例談高中數學中的反證法

【摘要】反證法不但在初等數學中有著廣泛的應用，而且在高等數學中也具有特殊作用。數學中的一些重要結論，從最基本的性質、定理，到某些難度較大的世界名題，往往是用反證法證明的。本文結合例題著重談談反證法在高中數學中的應用。

【關鍵詞】反證法；證明；應用

一、反證法的模式及解題步驟

反證法的證題模式可以簡要的概括為“否定→推理→否定”。即從否定結論開始，經過正確無誤的推理導致邏輯矛盾，達到新的否定，可以認為反證法的基本思想就是“否定之否定”。應用反證法證明的主要三步是：否定結論 → 推導出矛盾 → 結論成立。實施的具體步驟是：

第一步，反設：作出與求證結論相反的假設；

第二步，歸謬：將反設作為條件，并由此通過一系列的正確推理導出矛盾；

第三步，結論：說明反設不成立，從而肯定原命題成立。

在應用反證法證題時，一定要用到“反設”進行推理，否則就不是反證法。用反證法證題時，如果欲證明的命題的方面情況只有一種，那么只要將這種情況駁倒了就可以，這種反證法又叫“歸謬法”；如果結論的方面情況有多種，那么必須將所有的反面情況一一駁倒，才能推斷原結論成立，這種證法又叫“窮舉法”。

例1、設f（x）是定義在[0，1]上的函數，若存在x'∈（0，1）使得f（x）在[0，x']上單調遞增，在[x'，1]上單調遞減，則稱f（x）為（0，1）上的單峰函數，x'為峰點，包含峰點的區間為含峰區間。

對任意的[0，1]上單峰函數f（x），下面研究縮短其含峰區間長度的方法。求證：對任意的x1，x2∈（0，1），x1＜x2，若f（x1）≥f（x2），則（0，x2）為含峰區間；若f（x1）≤f（x2）則（x1，1）為含峰區間；

【巧證】：設x'為f（x）的峰點，則由單峰函數定義可知，f（x）在[0，x']上單調遞增，在[x'，1]上單調遞減。

當f（x1）≥f（x2）時，假設x'∈（0，x2），則x1＜x2≤x'，從而f（x'）≥f（x2）＞f（x1），這與f（x1）≥f（x2）矛盾，所以x'∈（0，x2），即（0，x2）是含峰區間。

當f（x1）≤f（x2）時，假設x'∈（x1，1），則x'≤x1＜x2，從而f（x'）≥f（x1）＞f（x2），這與f（x1）≤f（x2）矛盾，所以x'∈（x1，1），即（x1，1）是含峰區間。

例2、給定實數a，a≠0且a≠1，設函數y＝(其中x∈R且x≠)，證明：經過這個函數圖像上任意兩個不同點的直線不平行于x軸。

【分析】“不平行”的否定是“平行”，假設“平行”后得出矛盾從而推翻假設。

【巧證】： 設M1(x1，y1)、M2(x2，y2)是函數圖像上任意兩個不同的點，則x1≠x2，

假設直線M1M2平行于x軸，則必有y1＝y2，即=，整理得a(x1－x1)＝x1－x2

∵x1≠x1 ∴ a＝1， 這與已知“a≠1”矛盾，

因此假設不對，即直線M1M2不平行于x軸。

【注】對于“不平行”的否定性結論使用反證法，在假設“平行”的情況下，容易得到一些性質，經過正確無誤的推理，導出與已知a≠1互相矛盾。

例3、求證：如果一條直線與兩個平行平面中的一個相交，那么它和另一個平面也相交。

【巧證】：如上圖所示，設平面α∥β，直線AB∩α=A，下面用反證法證明AB與β相交。

若AB∥β，過AB作平面γ，使β∩γ=CD，則AB∥CD．∵AB∩α=A，∴A∈α，且A∈γ，設α∩γ=AB'。

又α∥β，∴AB'∥CD，于是在平面γ內過A點有兩條直線AB與AB'分別平行于直線CD，這和平行公理矛盾。∴AB不能平行于平面β。

注：用反證法證題時，如果欲證命題的反面只有一種情況，那么只要將這種情況駁倒即可，這種反證法又叫歸謬法；如果結論的反面不僅有一種情況，就必須把所有的反面情況一一駁倒，才能推斷原結論成立，這種證法又叫窮舉法。

二、運用反證法應注意的問題

（1）必須正確否定結論

正確否定結論是運用反證法的首要問題。

如：命題“一個三角形中，至多有一個內角是直角”。“至多有一個”指：“只有一個”或“沒有一個”，其反面是“有兩個直角”或“三個內角都是直角”，即“至少有兩個是直角”。

（2）必須明確推理特點

否定結論導出矛盾是反證法的任務，但何時出現矛盾，出現什么樣的矛盾是不能預測的，也沒有一個機械的標準，有的甚至是捉摸不定的。一般總是在命題的相關領域里考慮（例如，平面幾何問題往往聯系到相關的公理、定義、定理等），這正是反證法推理的特點。因此，在推理前不必要也不可能事先規定要得出什么樣的矛盾，只需正確否定結論，嚴格遵守推理規則，進行步步有據的推理，矛盾一經出現，證明即告結束。

（3）了解矛盾種類

反證法推理過程中出現的矛盾是多種多樣的，推理導出的結果可能與題設或部分題設矛盾，可能與已知真命題（定義或公理、或定理、或性質）相矛盾，可能與臨時假設矛盾，或推出一對相互矛盾的結果等。

【參考文獻】

[1]趙雄輝.證明的方法[M].湖南：湖南人民出版社.2001：85-92

[2]顏長安.反證法初探[J].數學通訊. 2001（13）：22-24

（作者單位：江蘇省興化中等專業學校）