一題多解 思維開花

〔關(guān)鍵詞〕 數(shù)學(xué)教學(xué)；一題多解；三角函數(shù)；求解

〔中圖分類號〕 G633.6〔文獻標識碼〕 C

〔文章編號〕 1004—0463（2011）05（A）—0079—01

一題多解就是廣開思路，從不同角度去審視問題，使學(xué)生腦海中存儲的大量信息被充分調(diào)動起來，從而找出不同的切入點和突破口.一題多解可以訓(xùn)練學(xué)生對數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法的嫻熟運用，鍛煉學(xué)生思維的廣闊性、深刻性、靈活性和獨創(chuàng)性.下面，筆者以一道三角求值題為例進行講解．

例題：已知sinθ+cosθ=■，θ∈（0，π），求tanθ的值.

知識鏈接：由三角函數(shù)的定義，sinθ=■，cosθ=■，易得sinθ+cosθ=■．故sinθ+cosθ>0，等價于θ的終邊在直線y+x=0的上方；sinθ+cosθ=0，等價于θ的終邊在直線y+x=0上；sinθ+cosθ<0，等價于θ的終邊在直線y+x=0的下方.

解法１：已知sinθ+cosθ=■，兩邊平方得2sinθcosθ=－■， ∴（sinθ-cosθ）2=1-2sinθcosθ=1+■=■. ∵ θ∈（0，π）， sinθ+cosθ=■<1， ∴ θ∈（■，π）， ∴ sinθ-cosθ>0， ∴ sinθ-cosθ=■， sinθ=■，cosθ=-■， ∴ tanθ=-■．

點評：此解法是學(xué)生常用的方法，但是如何從已知條件中挖掘出隱含條件，將θ的范圍縮小在（■，π）上，卻是艱難的一步，而此處運用上面的知識鏈接，輕松地解決了這一難題.

解法２：由sinθ+cosθ=■sin2θ+cos2θ=1解得sinθ=■cosθ=-■或sinθ=-■cosθ=■. ∵ θ∈（0，π）， ∴ sinθ>0，故 sinθ=■，cosθ=-■，∴ tanθ=－■.

點評：此解法中對增根的舍去顯然容易得多，但將平方關(guān)系引進并構(gòu)造方程組略有技巧，不過此法學(xué)生也容易掌握.

解法３： ∵ sinθ+cosθ=■①，（sinθ+cosθ）2+（sinθ-cosθ）2=2，∴ sinθ-cosθ=■ ②或sinθ-cosθ=-■ ③．

由①②得sinθ=■，cosθ=-■.∴tanθ=-■．

由①③得sinθ=-■．但θ∈（0，π），故舍此解．因此，tanθ=-■．

解法４： ∵ sinθ+cosθ=■， ∴（sinθ+cosθ）2=■，∴ 2sinθcosθ=-■，即2sinθcosθ=-■（sin2θ+cos2θ），兩邊同時除以cos2θ，得12tan2θ+25tanθ+12=0，解得tanθ=-■ 或tanθ=-■． ∵θ∈（0，π）， sinθcosθ<0，sinθ+cosθ>0，∴ sinθ>0>cosθ，cosθ>-sinθ ，∴ tanθ=■<-1，故tanθ=-■．

解法５：（由題意sinθ+cosθ=■可得sinθ，■， cosθ成等差數(shù)列，故可“等差換元”.）

設(shè)sinθ=■+t，cosθ=■-t，則sin2θ+cos2θ=（■+t）2+（■-t）2=1 ， 解得t=±■. ∵ θ∈(0，π)， ∴ sinθ>0． 而當t=-■時，sinθ=-■<0（舍去），故t=■． ∴ sinθ=■，cosθ=-■， ∴ tanθ=-■．

點評：此解法打破了思維定勢，利用等差數(shù)列的性質(zhì)進行“等差換元”，使得運算過程化繁為簡．

總之，一題多解對于培養(yǎng)學(xué)生從不同角度、不同側(cè)面去分析問題、解決問題，加深對知識的理解，提高其學(xué)習(xí)能力是十分必要的。同時也有利于將學(xué)生從茫茫題海中解脫出來，達到事半功倍的學(xué)習(xí)效果！

?笙 編輯：劉立英

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