圖的算數-幾何譜半徑及能量的界

王 猗，高玉斌

(中北大學 理學院， 太原 030051)

1 研究現狀

考慮的圖均為簡單無向圖。設圖G=(V(G)，E(G))為n階、m條邊的無向圖，其頂點集為V(G)={v1，v2，…，vn}，邊集為E(G)，|E(G)|=m。圖G的最大度和最小度記為Δ和δ。

近年來，人們對于圖能量的研究一直非常活躍[1]，其在化學研究中發揮著越來越重要的作用。由Gutman[2-3]引入的圖的能量定義為圖的鄰接矩陣特征值的絕對值之和，它可以用來近似分子的總電子能量，在文獻[4-6]中得到了一些圖基于度能量的界。Shegehalli等[7]提出了圖的算數-幾何指數，定義了圖G的算數-幾何鄰接矩陣。

Zheng等[5]得出了算數-幾何能量的一些上下界。受此啟發，利用圖的最大度、最小度以及圖的一些拓撲指數得到圖的算數-幾何譜半徑和算數-幾何能量的一些新的上下界。

用到的拓撲指數包括：

第一Zagreb指數M1(G)[9]定義為

對稱分割度指數SDD(G)[11]定義為

2 引理

引理1[12](Rayleigh-Ritz) 設B為n×n階矩陣，其特征值為ρ1≥ρ2≥…≥ρn，對于任意的0≠x∈Rn，有

xTBx≤ρ1xTx

當且僅當x是B的對應于其最大特征值的特征向量時，等式成立。

引理2[13](Cauchy-Schwarz) 設ai，bi∈R，i=1，2，…，n，則對于任意的1≤i≤n，

當且僅當對于任意的1≤i，j≤n，aibj=ajbi時等式成立。

引理3設a，b∈R，a≥b≥0，則

當且僅當b=0時等式成立。

3 算數-幾何譜半徑的界

定理1設G為n階連通圖，邊數為m，最小度為δ，則

(1)

證明設x=(x1，x2，…，xn)T為Rn中任意單位向量，由引理1、3，得到

(2)

故

證畢。

定理2設G為m條邊的n階連通圖，最小度為δ，則

(3)

證明由引理2可得

定理3設G為m條邊的n階連通圖，最小度為δ，則

(4)

證明易知

SDD(G)+2m

由引理2知，不等式(4)成立。證畢。

4 算數-幾何能量的界

(5)

故由定理1～3可知，下面關于算術-幾何能量的下界定理是顯然的。

定理4設G是n階連通圖，有m條邊，最小度為δ，則

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

定理5設G為m條邊的n階連通圖，則

(11)

其中

證明由引理2，令ai=1，bi=|ηi|，則對于2≤i≤n，有

(12)

再利用式(10)(12)，可得

(13)

則由定理1～3，可得

證畢。

定理6設G為m條邊的n階連通圖，最大度和最小度分別為Δ和δ，則

(14)

其中

證明易知

(15)

利用式(10)(12)，可得

考慮函數

易知，當

時，f2(x)單調遞減。故由定理1～3可知，不等式(14)顯然成立。證畢。

在下面2個定理中，得到了二部圖算術-幾何能量的上界。

定理7設G為m條邊的n階連通二部圖，則

(16)

其中

證明如果G為n階連通二部圖，則ηi=-ηn-i，i=1，2，…，?n/2」，由引理2可得

(17)

結合式(10)(17)，得

定理8設G為m條邊的n階連通二部圖，最大度和最小度分別為Δ和δ，則

(18)

其中

證明由式(10)(15)和(17)可得

設函數

顯然，當

時，g2(x)單調遞減。故根據定理1～3可知，不等式(18)成立。證畢。