一個新混沌系統的同步控制及其在保密通信中的應用

梅小華

(河西學院數學與統計學院，甘肅張掖 734000)

這里，控制輸入選擇為，

0 引言

自1990年，Grebogi等提出OGY混沌控制法，以及Pecora等提出完全同步以來［1］，研究人員對混沌系統的認識更加深入，混沌同步已經成為非線性科學理論及應用的重要組成部分及混沌研究的熱點問題.到目前為止，學者們已經提出很多實現混沌同步的方法，例如，驅動響應同步法、線性反饋同步法、自適應控制同步法［2－5］等.本文研究了一類新混沌系統的同步問題，基于李雅普諾夫穩定性理論，利用激活控制法以及參數未知時自適應控制實現該系統的自同步，同時，本文利用歸納、推論和定理，以及仿真實驗進一步證明了這些結論的正確性，最后，采用自適應混沌同步方法進行保密通信實驗，實驗結果表明，利用混沌掩蓋可以有效地恢復出信息信號.本方法易于實現，收斂速度快，并且可以推廣到其他類似系統.

1 一個新混沌系統的數學模型

在文獻［6］中，馬海軍等通過對分岔混沌拓撲結構與全局復雜性的研究，建立了一個混沌系統，

當該系統取參數，a=0.9，b=0.2，c=1.2，初始條件為［2，1，2］時，利用Matlab可得到混沌系統(1)的三維相圖如圖1所示.

圖1 混沌系統(1)的三維相圖

2 參數不確定時混沌系統的同步

在實際中，許多動力系統具有參數或模型的不確定性，尤其隨著環境的改變，系統的參數可能會發生變化.比如，在通信系統中，發送機和接收機的結構和參數完全相同的混沌同步通信是不現實的.因此，對參數未知的不確定的混沌系統的同步研究具有重要的實際意義，這個時候可以利用自適應同步方法實現混沌同步.設驅動系統為混沌系統(1)，則其響應系統為，

設狀態誤差和參數誤差為，

其中，a1，b1，c1是對a，b，c的估計，則系統誤差為，

構造李雅普諾夫函數，

則，

選擇如下控制器，

此時，

當參數a，b，c都大于等于零時，V·為負定，根據Barbalat引理，知，

即驅動和響應系統達到同步效果.因此，對任何的初始狀態，選擇自適應控制器(4)和自適應律(5)，可以使得響應系統和驅動系統達到同步，于是，得到如下定理.

定理1 對于驅動系統(1)和響應系統(2)，如果參數自適應律選擇(5)，反饋控制器選擇(4)，則驅動系統和響應系統將達到全局漸進同步.

3 基于激活控制的混沌同步

設驅動系統為混沌系統(1)，響應系統為，

設，

則系統誤差為，

定義激活控制函數，U=(u1，u2，u3)T，為，

這里，控制輸入選擇為，

此時，閉環的特征根為:-1，-1，-1.于是，當t→∞時，‖e1‖→0，‖e2‖→0，‖e3‖→0，意味著驅動和響應系統可以實現混沌同步，于是，可得到如下的定理.

定理2 對于驅動系統(1)和響應系統(6)，如果系統的激活控制器取(8)，控制輸入取(9)，則驅動系統(1)和響應系統(6)可以實現全局漸進同步.

4 數值模擬結果

為了驗證我們所設計的混沌控制器的有效性，本文采用四階龍格—庫塔方法進行仿真.

例1 取驅動系統(1)的初值為(0.7，0.5，0.8)，響應系統(2)的初值為(0.6，0.3，0.5)，參數取，a=0.9，b=0.2，c=1.2.誤差時序圖的仿真結果如圖2所示.

圖2 自適應同步的同步誤差

由圖2可知，雖然驅動系統(1)和系統(2)的初值不同，但還是很快實現了該混沌系統的自同步.圖3表示的是參數的估計隨時間變化的曲線圖，可以看出，隨著時間的變化參數收斂到真值.

圖3 參數的的估計

例2 取驅動系統(1)的初值為(-0.07，0.55，0.18)，響應系統(6)的初值為(0.46，0.43，0.75)，參數取，a=0.9，b=0.2，c=1.2.誤差e1、e2、e3時序圖的仿真結果如圖4所示.

圖4 激活控制同步的同步誤差

由圖4可知，雖然驅動系統和(1)響應系統(6)的初值不同，但仍然很快實現了該混沌系統的自同步.顯然，這種方法具有很大的局限性.

5 利用自適應同步控制實現保密通信

近年來，混沌同步保密通信已成為科研人員研究的一大熱點.混沌掩蓋通信系統的工作原理如圖5所示，其基本原理是:發送端的混沌系統輸出類似噪聲的混沌信號，在混沌信號上疊加需要掩蓋的有用信號，將合成信號通過信道發送出去;在接收端與發送端混沌系統達到同步后，從接收端的混合信號中減去重構的混沌信號，從而解調出發送端的有用信息.在圖5中，x(t)為發送系統的狀態變量，m(t)為要傳送的信息信號，s(t)為混沌掩蓋后的傳輸信號，x′(t)為接收系統的狀態變量，m′(t)為接收端恢復的信息信號.

圖5 混沌同步保密通信示意圖

根據混沌掩蓋保密通信原理，可將自適應同步的混沌系統應用于保密通信中.設需要傳輸的信息信號是m(t)=sint，則在發送端將有用信號與混沌信號x(t)相加，輸出類噪聲信號，s(t)=sint+ x(t)，驅動系統為(1)，響應系統為混沌系統(2).響應系統(2)通過控制器(4)可在接收端接收混沌信號x′(t)，只需從s(t)中減去受控系統中產生的混沌信號x′(t)，就可以獲得還原的有用信號，m′(t) =s(t)-x′(t).原始信號與還原信號的信號誤差為，e(t)=m(t)-m′(t).原始有用信號如圖6所示，通過混沌保密系統后恢復出的信號如圖7所示，傳輸過程如圖8所示.顯然，經過較短時間后，有用信號與解調出來的信號的誤差幾乎為0.另外，利用自適應控制方法響應系統的參數還可以是未知的，可見這種方法應用于保密通信的有效性.

6 結 語

本文研究了一類新混沌系統的同步問題，基于李雅普諾夫穩定性理論，利用參數未知時自適應控制方法構造非線性控制器以及激活控制實現該系統的自同步，仿真實驗驗證了方法的正確性.最后，采用自適應混沌同步方法進行保密通信實驗，實驗結果表明，利用混沌掩蓋可以有效地恢復出信息信號.此外，在參數不確定的條件下，自適應同步法可同時完成混沌系統的參數辨識和同步，這種方法用于保密通信具有更高的保密效果.

［1］方錦清.非線性系統中混沌的控制與同步及其應用前景(二)［J］.物理學進展，1996，16(2):137－159.

［2］陳保穎.線性反饋實現Liu系統的混沌同步［J］.動力學與控制學報，2006，4(1):41－43.

［3］于洪潔.對稱非線性耦合混沌系統的同步［J］.物理學報，2005，54(7):3029－3033.

［4］賈貞，鄧光明.超混沌Lu系統的線性與非線性耦合同步［J］.物理學報，2007，5(3):220－22.

［5］黃緯.張化光，王智良.參數未知的不同結構系統的自適應同步［J］.系統仿真學報，2005，17(11):2689－2700.

［6］馬海軍，陳予恕.一類金融系統分岔混沌拓撲結構與全局復雜性研究(I)［J］.應用數學和力學，2001，22(2): 1119－1128.