兩種快速測定非飽和土 水力學參數方法的對比分析

伊盼盼 ，韋昌富，魏厚振，曹華峰，徐文強

（1.中國科學院武漢巖土力學研究所 巖土力學與工程國家重點實驗室，武漢 430071；2.武昌理工學院，武漢 430223）

1 引 言

非飽和土水力學參數包括土-水特征曲線和滲透函數。土-水特征曲線（SWCC）表示非飽和土的基質吸力與含水率（如飽和度或體積含水率）之間的關系。滲透函數是滲透系數與含水率之間的關系。這兩大水力學參數在分析非飽和土變形與強度、降雨入滲與邊坡穩定、污染物地下遷移等問題中扮演著重要角色[1－2]。

傳統的非飽和土水力學參數的測定方法均是在試樣處于平衡態下測得的，耗時較長。另外，由于加載時間較長，高壓氣體會通過水的流動在陶土板背面析出，影響測試精度。因此，如何能夠快速、有效地確定非飽和土水力學參數成為需要解決的關鍵問題。

通過流動試驗并利用數值反算方法對結果進行分析能夠快速得到非飽和土的水力學參數。Gardner[3]首次提出流動試驗法，該方法通過求解非線性流動方程得到非飽和土水力學參數。Kool 等[4]提出一步流動試驗方法，結合數值反算方法得到非飽和土水力學參數。盡管一步流動試驗能對試驗結果進行很好地擬合，但容易出現參數不惟一的現象。van Dam[5－6]等指出若能同時測得試樣中的孔隙水壓力，則可以降低參數不惟一的問題。另外，Eching等[7－9]同時開展了一步流動和多步流動試驗，結果顯示多步流動試驗能更好的解決參數不惟一的問題。

文中提出能夠快速測定非飽和土水力學參數的一步流動和動態多步流動方法，并對這兩種方法進行了對比分析。其中，一步流動方法是利用HYDRUS-1D 一維水分運移模型擬合試樣一步脫濕流動試驗下溢出水量隨時間變化的關系曲線，進而反算得出非飽和土的土-水特征曲線和滲透函數。該方法能夠降低參數的不惟一性，同時考慮了陶土板材料參數對試驗溢出水隨時間變化規律的影響。動態多步流動方法與上述多步流動試驗不同，它是基于Wei 和Muraleetharan[10]、Wei 和Dewoolkar[11]提出的能夠描述靜態土-水特征曲線和動態土-水特征曲線間關系的動態模型，開展多步流動試驗測定非飽和土的水力學參數。在此動態多步流動試驗過程中不需要土樣處于水力學平衡狀態，因而節省了試驗所需時間。該試驗中試樣在每一吸力步下都達到平衡。

2 兩種方法的原理

2.1 動態多步流動方法

2.1.1 動態（非平衡態）土-水特征關系

考慮一圓柱形非飽和土樣，其兩端分別與氣源和水源相連接。在初始時，土樣處于靜力平衡狀態，其飽和度為，吸力為=，這里( Sr)是平衡態的土-水特征函數。此時，若改變試樣兩端的壓力差，試樣中的水會從一端流向另外一端，故試樣的飽和度也會隨之發生變化。Wei 和 Muralee- tharan[10]與Wei 和Dewoolkar[11]提出基質吸力的變化與飽和度之間存在以下關系：

式中：基質吸力 pc= pa- pw，這里 pa為孔隙氣壓力， pw為孔隙水壓力；μ 為材料參數；θ 為體積含水率。

如果不考慮試樣的體積變化，式（1）可以轉化為

式中： nμ μ′= ，n 為孔隙率。

若吸力增加一小量 cpδ ，則飽和度的變化 rSδ與 cpδ 的關系為

式（3）類似于線性、黏彈性固體本構關系Kelvin模型，可以用圖1 來表示。由此可見，當吸力改變時，飽和度不是突然變化的，而是隨時間慢慢地改變，這一過程與實際是相吻合的。

圖1 線性黏彈性Kelvin模型 Fig.1 Linear viscoelastic model of Kelvin

假設擾動（吸力）是突然增加的，故有

式中： ( )H t 為Heaviside 函數。

那么求解式（3），得

如果吸力是多步施加的，即

同理，求解式（3）可以得到多步流動下試樣飽和度隨時間的演化方程為

式中：kC 和分別為吸力為時的穩態土-水特征曲線斜率（容水率）和擾動后孔隙水流動的特征時間。

2.1.2 平衡條件下土-水特征曲線和滲透系數的確定

由式（7）可以看出，式中主要由C 和cτ 兩大參數。如果這兩個參數值已知，那么試樣的飽和度隨時間的演化曲線也就明確了，因此，確定這兩大參數值非常重要。這里列出兩種求解的方法。

方法1 為兩點法，考慮某時間段 ti-1＜ t ＜ ti中的兩個時刻和，由式（7）可以得到一個非線性方程組，采用迭代法可以求出每級吸力步對應的C 和τc值。

方法2 為最小二乘法。根據實測的飽和度隨時間的演化曲線，在上面取足夠多具有代表性的點，采用最小二乘法對實測數據進行擬合，求出每級吸力步對應的C 和cτ 值。

確定了各級吸力作用下的容水率C 和特征時間τc，就可以得到在基質吸力作用下試樣處于平衡態時對應的飽和度：

對于一定尺寸的土樣，孔隙水壓力耗散時間（特征時間）cτ 與土樣的滲透性有關，通過對孔隙水的滲流過程分析，可以建立特征時間cτ 與滲透系數的關系。其過程如圖2 所示。由圖可知，初始時土樣處于平衡狀態，在某個時刻，土樣底部的孔隙水壓力降低了 wpδ ，而其他條件不變。為了描述這一過程，假定在整個過程中孔隙氣體壓力ap 保持不變，同時假定土顆粒和水是不可壓縮的（即質量密度sρ 和wρ 為常數），且不考慮變形的影響（孔隙率為常數）。

圖2 土中Darcy流動示意圖 Fig.2 Darcy flow diagram of the soil

在這些前提下，孔隙水質量平衡方程為

式中：w

n 為水相孔隙率。

式（9）可變形為

孔隙水的流動由以下Darcy 類方程控制：

利用土-水特征關系rc( )S p 及C 的定義，將式（11）代入式（10）可得：

亦可以寫成：

這就是在上述試驗條件下土樣孔隙水壓力耗散過程的控制方程，式中vc 為孔隙水壓力耗散系數。

設試樣的長度為L，那么由式（13）得出Darcy流動的特征時間cτ 為

2.2 一步流動方法

一步流動方法的原理為：通過對飽和試樣施加一步吸力，測得試樣溢出水量隨時間的變化曲線。利用一維水分運移過程分析軟件HYDRUS-1D 對溢出水隨時間流量曲線進行擬合，同時分析反算出一些難以實測的水力學參數，進而得到非飽和土-水特征曲線和滲透函數曲線。

土樣中水分變化可由Richards 方程描述，即

式中：h 為壓力水頭； ( )K h 為滲透函數；t 為時間；z 為土樣深度。

試樣的初邊值條件表示為

對試樣施加一步吸力P 之前，先施加一小吸力0P （略大于試樣進氣值），使試樣由飽和狀態變為非飽和狀態。這里00/h P gρ= ， 0z= 是試樣上部邊界，z L= 為試樣下部邊界， ( )h t 為試樣下部邊界的水頭。

土-水特征曲線模型選用比較常用的van Genu- chten[12]模型： ）

將van Genuchten 模型與Mualem[13]模型相結合可得到滲透函數的表達式為

式中：sθ 為飽和含水率；rθ 為殘余含水率；α 、β 、γ 為經驗參數；sK 為飽和滲透系數；eS 為有效含水率；l 為孔隙結構參數。

3 試驗設備和試驗方法

3.1 試驗設備

為了開展前面提出的多步流動試驗，采用聯合測試系統，其示意圖如圖3 所示。

圖3 聯合測試系統示意圖 Fig.3 Sketch of combined testing system

該系統主要由壓力控制系統、壓力室、儲水容器、稱量系統、數據采集系統等主要部分構成。

壓力控制系統由高壓氮氣瓶、減壓閥、壓力調節泵等部分構成。減壓閥把氮氣瓶里的高壓氣體變成低壓氣體，起粗調作用。壓力調節泵能精確控制給壓力室輸入的氣壓力值，起到細調作用。

壓力室主要由裝樣容器和上、下蓋板等3 部分組成，其中下蓋板裝有高進氣值陶土板。

儲水容器的用途有兩個，一是頂部和真空泵相連，可以用來對試樣進行飽和；二是用于對系統管路的飽和。

稱量系統主要由天平及上方開有一小孔的盛水杯組成，開一小孔有利于防止水分揮發。

數據采集系統是通過LabVIEW 軟件來完成數據采集功能，它有兩個數據通道分別與天平和壓力調節泵相連，可以采集試樣的排出水量和對試樣施加的吸力隨時間變化的數據。采集的時間間隔可以從幾秒到幾小時不等，可根據試驗需要任意設置。

3.2 試驗方法

試驗所用土樣取自黃河三角洲，其基本物理特性指標如表1 所示。

表1 土樣基本物理性質 Table 1 Physical properties of the soil sample

取該土樣以初始含水率為9%，孔隙率以42%為控制目標，制備一個直徑為5.4 cm，高為3 cm 的圓柱形試樣。隨后，將制備好試樣采用抽氣飽和法進行飽和。先對飽和試樣開展多步流動試驗，具體過程如下：

在 t0時刻，對試樣施加第1 級吸力增量，然后在吸力保持不變的條件下，直至 t1時刻（此時試樣并沒有達到平衡狀態）。接著，在 t1時刻，施加第2 級吸力增量，并保持吸力不變至 t2時刻。以此類推，施加第N 級吸力增量，直至 tn時刻。根據這組多步流動試驗數據，利用前面的理論模型及求解辦法，可以推算出試樣脫濕條件下平衡態的土-水特征曲線。

由于文中采用的試樣在試驗過程中其體變可忽略不計，且經歷了脫濕、吸濕之后試樣的結構基本趨于穩定，故在多步流動試驗后把試樣重新飽和，然后對其開展一步流動試驗，初始飽和度的影響可以忽略，其過程如下：對該飽和試樣施加一小吸力步（略大于試樣的進氣值），使之由飽和狀態變為非飽和狀態。當流動停滯（穩定狀態）時，對試樣施加一較大吸力步，直至溢出水量穩定。這樣就可以得到脫濕段溢出水量隨時間變化的關系曲線。利用一維水分運移過程分析軟件HYDRUS-1D 分別對脫濕段和吸濕段溢出水隨時間的流量曲線進行擬合，反算得出一些難以實測的水力學參數，進而得到非飽和土干、濕土-水特征曲線和滲透函數曲線。

4 試驗結果分析

4.1 動態多步流動試驗結果

由于每級吸力下加載的時間不同，測得的試樣飽和度隨時間的演化關系也不同，本文分別進行了兩組不同時間步的流動試驗。每組流動試驗施加的吸力步及各吸力步的加載時間如表2 所示。為了進行對比分析，試樣在各吸力步下達到平衡的時間也在表2 中列出。

由表可以看出，這兩組流動試驗在各吸力下的加載時間遠小于試樣達到平衡所需的時間，第2 組流動試驗的加載時間比第1 組稍長。另外，這兩組流動試驗在初級吸力下都達到了平衡，原因是試樣由飽和區向非飽和區過渡時，土-水特征曲線的斜率即C 值變化較大，故先對試樣施加一小吸力（略大于進氣值），待達到平衡時，試樣處于非飽和狀態，以該狀態為初始狀態開展多步流動試驗能有效的減少試驗誤差。

這兩組流動試驗得到的試樣飽和度隨時間的演化曲線如圖4 中數據點所示，利用前面提出的動態模型，并采用求解方法2，分別對這兩組試驗曲線進行最小二乘擬合，其擬合結果如圖4 中實線所示，最小二乘擬合的精度如圖5 所示。

從以上圖4、5 可以看出，這兩組流動試驗的最小二乘擬合精度都比較高，進而說明了由最小二乘擬合得出的各級吸力步下C、τ 值的可靠性。

4.2 一步流動試驗結果

先對飽和試樣施加一較小吸力1 kPa，有少量水溢出，這時試樣從飽和狀態進入非飽和狀態，然后增加吸力至80 kPa，進行脫濕試驗。待溢出水量恒定后，根據試樣初始飽和質量和溢出水的質量可以得到體積含水率隨時間變化的關系。

根據該關系曲線、初邊值條件、陶土板材料參數運用HYDRUS-1D 一維水分運移模型進行反算，擬合出試樣脫濕段溢出水量隨時間的演化曲線。實測數據曲線和擬合曲線如圖6 所示。

圖4 兩組流動試驗中實測 S r-t 曲線與擬合結果的對比 Fig.4 Comparison between measured and fitted curves of S r-t during the two outflow tests

圖5 兩組流動試驗中最小二乘的擬合精度 Fig.5 Accuracy of least square fitting during the two outflow tests

圖6 脫濕段θ -t 曲線模型預測值與實測值比較 Fig.6 Comparison between estimated and measured values of θ -t curves during drying

從圖中可以看出，HYDRUS-1D 內部模型能夠很好地擬合實測數據，其擬合參數如表3 所示。

表3 脫濕條件下的擬合參數 Table 3 Fitting parameters for drying

4.3 試驗結果對比分析

對于多步流動試驗，由于各級吸力步下的C、τ 值已知，根據前面的理論模型，可得到平衡狀態下試樣的土-水特征曲線和滲透函數曲線；對于一步流動試驗，根據擬合參數可反算得出平衡狀態下試樣的土-水特征曲線和滲透函數曲線。由這兩種試驗方法得到的試樣在平衡態下的土-水特征曲線和實測值的對比結果如圖7 所示。

從圖可以看出，一步流動試驗得到的試樣平衡態土-水特征曲線與實測值有些偏差，而多步流動試驗結果則與實測值接近，第2 組流動試驗的加載時間較長，得到的土-水特征曲線與實測值基本吻合。

由這兩種試驗方法得到的試樣滲透函數曲線，如圖8 所示。

圖7 兩種流動試驗及實測得到的SWCC對比 Fig.7 Comparison of SWCC between the measured and the two outflow tests

圖8 兩種流動試驗得到的滲透函數曲線對比 Fig.8 Comparison curves of hydraulic permeability function between the two outflow tests

由圖可以看出，這兩種試驗方法得到的滲透函數接近。對比多步流動結果，一步流動試驗反算得到的滲透系數在試樣體積含水率高時偏高，在體積含水率低時偏低。這是由于一步流動方法是根據溢出水量隨時間的變化關系反算得到，受邊界條件和陶土板材料參數的制約。

5 結 論

傳統的測試非飽和土力學參數的方法，需要很長時間，并且難以克服由于加載時間較長高壓氣體在陶土板背面析出的問題。因此，快速測定非飽和水力學參數的方法研究顯得尤為重要，通過研究可得如下結論：

（1）一步流動方法和動態多步流動方法均能在短時間內測定非飽和土的水力學參數，克服了傳統測試方法耗時較長的問題，并且有效地避免了高壓氣體通過水的流動在陶土板背面析出的問題，提高了測定非飽和土水力學參數的速度和準確性。

（2）動態多步流動方法得到試樣平衡態的土-水特征曲線與實測值基本吻合，無需等到試樣達到平衡狀態后再進行測定，大大縮短了測試時間；一步流動方法僅對試樣施加一步吸力，比動態多步流動方法所用的時間短，但得出的試樣平衡態土-水特征曲線和實測數值有些偏差。因此，通過對比分析，動態多步流動方法的結果要優于一步流動試驗方法。

[1] FREDLUND D G, XING A Q, FREDLUND M D, et al. The relationship of the unsaturated soil shear strength function to the soil-water characteristic curve[J]. Cana- dian Geotechnical Journal, 1996, 32(3): 440－448.

[2] VANAPALLI S K, FREDLUND D G, PUFAHL D E, et al. Model for the prediction of shear strength with respect to soil suction[J]. Canadian Geotechnical Journal, 1996, 33(3): 379－392.

[3] GARDNER W R. Calculation of capillary conductivity from pressure plate outflow data[J]. Soil Science Society of America Journal, 1956, 20: 317－320.

[4] KOOL J B, PARKER J C, VAN GENUCHTEN M TH. Determining soil hydraulic properties from one-step outflow experiments by parameter estimation: I. Theory and numerical studies[J]. Soil Science Society of America Journal, 1985, 49: 1348－1354.

[5] VAN DAM J C, STRICKER J N M, DROOGERS P. Evaluation of the inverse method for determining soil hydraulic functions from one-step outflow experiments[J]. Soil Science Society of America Journal, 1992, 56: 1042－1050.

[6] TOORMAN A F, WIERENGA P J, HILLS R G. Parameter estimation of hydraulic properties from one- step outflow data[J]. Water Resources Research, 1992, 28(11): 3021－3028.

[7] ECHING S O, HOPMANS J W. Optimization of hydraulic functions from transient outflow and soil-water pressure data[J]. Soil Science Society of America Journal, 1993, 57(5): 1167－1175.

[8] ECHING S O, HOPMANS J W, WENDROTH O. Unsaturated hydraulic conductivity from transient multistep outflow and soil-water pressure data[J]. Soil Science Society of America Journal, 1994, 58: 687－695.

[9] VAN DAM J C, STRICKER J N M, DROOGERS P. Inverse method to determine soil hydraulic functions from multistep outflow experiments[J]. Soil Science Society of America Journal, 1994, 58: 647－652.

[10] WEI C F, DEWOLKAR M M. Formulation of capillary hysteresis with internal state variables[J]. Water Resources Research, 2006, 42(7): 1－16.

[11] WEI C F, MURALEETHARAN K K. Linear viscoelastic behavior of porous media with non-uniform saturation[J]. International Journal of Engineering Science, 2007, 45(2－8): 698－715.

[12] VAN GENUCHTEN M T. A closed-form equation for predicting the hydraulic conductivity of unsaturated soils[J]. Soil Science Society of America Journal, 1980, 44: 892－898.

[13] MUALEM Y. A new model for predicting the hydraulic conductivity of unsaturated porous media[J]. Water Resources Research, 1976, 12(3): 513－522.