一種低階大氣環(huán)流模型的全局指數(shù)吸引集估計(jì)

孔憲明，鞠培軍

(泰山學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，山東泰安 271021)

1 引言

最近十多年來，混沌控制和同步得到廣泛而深入的研究［1－2］，其中許多結(jié)論的證明都用到了混沌系統(tǒng)最終有界的假設(shè)，因此，混沌系統(tǒng)的最終有界性證明非常重要.由于混沌系統(tǒng)的方程組是非線性的，進(jìn)行純理論分析較困難.直到2002年，Tucker用計(jì)算機(jī)輔助方法嚴(yán)格論證了Lorenz吸引子存在性的信息［3］.俄羅斯學(xué)者Leonov針對(duì)Lorenz系統(tǒng)，得到系統(tǒng)全局吸引集的一個(gè)圓柱形估計(jì)式和一個(gè)球形估計(jì)式，這是典型混沌系統(tǒng)第一個(gè)全局最終有界的結(jié)果［4］.廖曉昕等通過構(gòu)造廣義正定、徑向無界Lyapunov函數(shù)，給出了Lorenz系統(tǒng)全局指數(shù)吸引集的統(tǒng)一結(jié)果，囊括了目前一些類似結(jié)果為特例［5－7］.最近，我們針對(duì)廣義Lorenz系統(tǒng)，通過線性變換和構(gòu)造Lyapunov函數(shù)，給出了系統(tǒng)全局指數(shù)吸引集估計(jì)的新方法，得到了最終有界的精確估計(jì)式.

文獻(xiàn)［8］提出了一個(gè)新的低階大氣環(huán)流模型

當(dāng)a=1/4，b=10，G=2.1，F(xiàn)=7時(shí)，上述系統(tǒng)有一個(gè)混沌吸引子，如圖1所示.

文獻(xiàn)［8］討論了該系統(tǒng)吸引子的特征，并數(shù)值模擬了系統(tǒng)從分歧到混沌的過程.對(duì)于這種混沌模型吸引子的研究還沒看到.本文將研究這類大氣環(huán)流模型的吸引子存在性問題，給出一個(gè)全局指數(shù)吸引集的估計(jì)式，所得系統(tǒng)的有界性結(jié)果將為進(jìn)一步研究奠定了很好的基礎(chǔ).

2 問題描述

類似文獻(xiàn)［5－7］，我們稱

圖1 系統(tǒng)(1)的混沌吸引子

當(dāng)t→+∞時(shí)，稱Ω={X|V(X)≤L}為式(1)的一個(gè)全局吸引集.若?X0∈Ω，?t＞t0，X(t，t0，X0)?Ω，則稱Ω為正向不變集.

若還存在r＞0，?X0∈3，當(dāng)V(X0)＞L，且V(X(t))＞L時(shí)，存在指數(shù)估計(jì)式V(X(t))－L≤(V(X0)－L)e－r(t－t0)則稱Ω為式(1)的一個(gè)全局指數(shù)吸引集.

3 全局指數(shù)吸引集

為式(1)的廣義正定、徑向無界的Lyapunov函數(shù)，其中X=(x，y，z).

定義1［5－7］若存在正數(shù)L＞0，則對(duì)于V(X0)＞L，且V(X(t))＞L，有

1=0，因此f1(x，y)在(x1，y1)達(dá)到全局極大值.

有

利用比較定理對(duì)式(2)兩邊進(jìn)行積分有

從而當(dāng)V(X(t))≥L1，V(X0)≥L1時(shí)，有全局指數(shù)估計(jì)式

有

故有

分別對(duì)式(3)、(5)兩邊取上極限，便有

即

推論1 當(dāng)F=G=0時(shí)，系統(tǒng)(1)的平衡點(diǎn)(0，0，0)全局指數(shù)穩(wěn)定.

推論2 對(duì)于控制系統(tǒng)

設(shè)計(jì)常數(shù)控制器:u1=－aF，u2=－G，則控制系統(tǒng)的平衡點(diǎn)(0，0，0)全局指數(shù)穩(wěn)定的.

當(dāng)a=1/4，b=10，G=2.1，F(xiàn)=7時(shí)，設(shè)計(jì)以上常數(shù)控制器，仿真如圖2所示.

圖2 控制系統(tǒng)(6)的常數(shù)控制仿真圖

4 結(jié)論

本文利用廣義Lyapunov函數(shù)方法估計(jì)了一種低階大氣環(huán)流模型最終有界的問題，給出了全局指數(shù)吸引集的估計(jì)式.混沌系統(tǒng)的最終有界性將為進(jìn)一步研究控制和同步奠定基礎(chǔ)，本文所得結(jié)果具有一定的理論和實(shí)際意義.

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