高中學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)初探

【摘要】高中生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的各種要素迅速發(fā)展，各種認(rèn)知能力不斷完善，思維能力更加成熟。而思維是認(rèn)知的核心部分，但高中生在認(rèn)識上容易犯片面性的錯誤。教師平時的教學(xué)要結(jié)合高中生思維的特點，有針對性地突破思維障礙，從而培養(yǎng)高中生的數(shù)學(xué)思維能力。

【關(guān)鍵詞】高中生；數(shù)學(xué)思維能力；培養(yǎng)

人們認(rèn)識數(shù)學(xué)概念，學(xué)習(xí)公理、定理、公式、法則的過程，以及探求解決問題的方案的活動一刻也離不開思維。高中學(xué)生數(shù)學(xué)思維，是指學(xué)生在對高中數(shù)學(xué)感性認(rèn)識的基礎(chǔ)上，運(yùn)用比較、分析、綜合、歸納、演繹等思維的基本方法，理解并掌握高中數(shù)學(xué)內(nèi)容而且能對具體的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行推論與判斷，從而獲得對高中數(shù)學(xué)知識本質(zhì)和規(guī)律的認(rèn)識能力。如何突破思維障礙和培養(yǎng)學(xué)生的思維能力就成為數(shù)學(xué)教學(xué)中必須加以研究的重要課題。因此，研究高中學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)對于增強(qiáng)高中學(xué)生數(shù)學(xué)教學(xué)的針對性和實效性有著十分重要的意義。

一、高中生思維的特點

高中生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的各種要素迅速發(fā)展，各種認(rèn)知能力不斷完善，認(rèn)知的核心成分——思維能力更加成熟。在整體上，他們思維的抽象概括水平明顯地從經(jīng)驗水平向理論水平轉(zhuǎn)化，抽象思維占了優(yōu)勢地位，辯證思維和創(chuàng)造思維有了很大的發(fā)展。高中生的思維還具有批評性，他們喜歡懷疑和爭論，探索事物的根本原因，不愿意采取輕信、盲從的態(tài)度。高中生能對自己的思維進(jìn)行反省、自我調(diào)控、對思維的自我監(jiān)控能力顯著增強(qiáng)，確保思維的正確性和高效率。但是，高中生在認(rèn)識上容易犯片面性的錯誤。

二、高中生主要的數(shù)學(xué)思維障礙

弄清思維的主要障礙是培養(yǎng)學(xué)生思維能力的關(guān)鍵。那么學(xué)生在處理數(shù)學(xué)問題時，常會產(chǎn)生哪些思維障礙呢？

（1）思維的封閉性。表現(xiàn)在分析問題和解決問題時，總習(xí)慣于用純初中數(shù)學(xué)的方法與思路處理問題，把思維禁錮在有限的初中數(shù)學(xué)領(lǐng)域里，因而暴露出相當(dāng)程度的局限性和保守性。如求數(shù)列{-2n2+29n+3}中的最大項是多少？學(xué)生經(jīng)常固有初中所學(xué)求函數(shù)的最大值的求法：ymax===108.125而忽視了數(shù)列中n的取值范圍。學(xué)生的這種封閉型的思維必然導(dǎo)致片面地去理解問題，只有培養(yǎng)學(xué)生開放性的思維，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合實際問題進(jìn)行具體分析，區(qū)別對待，從而正確地解決問題。

（2）思維的惰性。表現(xiàn)為只會用固定不變的眼光去看待高中數(shù)學(xué)的內(nèi)容，希望每一章每一節(jié)的數(shù)學(xué)問題都可以用某些初中數(shù)學(xué)方法和思路模式來解，而不愿從運(yùn)動、變化的角度、深層次的認(rèn)識和思考問題，常常在數(shù)與式的單向思考的條條羊腸小道上碰壁，導(dǎo)致在解法中出現(xiàn)失敗而把問題擱著，也不愿從新的思路上去作嘗試和努力。如有這樣一道題：已知cosα=，cos（α+β）=-，且α，β都是銳角，求cosβ的值。學(xué)生通常會拿到題就將cos（α+β）=-按公式展開，然后解方程組試圖將cosβ的值求出（事實上絕大部分同學(xué)是解不出來的）。用這種固有的思維解答這道題，不僅計算繁瑣，而且極容易出錯。如果學(xué)生想到“β=（α+β）-α”那么問題就迎刃而解了！學(xué)生的這種思維的惰性帶來的結(jié)果必是對解決問題的思維定勢。只有引導(dǎo)學(xué)生走出思維的定勢，才會迎來“山窮水盡疑無路，柳暗花明又一村”的境界。

（3）思維的僵化性。往往表現(xiàn)為對構(gòu)形的機(jī)械模仿，即只知對號入座套模型，不能適應(yīng)問題的情境變化而靈活應(yīng)變，常常把兩個形異質(zhì)同的問題看成毫無聯(lián)系的陌生問題。

由此可見，思維的封閉性、思維的惰性、思維的僵化性不但阻礙了學(xué)生思維能力的健康發(fā)展，也直接影響了數(shù)學(xué)教學(xué)的質(zhì)量。因此，學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)有利于學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題能力的提高。所以，在平時的數(shù)學(xué)教學(xué)過程中注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力就顯得尤為重要。研究高中學(xué)生的思維能力的培養(yǎng)是學(xué)好高中數(shù)學(xué)的關(guān)鍵。

三、高中學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)

1.運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想培養(yǎng)學(xué)生的思維能力

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師必須意識到高中數(shù)學(xué)內(nèi)容的抽象性、深奧性和廣泛性，對學(xué)生接受能力有一定的限制，所以就可以用數(shù)形結(jié)合思想把抽象的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為具體的、直觀的簡單問題，便于學(xué)生接受。例如有這樣一道題：

設(shè)實數(shù)x、y滿足等式（x-2）2+y2=3，求y/x的最大值

學(xué)生拿到題目往往會無從下手。他們想不到所給方程與所求問題有什么內(nèi)在的聯(lián)系，特別是對剛接觸平面解析幾何的學(xué)生來說更是如此！

本題的思維障礙在于未能將知識拓廣進(jìn)行聯(lián)系，意識中未能提取到可以表示成平面上一點P（x，y）到原點O（0，0）所在直線的斜率。

如果我們以下圖為原型，那么y/x就有直觀的幾何意義了。

事實上，因為實數(shù)x，y滿足等式（x-2）2+y2=3，所以（x，y）是圓周上的點。而y/x表示圓周上任一點（x，y）與原點連線的斜率，當(dāng)直線L與圓相切時（如圖），斜率最大（此時過原點的另一條切線的斜率最小），因為由坐標(biāo)原點，圓心和切點組成的指教三角形中，切線與x軸所成的夾角為60°容易求得L的斜率為k=tan60°=，此即為y/x的最大值。

2.運(yùn)用類比啟發(fā)，培養(yǎng)學(xué)生思維能力

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，類比法是最常用、最有效的思維方法之一，通過類比，可以發(fā)現(xiàn)新舊知識的相同點。這種發(fā)現(xiàn)將成為決定下一步思維活動的領(lǐng)航器。正如康德所說：“每當(dāng)理智缺乏可靠論證的思路時，類比這個方法往往能引我們前進(jìn)。”因此，運(yùn)用類比啟發(fā)，是培養(yǎng)學(xué)生思維能力的妙法。

例題：已知x、y、z ∈R+，x2+y2=z2。

求證：xn+yn ＜zn，（n∈N，且n＞2）。

如何引導(dǎo)學(xué)生思維上路？為了揭示x2+y2=z2與xn+yn ＜zn的內(nèi)在聯(lián)系，稍作變形：

（）2+（）2=1

（）n+（）n＜1（z≠0），

于是只需證

（）n+（）n＜（）2+（）2即可。類比啟發(fā)：（）2+（）2=1與哪個三角公式相類似？引出：sin2α+cos2α=1。至此用三角形代換法證明本題的念頭便油然而生：

令=sinα，=cosα，

則0＜sinα＜1，0＜cosα＜1，

故當(dāng)n＞2時，

sinnα＜sin2α，cosnα＜cos2α.

于是sinnα+cosnα＜sin2α+cos2α=1，

即（）n+（）n＜1，故x2+yn＜zn。

3.運(yùn)用學(xué)生所熟悉的生活實例，從實際出發(fā)，將復(fù)雜問題簡單化，從而培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。

有這樣一道例題：若集合A={a，b，c，d}，B={e，f，g}，試求從A到B的映射的個數(shù)。

這個問題涉及到映射概念和排列組合知識，若從概念到概念，從抽象到抽象探求解題思路，會使學(xué)生陷入糾纏不清的困惑之中。但若能從學(xué)生所熟悉的生活實例為原型，則不難突破思維障礙之門。

4.運(yùn)用學(xué)生的猜想，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力

高中學(xué)生具有好勝性強(qiáng)，喜歡懷疑、爭辯，尋根問底等特點，而他們的認(rèn)識總是從不全面、不深刻或出現(xiàn)謬誤，經(jīng)過多次反復(fù)和爭論逐步發(fā)展起來。都應(yīng)組織對有爭議的問題進(jìn)行鑒別，對隱蔽的錯誤進(jìn)行辨誤、駁謬，以此來培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。

有這樣一道例題：6名學(xué)生排成一列，甲不能排在首位，乙不能排在末位，問有幾種排法。

教師提出解法：6名學(xué)生全排列有A66=720，扣除甲在首位和乙在末位的排列，共有A66-2A55=480。由學(xué)生猜想結(jié)果正確與否，經(jīng)過一番爭論，找出產(chǎn)生錯誤的原因在于用扣除法解排列應(yīng)用題時產(chǎn)生的思維起了負(fù)遷移的作用。

培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，是學(xué)好數(shù)學(xué)不可缺少的部分，只有結(jié)合學(xué)生的實際，充分調(diào)動學(xué)生的內(nèi)在能力，突破思維障礙，開拓學(xué)生創(chuàng)新思維，提高高中生解決數(shù)學(xué)問題的思維能力，從而提高高中學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的綜合能力。

（作者單位：江蘇省張家港市第二職業(yè)高級中學(xué)）