基于含可變因子廣義S變換的瑞雷面波頻散曲線提取方法

周竹生，楊朋凱，陳友良

（中南大學 地球科學與信息物理學院，湖南 長沙 410083）

基于含可變因子廣義S變換的瑞雷面波頻散曲線提取方法

周竹生，楊朋凱，陳友良

（中南大學 地球科學與信息物理學院，湖南 長沙 410083）

面波頻散曲線的提取是面波資料處理的關鍵。鑒于S變換和廣義S變換不能全時段兼顧頻率分辨率和時間分辨率的缺點，提出了含可變因子廣義S變換進行瑞雷面波頻散曲線的提取方法。可變因子的引入使得高斯窗函數的寬度隨頻率發(fā)生變化時具有目的性，而不是簡單地隨著頻率的增大而變窄。該方法可以有針對性地改善局部頻段（特別是低頻段和高頻段）的頻率分辨率及時間分辨率。通過理論模型和實際資料試算表明：含可變因子廣義S變換提取面波頻散曲線的方法具有可行性和實用性。

瑞雷面波；S變換；廣義S變換；可變因子；頻散曲線

0 前言

面波勘探方法是近年來發(fā)展起來的一種淺層地震勘探新方法，它是基于瑞雷波的頻散特征來進行工作的。由于瑞雷波的波速同剪切波速度及巖、土力學參數有著密切的關系，因此在巖、土工程、煤田超前預測和地基處理等方面得到廣泛應用［1～3］。其核心是利用了層狀介質中面波的頻散特性和傳播速度與巖土物理力學性質的相關性來達到勘探目的，即不同的頻率成份具有不同的相速度。因此如何準確提取頻散曲線，是瑞雷波勘探技術的關鍵問題。

對瑞雷波頻散曲線的提取，前人做過一些研究。利用互相關譜法［4］，對兩道信號進行傅里葉變換，得到自功率譜和互功率譜、傳遞函數和相干函數，由互功率譜可以得到兩道信號由于面波傳播過程中時間滯后所產生的相位差，從而求出頻散曲線。但是，由于傅里葉變換的相位變化范圍為［－π，＋π］，因此計算所得到的相位可能會相差n倍，限制其應用。另外，對于頻率較低的單色波，一般情況下其相位差很小甚至趨于零，此時，即便相位差存在一個極小的誤差，都會對計算得到的相速度帶來極大的影響。劉云禎［5］等人提出通過多道分析選擇最佳觀測時窗，利用F－K變換提取瑞雷波頻散曲線，但當各種轉換波與面波嚴重耦合在一起時，難以選擇最佳觀測窗口；Tatham、陳淑珍、孫先海等人［6～8］提出利用τ－p變換進行波場分離的思想，為瑞雷波頻散曲線的提取提供了一條新的途徑，但是τ－p變換易出現假頻和端點效應，且對層狀介質，τ－p域中瑞雷面波沒有點狀特性，對于裂隙、空洞等復雜情況，τ－p域中的形狀更加復雜。此外，由于在巖土工程等方面應用的瑞雷波屬于典型的非平穩(wěn)信號，如果在瑞雷波分析和參數提取方面還沿用時不變信號的處理手段進行處理，勢必受到一定的限制。因此，可以嘗試采用時頻分析的方法進行處理。

在應用時頻分析進行頻散曲線提取方面，孔令召［9］、馬見青［10］等通過 Gabor變換和S變換進行瑞雷面波的頻散曲線提取，取得了一定的效果。但由于Gabor變換中高斯函數形態(tài)固定，受海森堡測不準原則限制，時頻分辨率不能達到最好，并且S變換中固定的基本小波也限制了其應用效果。為此，作者在廣義S變換的基礎上，對高斯窗函數進行了改造，即引入一個以頻率為自變量的可變因子函數，以便針對非平穩(wěn)信號的時頻特征，靈活多變地調節(jié)窗函數的類型及其參量，避免了S變換的時頻分辨率變化趨勢不變及廣義S變換的時頻分辨率變化趨勢單一的問題，使之具有更高的適應性和針對性，進而繼承和發(fā)展了廣義S變換。同時，利用可變因子的廣義S變換進行瑞雷波頻散分析，取得了理想的效果。

1 基本原理

1.1 S變換和廣義S變換

Stockwell等［11、12］吸收短時傅立葉變換和連續(xù)小波變換二者的優(yōu)點，提出了著名的S變換，它是以Morlet小波為基本小波的連續(xù)小波變換的延伸。S變換表述如式（1）：

式中 h（t）為信號在時域的表示式；f代表頻率；τ是時間，為窗函數的中心點，控制著窗函數在時間軸上的位置。

顯然，在S變換中，其基本小波和高斯窗函數被分別定義為：

由此可見：S變換允許高斯窗函數的寬度隨頻率f的改變而改變，且表現為隨頻率f的增大而變窄。因此，在低頻段時窗較寬，相應的頻率分辨率較高；而高頻段時窗較窄，對應的時間分辨率較高。也就是說，S變換在低頻、高頻段分別具有較高的頻率分辨率和時間分辨率。

在S變換中，由于基本高斯窗函數形態(tài)固定，因而限制了它的應用。為此，Mansinha等［13～15］提出用｜f｜／k代替S變換的高斯窗函數中的｜f｜。這時，高斯窗函數表示為：

便得到所謂的廣義S變換：

式中 k為常數，且k＞0。

當k＝1時，即為標準的S變換，也就是說S變換僅是廣義S變換的特例。在廣義S變換中，通過控制k值的變化，可以提高時～頻譜的時間（或頻率）分辨率。如：小k值對應高時間分辨率；大k值對應高頻率分辨率。鑒于時間分辨率和頻率分辨率之間的對立性，在應用Mansinha廣義S變換時，應根據實際情況選擇合適的k值。

1.2 含可變因子的廣義S變換

S變換無法解決頻率分辨率和時間分辨率之間的矛盾。Mansinha［13］提出的廣義S變換雖然可以通過調節(jié)k值來分別提高頻率分辨率或時間分辨率，但由于k值是在全域內設定的常數值，它在提高頻率分辨率或時間分辨率的同時，分別以犧牲時間分辨率或頻率分辨率為代價，因而，仍然沒有解決二者之間的矛盾。

總的來說，對某一非平穩(wěn)信號的時～頻分解，S變換獲得的時～頻譜是唯一的，其時頻分辨率是不可改變的；廣義S變換通過調控k值可以獲得多個時～頻譜，但對于某個固定的k值，其分辨率的變化趨勢仍是單一的。因此，無論S變換還是廣義S變換，都無法做到同時對全時段信號的局部頻段的分辨問題進行著重刻畫。為使變換得到的時～頻譜能更好地反映全時段信號局部頻段的細節(jié)，對廣義S變換中的高斯窗函數進行改進，引入一個與頻率有關的可變因子σf，得到了一種全新的廣義S變換。

將式（4）所示的高斯窗函數修正為：

式中 σf是一個以頻率f為自變量的函數因子，可視需要而定義為不同類型的函數。

例如取：

或

σf（f）＝ （kf＋b）a

式中 k、a、b均取常數。

當可變因子σf隨頻率f呈線性變化時，含可變因子的廣義S變換表示為：

2 含可變因子的廣義S變換提取瑞雷面波頻散曲線

利用含可變因子的廣義S變換提取頻散曲線，只需求得道間距為d的兩道信號的時頻譜，就可以求出各頻率的相速度，實現步驟如下：

（1）分析工區(qū)的瑞雷面波信號，選用合適的可變因子σf，對道間距為d的兩道瑞雷面波信號進行可變因子廣義S變換，取得二張時頻譜圖。

（2）固定頻率f，分別在二張頻譜上尋找該頻率能量極值所對應的時間t1、t2，可計算出該頻率在這二張時頻譜上的時間差Δt＝｜t1－t2｜。

（3）計算相速度VR（f）＝；為克服偶然性

影響，最好采用統計平均方法計算相速度，即：

式中 N為面波記錄的總道數；Δtm為頻率為f的第m－1和第m道之間的時間差。

（4）改變頻率f，重復步驟（2）～步驟（3），最終獲得全部計算頻段內的相速度，即f－VR頻散譜圖。

3 仿真實驗

為了對比S變換、廣義S變換和含可變因子廣義S變換的時～頻分析效果，首先用合成模型信號來說明含可變因子廣義S變換具有更好的時頻分析能力。

圖1是合成的非平穩(wěn)信號。

圖2（a）為合成信號的S變換時頻譜，從圖2（a）中可見，S變換保持了在低頻段有較好頻率分辨率、高頻段有較好時間分辨率的特點，但低頻段的時間分辨率較低，高頻段的頻率分辨率較差。圖2（b）是對應的廣義S變換的時頻譜，可見，雖然通過選擇合適的k值，提高了低頻段的時間分辨率，但全域的頻率分辨率大大下降，因此，廣義S變換只能在時間分辨率和頻率分辨率二者之間取舍。圖2（c）是取可變因子為0.02f時的廣義S變換的時頻譜，其中不僅時間分辨率得到了較大幅度的改善，而且中高頻成份的頻率分辨率也有所提高。

通過比較不難發(fā)現，含可變因子的廣義S變換，在時域和頻域的分辨率都比S變換乃至廣義S變換具有明顯的優(yōu)點。

4 實際資料試算

圖3是福建某高速公路某工點采集的單炮面波記錄，檢波器主頻3.8Hz，12道接收，道間距為1m，采樣點數為1 024個，采樣間隔為0.2ms。

圖3 單炮面波記錄Fig.3 Single－shot surface－wave records

按照上述求算步驟，以第7道和第8道為例來說明。對兩道進行含可變因子的廣義S變換，得到二張時頻譜（如圖4所示），分別在二張時頻譜上尋找出20Hz的極值點所對應的時間記錄點分別為301和268，由于采樣間隔為0.2ms，則時間差為6.6ms，由此計算出的對應頻率20Hz的相速度為151.5m／s。用相同的方法也可以求出不同頻率的相速度，即頻散曲線。

按工程上的習慣，將頻率轉換為波長，并遵照半波長解釋理論，將波長轉換為勘測深度，就可得到如圖5所示的相速度～深度圖。

經證實，該相速度－深度曲線所揭示的分層信息和各層物性參數與鉆探資料吻合良好。

5 結論

理論模型和實際資料試算結果表明，利用可變因子，可以控制高斯窗函數寬度變化的快慢，使得窗函數的改造與實際信號的特征更加緊密地聯系起來。相比S變換及Mansinha提出的廣義S變換，含可變因子的廣義S變換更能反映信號的局部特征。鑒于含可變因子的廣義S變換的這種優(yōu)勢，對瑞雷面波記錄進行含可變因子的廣義S變換，能夠更準確地反映時間和頻率的對應關系，因而提高了提取瑞雷波相速度的精度，得到較理想的頻散曲線（受篇幅影響，這里未逐一展出S變換和廣義S變換的計算結果）。

值得一提的是，隨著時頻分辨率的提高，在時頻譜上識別各頻率的極值的難度相對增大，有時可能面臨多極值選擇。因此，實際工作中，應適當加入一些圖像處理、人工交互解釋以及統計計算方面的工作，才能保證取得更為理想的效果。

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P 631.4

A

10.3969／j.issn.1001－1749.2012.05.03

1001—1749（2012）05—0518—05

2011－11－04 改回日期：2012－06－04

周竹生（1965－），男，湖南祁陽人，博士后，教授，現主要從事資源勘查、工程物探、地質災害調查、信號處理、應用軟件研制及數據庫開發(fā)等方面的教學和研究工作。