程組

可得常量矩陣F=(fij)s×s，引入雙線性泛函

則由文獻［8］可得如下的變分跡恒等式

其中λ是待確定的常數.

由(1)可得

解矩陣方程FT=F和R(b)F=－(R(b)F)T，得

故，{a，b}=aTFb=a1b1+a2b2－a3b3.

利用變分跡恒等式(25)得

比較λ－2n－3的系數得

取n=0得γ=0，因此有，

比較λ－2n－2的系數得

取n=0得γ=0，因此有，

容易驗證J1L1=L*1J1，J2L1=L*1J2，因此，系統(13)是liouville可積的.

4 系統(13)的可積耦合

在李代數G3的基礎上構造擴展的李代數G6.令G6={a=(aij)6×M=(a1，a2，a3，a4，a5，a6)T，ai= (ai1，ai2，…，aiM)}，［a，b］的交換運算定為

容易驗證G6是一個李代數.相應的loop代數為

考慮如下的等譜問題

因此，系統(13)具有雙哈密頓結構

取

其中

解靜態零曲率方程Vx=［U，V］，得

記直接計算得

其中

可得如下的可積系

其中

其中

由(38)可得遞推算子~L滿足

其中

因此，系統(42)可寫為

當u6=u7=u8=u9=u10=0時，系統(48)可約化為(13)，由可積耦合的定義知系統(48)是系統(13)的可積耦合.

5 系統(48)的哈密頓結構

由(35)可得

類似于(27)，可得

故，{a，b}=aTFb=(a1+a4)b1+(a2+a5)b2－(a3+a6)b3+a1b4+a2b3－a3b6.

由(25)可得

比較λ－2n－3的系數可得

取n=0時得γ=0，因此有

比較λ 的系數可得－2n－2

取n=0時得γ=0，因此有

故系統(48)具有雙哈密頓結構

容易驗證~J1~L=~L*~J1，~J2~L=~L*~J2.因此，系統(48)是Liouville可積的.

［1］Guizhang Tu.The trace identity，a powerful tool for constructing the Hamiltonian structure of integrable systems［J］.J.Math.Phys，1989，30(2):330－338.

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［4］董煥河，張寧，楊記明.廣義KN方程族及其Hamilton結構［J］.大學數學，2005，21(2):69－72.

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