初中數學動態幾何問題的解題策略

【摘要】本文首先闡述多種解題策略，包括以靜制動、特殊值法、分類討論等．通過具體例題的分析，幫助學生更好地掌握動態幾何問題的解題方法，提高學生的數學思維能力和解決問題的能力．

【關鍵詞】初中數學；動態幾何；解題策略

在初中數學中，動態幾何問題是一類具有較高難度和綜合性的題型．這類問題通常涉及圖形的運動、變化，要求學生在變化的過程中分析圖形的性質、數量關系等．掌握動態幾何問題的解題策略對于提高學生的數學成績和綜合素質具有重要意義．

1 動態幾何問題的解題策略

1.1 以靜制動

在動態幾何問題中，雖然圖形在運動，但通常存在一些不變的元素或關系．學生可以通過分析這些不變的元素，找到問題的突破口．例如，在圖形的運動過程中，某些線段的長度、角度的大小、圖形的形狀等可能保持不變．利用不變的元素和已知條件，建立方程或函數關系，從而求解問題．

例如 對于涉及線段長度的問題，可以通過勾股定理、相似三角形等知識建立方程；對于涉及圖形面積的問題，可以通過函數表達式來表示面積與某個變量之間的關系．

1.2 特殊值法

當動態幾何問題中的圖形運動情況不確定時，可以選取一些特殊的位置進行分析．

例如 當點在某條直線上運動時，可以選取點在特殊的位置，如中點、端點等，此時圖形的形狀和性質可能會比較特殊，便于分析和求解．通過對特殊位置的分析，得出一些一般性的結論，然后再推廣到一般情況．特殊值法可以幫助學生快速找到問題的思路，降低解題的難度．

1.3 分類討論

在動態幾何問題中，由于圖形的運動情況可能存在多種情況，需要進行分類討論．分類的標準通常是根據圖形的位置關系、運動狀態等因素來確定．

例如 當點在不同的區間內運動時，圖形的性質可能會發生變化，此時需要對不同的區間進行分類討論．對每一種情況進行逐一分析求解，確保不遺漏任何一種情況．在分類討論的過程中，要注意思維的嚴密性和邏輯性，避免出現重復或遺漏的情況．

2 求解動態幾何問題的典例分析

例題 如圖1，在正方形ABCD中，動點P從點A出發，沿A-B－C運動到點C停止．過點C作DP的垂線，垂足為點G，延長CG到點E，使EG=CG，連接DE，AE，直線EA與DP交于點F．設∠ADP為α，且0°＜α＜90°．

（1）當α=10°時，求∠ADE和∠DAE的度數.

（2）當點P在AB上時，

①求sinF的值；

②當△DEF為軸對稱圖形時，求α的大小.

（3）若正方形ABCD的面積為4，直接寫出△DAF面積的最大值．

解析 （1）因為ABCD是正方形，

所以AB=BC=CD=DA，∠DAB=∠ADC=90°，

因為∠ADP=α=10°，

所以∠CDG=80°；

因為CE⊥DG，EG=CG，

所以直線DG是線段CE的垂直平分線，

所以DE=DC，∠CDG=∠EDG=80°，

所以∠ADE=∠EDG－∠ADP=70°，

DE=DA，

所以∠DAE=180°－∠ADE2=55°．

（2）①因為ABCD是正方形，

所以AB=BC=CD=DA，∠DAB=∠ADC=90°，

因為∠ADP=α，

所以∠CDG=∠APD=90°－α，

所以∠APF=180°－∠APD=90°+α

因為CE⊥DG，EG=CG，

所以直線DG是線段CE的垂直平分線，

所以DE=DC，

∠CDG=∠EDG=90°－α，

所以∠ADE=∠EDG－∠ADP=90°－2α，

DE=DA；

所以∠DAE=180°－90°－2α2=45°+α，

所以∠PAF=180°－∠EAD－∠DAB=45°－α，

所以∠F=180°－∠PAF－∠APF=45°，

所以sinF=sin45°=22.

②因為△DEF為軸對稱圖形，

所以△DEF為等腰角形，

因為0°<α<90°，

所以DF≠DE

所以有兩種情況，DE=EF，或PF=EF，

若DE=EF，

則∠EDF=∠F，

即90°－α=45°，

解得α=45°，

若PF=EF，

則∠EDF=∠DEF

又因為∠EDF+∠DEF=180°－45°=135°

所以∠EDF=∠DEF=67.5°

所以90°－α=67.5°，

所以α=22.5°，

所以α的大小為45°或22.5°

（3）當點P在BC上時，

因為∠ADP=α，

所以∠CDG=90°－α，

因為CE⊥DG，EG=CG，

所以直線DG是線段CE的垂直平分線，

所以DE=DC=DA，

∠CDG=∠EDG=90°－α，

∠DCG=∠DEG=90°－∠CDG=α，

所以∠ADE=∠ADP－∠EDG=2α－90°，

所以∠DAE=∠AED=180°－∠ADE2=135°－α，

所以∠GBE=180°－∠AED－∠DEG=45°－α，

所以∠F=180°－∠PAF－∠APF=45°.

又因為當點P在AB上時，∠F=45°，

所以整個運動過程中∠F=45°，

所以A，D，F三點在圓上，弧AD所對的圓周角是45°，所對的圓心角是90°.

又因為正方形對角線互相垂直平分，

所以圓心為正方形ABCD對角線交點O，半徑為OA的長度.

因為SABCD=4，

所以AB=AD=BC=DC=2，

所以AC=22，AO=2.

當點P在AB上時，P移動到B時，P，B，F點重合，

△DAF面積最大為12×2×2=2，

當點P在BC上時，P到AD的距離最大時△DAF面積最大，

△DAF面積最大為12×2×1+2=1+2，

所以△DAF面積最大為1+2．

點評 本題考查等腰三角形的判定和性質、正方形的性質、軸對稱圖形的特點和圓的判定，需要分類討論，判斷出F的移動軌跡是解題關鍵．

3 結語

初中數學中的動態幾何問題具有一定的難度和挑戰性，但通過掌握以靜制動、特殊值法、分類討論等解題策略，可以有效地提高解題能力．在解決動態幾何問題時，學生要認真分析問題的特點，找出不變的元素和關系，靈活運用所學知識，選擇合適的解題方法．同時，要注重培養自己的空間想象能力、邏輯思維能力和創新能力，不斷提高數學綜合素質．

參考文獻：

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