層狀地基中群樁基礎彈性理論解法及參數分析

摘 要：根據Muki Sternberg的計算方法，建立了層狀地基中不同樁長、樁徑、樁體材料情況下樁樁間的相互作用系數，利用疊加原理對層狀地基中群樁基礎進行計算分析，通過與已有文獻計算結果的比較，驗證了計算方法的正確性，并對層狀地基中群樁基礎的沉降以及各樁的荷載分擔情況進行了參數分析。計算方法得到的相互作用系數可以考慮樁的“加筋效應”。能夠用來分析大規模群樁基礎，具有一定的工程應用前景。

關鍵詞：層狀地基；群樁；相互作用系數；荷載分擔；沉降

中圖分類號：TU470

文獻標志碼：A

文章編號：1674-4764（2012）02-0001-06

摘 要：根據Muki Sternberg的計算方法，建立了層狀地基中不同樁長、樁徑、樁體材料情況下樁樁間的相互作用系數，利用疊加原理對層狀地基中群樁基礎進行計算分析，通過與已有文獻計算結果的比較，驗證了計算方法的正確性，并對層狀地基中群樁基礎的沉降以及各樁的荷載分擔情況進行了參數分析。計算方法得到的相互作用系數可以考慮樁的“加筋效應”。能夠用來分析大規模群樁基礎，具有一定的工程應用前景。

關鍵詞：層狀地基；群樁；相互作用系數；荷載分擔；沉降

中圖分類號：TU470 文獻標志碼：A 文章編號：1674-4764（2012）02-0001-06

An Elastic Theory Approach and Parametric Analysis of Pile Group in Layered Soils

CAO Ming 1，2， CHEN Sheng-li1

(1. Institute of Engineering Safety and Disaster Prevention， Shanghai Jiaotong University， Shanghai 200240， P.R.China;2. Shanghai Television University， Shanghai 200433， P.R.China)

Abstract:Based on the technique proposed by Muki Sternberg， a rigorous analytical method for calculating the interaction factor between two piles with different lengths， diameters and properties is presented. The pile group in layered soils is calculated by using the principle of superposition. The validity of the presented method has been verified through comparing with those from other existing solutions. A parametric analysis is made to study the pile group settlement and the loads shared by the individual pile. The proposed interaction factors of pile-pile can consider the strengthening effect of intervening piles. The proposed method can be used to analyze the large pile group.

Key words:layered soil; pile group; interaction factor; load sharing; settlement



對于層狀地基中樁土相互作用問題，國內外學者采用有限單元法［1］和邊界元法［2-4］進行了大量的研究，此外還有Zhang ＆ Small［5］基于Small Booker［6-7］的有限層法與有限單元法結合分別對豎向荷載和水平向荷載下高承臺群樁進行了研究；Southcott ＆ Small［8］采用位移相互作用系數法與有限層方法相結合對雙層地基中的群樁進行了計算分析。

但除有限元外，上述方法在考慮樁-土相互作用的時候在理論上都具有近似性，這些分析方法在實際應用中都具有一定的局限性，因此在目前的層狀地基群樁分析理論中還沒有一種理論被廣泛接受。根據Muki ＆ Sternberg［9］提出的虛擬樁方法，Liang等［10］和梁發云等［11］建立了層狀地基中混合樁型復合地基分析方法；通過與相互作用系數法結合，Cao［12-13］等建立了均質地基位移相互作用系數解法。采用虛擬樁求解方法計算樁土相互作用，充分考慮了樁土分離以后樁體孔洞的存在，該方法是一種在理論上更為嚴格的彈性理論計算方法，可以考慮樁的“加筋效應”［14］。本文在文獻［12-13］的基礎上，采用傳遞矩陣法求解層狀地基中兩根樁之間的位移相互作用系數，通過疊加原理求解層狀地基群樁的工程性狀，通過與已有文獻求解結果的對比，對本文建立在虛擬樁基礎上求解層狀地基中群樁基礎位移相互作用系數計算方法進行驗證。

1 計算模型簡介

圖1所示為層狀地基中豎向荷載作用下任意2根直徑分別為d1、d2彈性模量分別為Ep1、Ep2和長度分別為L1、L2的樁B′1和B′2，2根樁之間的樁心距為S，樁體的橫截面積分別為A1、A2。為了便于說明，以2層地基為例，上部土層的彈性模量和泊松比分別為Es1和μs1，土層的厚度為H1；下部土層為半無限空間，土的彈性模量和泊松比分別為Es2和μs2。設2根樁樁頂作用相等的豎向荷載P0，分析時按照Muki Sternberg的計算方法，將真實樁分解為擴展土B和虛擬樁B*1、B*2，如圖1所示。圖1(c)為2根虛擬樁，以第i根樁為研究對象，其彈性模量按層狀地基的分界面相應的分為上下2部分，上截和下截的彈性模量分別為E1*ii=1，2和E2*ii=1，2。

E1*i=Epi－Es1；

E2*i=Epi－Es2 (i=1，2)（1）

 第i根虛擬樁應力應變關系和平衡方程分別如下式

P*i(z)Ai=E1*iε*i(z) (0≤Z

P*i(z)Ai=E2*iε*i(z) (H1

dP*i(z)dz+qi(z)=0 (0

其中：ε*i(z)是第i根虛擬樁的豎向應變；P*i(z)是第i根虛擬樁的軸力；qi(z)是第i根虛擬樁上沿軸線的分布荷載。

第i根虛擬樁Πz截面處的應變為

ε*i(z)=∑2j=1［P0－P*j(0)］(i，j)z(z，0)+

P*j(Lj)(i，j)z(z，Lj)+∫Lj0qj(ξ)(i，j)z(z，ξ)dξ

(0≤z≤Li；z≠ξ；i=1，2)（3）

其中，(i，j)z(z，ξ)表示第j根樁所在位置層狀土中任意截面Πξ處作用合力為單位力的均布荷載時對第i根樁所在位置的彈性半空間土任意截面Πz處的圓心所產生的豎向應變，其值可由Mindlin［15］基本解進行積分得到。

根據虛擬樁與層狀土在樁身處豎向應變協調條件，式（2c）代入式（3），考慮(i，j)z，ξ在ξ=z以及P*i(z)在z=H1處的間斷性，并由式（2a、2b）可以得到

P*i(z)E1*iA=P0∑2j=1(i，j)z(z，0)+P*i(z)［(i，i)z(z，z+)－

(i，i)z(z，z－)］+∑2j=1∫H－10P*j(ξ)(i，j)z(z，ξ)ξ dξ+∫LjH+1P*j(ξ)(i，j)z(z，ξ)ξdξ

(0≤z

P*i(z)E2*iA=P0∑2j=1(i，j)z(z，0)+P*i(z)［(i，i)z(z，z+)－

(i，i)z(z，z－)］ +∑2j=1∫H－10P*j(ξ)(i，j)z(z，ξ)ξ dξ+∫LjH+1P*j(ξ)(i，j)z(z，ξ)ξdξ

(H1

其中，(i，i)z(z，z+)、(i，i)z(z，z－)分別表示荷載作用在第i根樁截面Πξ分別從上側和下側無限趨近第i根樁Πz截面時所引起的Πz處圓心的豎向應變。

對式（4a、4b）進行整理可得求解層狀地基中任意2根非等長非等徑樁問題所需要的樁-樁之間相互作用的第二類Fredholm積分方程。

1AiE*i－(i，i)(z，z+)+(i，i)(z，z－)P*i(z)－

∑2j=1 ∫H－10P*j(ξ)(i，j)z(z，ξ)ξ dξ－∫LjH+1P*j(ξ)(i，j)z(z，ξ)ξdξ=

P0∑2j=1(1，j)z(z，0)

(0≤z

其中，i，i(z，z+)－i，i(z，z－)根據廣義虎克定律有

i，i(z，z+)－i，i(z，z－)=－(1－2μs1)(1+μs1)Es1(1－μs1)Ai

(0bz

i，i(z，z+)－i，i(z，z－)=－(1－2μs2)(1+μs2)Es2(1－μs2)Ai

(H1<ξ≤Li；i=1，2)（6b）

層狀地基中第i根樁樁身各點處的位移wppi(z)可以表示為

wppi(z)=∑2j=1P0－P*j(0)w(i，j)(z，0) +

P*j(Lj)w(i，j)(z，Lj)+∫Lj0qj(ξ)w(i，j)(z，ξ)dξ

(0≤z

其中，w(i，j)(z，ξ)表示作用于第j根樁Πξ截面上合力為單位力的均布荷載引起的第i根樁Πz截面上中心點處的豎向位移，可由層狀地基中的基本解得到。式（2c）代入式（7）并進行分部積分可得

wppi(z)=∑2j=1P0w(i，j)(z，0)+∫Lj0P*j(ξ)w(i，j)(z，ξ)ξdξ

(0bz

式（8）給出了層狀地基土中2根豎向荷載作用下非等長樁樁身位移的表達式。令式（8）中的z=0，則可得到第i根樁樁頂的位移為

wppi(0)=∑2j=1P0w(i，j)(0，0)+∫Lj0P*j(ξ)w(i，j)(0，ξ)ξdξ

(i=1，2)（9）

層狀地基群樁中任意2根非等長的第j根樁對第i根樁的位移相互作用系數可以表示為

αij=wppi(0)－wpi(0)wpi(0) (i=1，2；j=1，2；i≠j)（10）

其中，wpi(0)表示層狀地基中第i根單樁在樁頂受到單位豎向荷載P0作用下的豎向位移，具體解答可參見文獻［16］。2根樁的相互作用系數αij與第i根樁對第j根樁的間距及2根樁的長度、半徑和材料有關，因此在一般情況下，αij≠αji。

根據疊加原理，對于由n根幾何參數不相同的樁組成的一般高承臺群樁，其中，任意第k根樁樁頂的沉降量wk(0)為

wk (0)= wpk(0)∑nj = 1j≠kP0 j αk j + wpk(0)P0k

(k=1，2，…，n) （11）

其中，P0j 、P0k分別為群樁中第j根樁和第k根樁的樁頂荷載。

由平衡條件，各樁樁頂分擔荷載P0j之和應等于承臺上作用的總荷載P0

P0 = ∑nj = 1P0j （12）

由式（11）和式（12）構成的方程組有n+1個方程，其中，樁與樁間的相互作用系數αij和單樁本身在單位豎向荷載作用下的豎向位移wpk(0)都是已知數，方程組中有2n個未知數。對于剛性承臺的長短樁樁基礎，所有樁的樁頂沉降都相等，即有

wc=wi(0) (i=1，2，…，n) （13）

其中，wc為剛性承臺的豎向位移。式（13）補充了n個約束條件，由式（11—13）組成的方程組就可解得層狀地基中豎向荷載作用下長短樁樁基礎的沉降以及每根樁的樁頂荷載。在實際情況中，根據樁布置的對稱性，可以減少方程的數量，從而提高計算效率。

2 算例驗證及參數分析

2.1 算例驗證

層狀地基中群樁的工程性狀分析一直是巖土工程界研究的熱點和難點，EL Sharnouby Novak［17］通過Mindlin解對雙層地基中的群樁進行了分析； Chin ＆ Chow［18］對雙層地基中3×3樁高承臺樁基礎進行了計算，并與Poulos ＆ Davis［19］基于Mindlin解的近似分析方法計算結果進行了比較。

為了說明計算結果的正確性，解答與Poulos Davis、EL Sharnouby Novak以及Chin ＆ Chow雙層地基中的群樁計算結果進行了比較。在本算例中3×3樁樁基礎的平面布置以及各樁的編號見圖2。計算參數為：底層為半無限層，泊松比為μsB=0.49；設土層的彈性模量Es=Es1=Es2，樁土彈性模量比為Ep/Es=1 000，土的泊松比為μs1=μs2=0.49，土層厚度分別為ΔH1=0.2 L，ΔH2=0.8 L，樁長細比為L/d=25；在圖3(a)中樁間距為S/d=5，在圖3(b)中樁間距為S/d=4。從圖3可以看出，本文方法所求得的群樁折減系數與Chin ＆ Chow的計算結果較接近，但比Poulos Davis的計算結果明顯要大。各樁的荷載分擔比與Chin ＆ Chow的計算結果較接近，但荷載在高承臺3×3樁群樁中各樁荷載分布的不均勻性，本文計算結果明顯小于其他兩種解法，這與其他2種計算方法所采用的不同樁土相互作用計算模型有關。

2.2 參數分析

本文分別針對2層和3層地基中3×3樁高承臺剛性承臺群樁基礎，分別計算了樁的長細比L/d、樁間距S/d以及樁底土彈性模量比EsB/Es1對群樁沉降比以及群樁中各樁樁頂荷載分布P0j/Pav的影響，其中，Es=Es1，Pav為各樁樁頂平均荷載。對于2層和3層地基，樁端均落在底層土上，如圖2所示。在下邊的計算中，如無特殊說明，基本參數為：底層為半無限層，泊松比為μsB=0.3，底層土彈性模量EsB/Es=10；樁間距S/d=4，樁土彈性模量比Ep/Es=2 000，土的泊松比為μs1=μs2=0.3；在3層地基分析中ΔH1=0.2 L，ΔH2=0.8 L，第2層土彈性模量為Es2/Es=4；在2層地基分析中ΔH1=L，ΔH2=0。

1)樁間距對層狀地基中各樁荷載分擔的影響

圖4(a)，(b)中分別給出了不同樁長細比L/d=20、30其它參數不變的情況下，樁間距的變化對2層地基和3層地基中各樁樁頂荷載分布的影響，從圖中可以得到如下一些結論。

從圖4(a)中可以看出，樁間距對群樁中各樁樁頂荷載分布的不均勻性有明顯的影響，隨著樁間距的增大，群樁中各樁樁頂荷載分布的不均勻性明顯減小。對于不同的樁長，群樁中各樁樁頂荷載分布的不均勻性隨樁間距的變化情況基本相同。從圖4(a)、(b)中可以看出，雙層地基和3層地基中群樁中各樁樁頂荷載分布的不均勻性隨樁間距的變化規律基本相同，但3層地基中群樁中各樁樁頂荷載分擔的不均勻性明顯大于雙層地基。

2)樁底土剛度對層狀地基中各樁荷載分擔的影響

圖5(a)、(b)中分別給出了不同樁長細比L/d=20、30其它參數不變的情況下，樁底土彈性模量比EsB/Es1的變化對雙層地基和3層地基中群樁各樁樁頂荷載分布的影響。從圖中可以得到如下一些結論。

由圖5(a)、(b)可以看出，在雙層地基和3層地基中群樁各樁樁頂荷載分布的不均勻性隨著樁底土剛度EsB/Es1的增大而減小，但在雙層地基中，當樁底土剛度EsB/Es1=1 000，群樁中各樁樁頂荷載分擔基本相等，3層地基中群樁樁頂荷載分擔的不均勻性明顯大于雙層地基。

3)樁間距對層狀地基中群樁沉降比的影響

圖6(a)、(b)中分別給出了不同樁長細比L/d=20、30其它參數不變的情況下，樁間距的變化對兩層地基和三層地基中群樁沉降比的影響，從圖中可以得到如下一些結論。從圖6(a)中可以看出，樁間距對群樁沉降比有明顯的影響，隨著樁間距的增大，群樁沉降比明顯減小，即群樁效應隨著樁間距的增大而減小。對于不同的樁長，群樁沉降比隨樁間距的變化情況基本相同。從圖6(a)、(b)中也可以看出，雙層地基和3層地基中群樁沉降比隨樁間距的變化規律基本相同，但3層地基中群樁的沉降比明顯大于雙層地基中群樁的沉降比。

4)樁底土剛度對層狀地基中群樁沉降比的影響

圖7(a)、(b)中分別給出了不同樁長細比L/d=20、30其它參數不變的情況下，樁底土彈性模量比EsB/Es1的變化對2層地基和3層地基中群樁沉降比的影響。從圖中可以得到如下一些結論。

由圖7(a)可以看出，隨著樁底土剛度EsB/Es1的增大，在雙層地基中群樁的沉降比逐漸減小，當樁底土剛度EsB/Es1=1 000，群樁的沉降比接近于1，即群樁效應基本消失。由圖7(b)可以看出，在3層地基中群樁沉降比隨樁底土剛度的變化規律與雙層地基中的基本相同，但變化幅度比雙層地基中的大。

3 結 論

將均質地基中的群樁位移相互作用分析方法推廣到任意層狀地基中的群樁問題，用彈性理論方法計算樁土相互作用，采用傳遞矩陣法求解層狀地基中任意兩根非等長、非等徑、非等剛度樁之間的相互作用系數，最后通過疊加原理可以求解層狀地基中群樁的工程性狀。采用虛擬樁的方法來計算樁樁以及樁土之間的相互作用，充分考慮了樁與土分離以后樁體孔洞的存在。通過與已有文獻計算結果的比較，驗證了本文計算方法的合理性。計算方法不需要對群樁整體建立模型進行分析，因此，計算方法是1種計算效率高的層狀地基中群樁基礎分析方法。進行的參數分析可以為進一步的理論研究以及工程設計提供有益的依據。

參考文獻：

［1］ZHENG J J， ABUSHARAR S W， WANG X Z. Three-dimensional nonlinear finite element modeling of composite foundation formed by CFG-lime piles［J］. Computers and Geotechnics， 2008， 35: 637-643.

［2］AI Z Y， HAN J. Boundary element analysis of axially loaded piles embedded in a multi-layered soil［J］. Computers and Geotechnics， 2009， 36: 427-434.

［3］ALMEIDA V S， PAIVA J B. Static analysis of soil/pile interaction in layered soil by BEM/BEM coupling［J］. Advances in Engineering Software， 2007， 38: 835-845.

［4］艾智勇， 成志勇. 層狀地基中軸向受荷單樁的邊界元法分析［J］. 巖土力學， 2009， 30(5): 1522-1526.

AI ZHI-YONG， CHENG ZHI-YONG. Analysis of axially loaded pile in layered soils by boundary element method［J］. Rock and Soil Mechanics， 2009， 30(5): 1522-1526.

［5］ZHANG H H， SMALL J C. Analysis of capped pile groups subjected to horizontal and vertical load［J］. Computers and Geotechnics， 2000， 26: 1-21.

［6］SMALL J C， BOOKER J R. Finite layer analysis of layered elastic materials using a flexibility approach， Part 1-Strip loadings［J］. International Journal for Numerical Methods in Engineerin， 1984， 20: 1025-1037.

［7］SMALL J C， BOOKER J R. Finite layer analysis of layered elastic materials using a flexibility approach， Part 2 circular and rectangular loadings［J］. International Journal for Numerical Methods in Engineering， 1986， 23: 959-978.

［8］SOUTHCOTT P H， SMALL J C. Finite layer analysis of vertically loaded piles and pile groups［J］. Computers and Geotechnics， 1996， 18(1): 47-63.

［9］MUKI R， STERNBERG E. Elastostatic load-transfer to a half-space from a partially embedded axially loaded rod［J］. International Journal of Solids and Structures， 1970， 6: 69-90.

［10］LIANG F Y， CHEN L Z， HAN J. Integral equation method for analysis of piled rafts with dissimilar piles under vertical loading［J］. Computers and Geotechnics， 2009， 36(3): 419-426.

［11］梁發云， 陳龍珠， 李鏡培. 層狀地基中混合樁型復合地基的分析方法［J］. 巖土工程學報， 2007， 29(3): 379-384.

LIANG FA-YUN， CHEN LONG-ZHU， LI JING-PEI. Study on the behavior of composite foundation with hybrid piles in layered soils［J］. Chinese Journal of Geotechnical Engineering， 2007， 29(3): 379-384.

［12］CAO M， CHEN L Z. Analysis of interaction factors between two piles［J］. Journal of Shanghai Jiaotong University: English Version， 2008， 13(2): 171-176.

［13］CAO M， CHEN L Z， CHEN S L. An innovative approach to evaluate the behaviour of vertically loaded pile groups based on elastic theory［J］. Lowland Technology International， 2007， 9(1): 1-10.

［14］梁發云， 陳龍珠， 李鏡培. 加筋效應對群樁相互作用系數的影響［J］. 巖土力學， 2005， 26(11): 1757-1760.

LIANG FA-YUN， CHEN LONG-ZHU， LI JING-PEI. Analysis of piles reinforced effects on interaction coefficients of piles［J］. Rock and Soil Mechanics， 2005， 26(11): 1757-1760.

［15］MINDLIN R D. Force at a point in the interior of semi-infinite solid［J］. Physics， 1936， 7: 195-202.

［16］梁發云， 陳龍珠， 李鏡培. 層狀地基中單樁性狀的積分方程解法及其參數［J］. 同濟大學學報， 2006， 34(9): 1159-1165.

LIANG FA-YUN， CHEN LONG-ZHU， LI JING-PEI. An integral equation approach and parametric analysis for single pile in layered soil［J］. Journal of Tongji University， 2006， 34(9): 1159-1165.

［17］EL SHARNOUBY B， NOVAK M. Static and low frequency response of pile groups［J］. Canadian Geotechnical Journal， 1985， 22(1): 79-94.

［18］CHIN J T， CHOW Y K. Numerical analysis of axially loaded vertical piles and pie groups［J］. Computers and Geotechnics， 1990， 9: 273-290.

［19］POULOS H G， DAVIS E H. Pile foundation analysis and design［M］. New York: John Wiley and Sons， 1980.

（編輯 胡 玲）