從一則案例談小學(xué)數(shù)學(xué)“位置”的教學(xué)

義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程的“空間與圖形”這個學(xué)習(xí)領(lǐng)域，主要是由“圖形的認(rèn)識、圖形與變換、圖形與位置（坐標(biāo)）、測量（圖形與證明）”四個內(nèi)容構(gòu)成。“圖形與位置”這部分內(nèi)容的教學(xué)目標(biāo)是學(xué)生能采用恰當(dāng)?shù)姆绞矫枋鑫矬w間的位置關(guān)系。學(xué)生在一年級下冊（以人教版教材為例）已經(jīng)學(xué)會了在具體的情境中區(qū)分上下、前后、左右，根據(jù)行、列確定物體的位置；在三年級下冊學(xué)習(xí)了東南西北等八個方向，親身體驗(yàn)方位的知識，感受方位知識與日常生活的密切聯(lián)系；在四年級下冊“位置與方向”的學(xué)習(xí)中進(jìn)一步認(rèn)識了在平面內(nèi)可以通過方向和距離兩個條件確定物體的位置，并描述簡單的路線圖；在六年級上冊，學(xué)習(xí)在具體情境中用數(shù)對表示物體的位置或在方格紙上用數(shù)對確定位置，進(jìn)一步提升已有經(jīng)驗(yàn)，增強(qiáng)空間觀念，為第三學(xué)段學(xué)習(xí)“圖形與坐標(biāo)”的內(nèi)容打下基礎(chǔ)。

一、學(xué)情與教材分析

1?郾學(xué)情分析。

在某校四年級學(xué)生學(xué)習(xí)“位置與方向”前，我們對某班的部分學(xué)生進(jìn)行了認(rèn)知基礎(chǔ)和生活經(jīng)驗(yàn)的學(xué)情調(diào)查，目的是了解學(xué)生對于“確定位置”這部分內(nèi)容的知識基礎(chǔ)。測試的問題是：請你在稿紙上描述你們班數(shù)學(xué)科代表和您自己的位置。學(xué)生的幾種做法：（1）文字?jǐn)⑹隹拼淼奈恢茫唬?）用圖表示科代表的位置；（3）有一個孩子說：“班長在我的右上角第2個。”

學(xué)生的想法很豐富。那么，學(xué)生的這些想法和教材中的方法有什么聯(lián)系呢？這是一線教師在教學(xué)中常常遇到的困惑，也是值得深思的問題。

2?郾教材分析。

（1）從中小學(xué)“圖形與位置”的內(nèi)容對比來看。無論是小學(xué)還是初中數(shù)學(xué)，課程標(biāo)準(zhǔn)都把“空間與圖形”這個學(xué)習(xí)領(lǐng)域分成四個方面（如下表）。

從表中可知，小學(xué)的“圖形與位置”到初中就提升為“圖形與坐標(biāo)”，小學(xué)的“圖形測量”在初中就提到了“圖形與證明”的高度。從對比表發(fā)現(xiàn)，小學(xué)和初中有兩個共同點(diǎn)，一是從過去比較單一的強(qiáng)調(diào)圖形的計(jì)算和證明，向現(xiàn)在的多角度（形狀、大小、結(jié)構(gòu)、位置以及實(shí)物或圖形之間的關(guān)系、變化等）刻畫圖形發(fā)展；二是小學(xué)和初中在“空間與圖形”這個領(lǐng)域都強(qiáng)調(diào)培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念、幾何直觀和推理能力（合情推理、演繹推理），只是側(cè)重點(diǎn)不同，要求不同。

小學(xué)和中學(xué)在學(xué)習(xí)中也存在幾個方面的不同點(diǎn)，一是對于圖形的學(xué)習(xí)，小學(xué)主要是直觀辨認(rèn)，通過操作、測量來探索一些性質(zhì)，確認(rèn)一些性質(zhì)，而在中學(xué)，不僅要去確認(rèn)，更重要的是要用幾何語言去描述，用基本的事實(shí)（公理）、定理去證明；二是小學(xué)比較強(qiáng)調(diào)單個圖形的一些特征，中學(xué)則開始研究一類或不同類圖形之間的現(xiàn)狀、結(jié)構(gòu)和位置關(guān)系；三是教學(xué)在要求的力度、目標(biāo)達(dá)成的方式上也是有差異的。以“圖形與位置”為例，小學(xué)階段的學(xué)習(xí)任務(wù)是“學(xué)習(xí)描述物體相對位置的一些方法，建立起初步的空間觀念”，初中階段的要求則是“學(xué)習(xí)運(yùn)用坐標(biāo)系確定物體位置的方法，發(fā)展空間觀念”。在小學(xué)階段，“圖形與位置”的學(xué)習(xí)主要是建立在學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)和直觀感受上，中學(xué)階段“圖形與坐標(biāo)”的學(xué)習(xí)則是基于學(xué)生思維發(fā)展的水平，也就是“只有當(dāng)兒童能夠假想出抽象的坐標(biāo)軸如垂直軸和水平軸，并把它作為確立周圍物體相對位置的一種手段后，他才開始表象空間”。（皮亞杰語）

（2）從空間觀念的特征來看。從小學(xué)第二學(xué)段開始，學(xué)生開始借助“數(shù)對”來刻畫圖形的位置以及位置間的關(guān)系，這就涉及用代數(shù)的方法去表達(dá)，這是小學(xué)生學(xué)習(xí)中的一個難點(diǎn)。如何由表示生活直觀的實(shí)物位置過渡到表示較為抽象的平面圖形上點(diǎn)的位置？小學(xué)生要學(xué)習(xí)和掌握這些復(fù)雜的幾何知識，需要豐富的空間觀念。一方面教學(xué)前需要探尋兒童已有的幾何認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，另一方面課程內(nèi)容的設(shè)置體現(xiàn)了學(xué)生對“位置”的學(xué)習(xí)是一個螺旋上升的漸進(jìn)過程。只有在空間觀念的引領(lǐng)下，在空間直覺中，復(fù)雜才可以歸結(jié)為簡單。

（3）從兩種確定位置的數(shù)學(xué)原理角度來看。在中學(xué)階段，表示位置常常借助于平面直角坐標(biāo)系和極坐標(biāo)系（見下圖），小學(xué)數(shù)學(xué)中用行列、方向與距離確定位置的內(nèi)容實(shí)際上就蘊(yùn)含著這兩種坐標(biāo)系的思想，它們都可以用數(shù)對來表示。如圖：

在平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)M表示M（3，3）。在極坐標(biāo)系中對于點(diǎn)M，就用OM的長度（極徑）及OM相對于極軸的角度（極角）來刻畫，如M（4，45°）

從上面的分析發(fā)現(xiàn)，前面提到的學(xué)情分析中，學(xué)生的表示法都有其合理性，反映了平面直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的初步思想在日常生活中的應(yīng)用。

二、“位置”教學(xué)建議

1?郾做好學(xué)情調(diào)研。通過課前的學(xué)情調(diào)研，了解學(xué)生的原始問題與困惑，了解學(xué)生的真實(shí)思維過程與發(fā)展水平，準(zhǔn)確把握學(xué)生學(xué)習(xí)的認(rèn)知起點(diǎn)。通過學(xué)前調(diào)研，可以看到孩子們在學(xué)習(xí)“位置”之前已有了比較好的原始經(jīng)驗(yàn)，關(guān)鍵是老師如何去挖掘和利用。在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時要考慮如何建立起學(xué)生原始想法和數(shù)學(xué)方法之間的某種聯(lián)系，比如在文字描述、幾何圖形描述、數(shù)字描述之間的對應(yīng)，再引申到數(shù)學(xué)上用“數(shù)對”來確定位置的方法。

2?郾把握圖形與位置的知識序。小學(xué)教材的知識序：上下、前后、左右、行列——從不同方向觀察物體——東南西北等八個方向——平面圖上的位置與方向、路線圖——數(shù)對表示位置。這是按照學(xué)生認(rèn)知發(fā)展的序列和一定的邏輯關(guān)系呈現(xiàn)出來的。教師在進(jìn)行“位置”的教學(xué)時，既要考慮學(xué)生的認(rèn)知序，也要注意新課程中這部分內(nèi)容的知識分布，將它們有機(jī)融合與協(xié)調(diào)，使學(xué)生在活動中獲得“過程與結(jié)果”的完美統(tǒng)一。

3?郾充分利用動態(tài)表象的作用。兒童空間觀念的演化是在知覺水平和思維與想象水平上同時進(jìn)行的，是沿著各自的途徑發(fā)展的，教學(xué)中要注意把這兩者的發(fā)展協(xié)調(diào)起來，從感觀上升到形象，再從形象提煉出數(shù)量關(guān)系，形成幾何學(xué)習(xí)的動態(tài)表象。表象的形成過程，是一個思考和抽象的過程，以“位置”的教學(xué)為例，空間觀念首先表現(xiàn)為“想象”，即舍棄物體的其他屬性，而對其形狀、大小和位置等幾何形態(tài)進(jìn)行概括，把物體抽象成一個點(diǎn)來考察物體在空間的位置，這是小學(xué)生學(xué)習(xí)用數(shù)對表示物體位置時的一個思維難點(diǎn)。教學(xué)時，既可以借助課件演示，將“人物”逐步縮小成一個點(diǎn)，讓孩子明白這個點(diǎn)仍然是表示某個人或物；另一方面，也可以利用動態(tài)表象的作用，讓學(xué)生領(lǐng)悟?qū)⑷嘶蛭镏鸩匠橄蟪牲c(diǎn)的這樣一個縮小過程。

三、案例

課題：確定位置（一）

1?郾導(dǎo)課。

師：同學(xué)們，你們班有多少名同學(xué)？

生：有40名同學(xué)。

師：我要在40位同學(xué)中找你們的班長，要怎么找？

（這時班長站了起來。）

師：同學(xué)們能不能說一說班長所在的位置？

（在老師的提示下，同學(xué)們說：班長在第一組，第三行。）

師：班長所在的位置是怎樣確定的？今天我和大家一起學(xué)習(xí)“確定位置”。

師：要確定位置，先要規(guī)定“組”，我們現(xiàn)在規(guī)定最左邊的為第一組，最右邊的為第八組，最靠近講臺的為第一排，最靠近后面墻的為第五排。行嗎？

生：行！

師：現(xiàn)在請同學(xué)們看一看自己的位置，并對同桌的小伙伴說說您的位置。

接著，老師組織同學(xué)做游戲：請第二組第三排的同學(xué)起立！（這個同學(xué)站了起來）請問同學(xué)們，要表示這個同學(xué)在教室中的位置，用什么方法使人一聽就明白呢？

在老師的啟發(fā)下，大部分同學(xué)提到用“幾組幾排”表示。老師在肯定同學(xué)們的想法后，要求同學(xué)們在草稿紙上快速地記錄她所念到的同學(xué)的位置，并讓兩名學(xué)生板書。老師念的速度由慢到快，同學(xué)們的記錄逐漸跟不上老師念的節(jié)奏，紛紛議論起來，老師順勢與學(xué)生交流起來。

師：同學(xué)們，用“幾組幾排”的方法表示位置簡單嗎？

（大部分學(xué)生搖了搖頭。）

師：還有更簡潔的表示位置的方法嗎？

有的學(xué)生提到用兩個數(shù)，如“2”“3”來記錄2組3排；有的提到用2，3來表示；也有的同學(xué)想到用（2，3）表示這個同學(xué)的位置。老師巧妙地利用課堂的生成性資源，在師生、生生交流中適時講解了數(shù)對的知識，肯定了用（2，3）表示“位置”的方法。

接著，老師按點(diǎn)名冊點(diǎn)了三位同學(xué)的名字，要求同學(xué)們用“數(shù)對”表示出這三個同學(xué)在教室中所在的位置。

（導(dǎo)課的設(shè)計(jì)很有創(chuàng)意，既讓老師和學(xué)生互相熟悉，又為引入教學(xué)內(nèi)容做了很好的鋪墊，學(xué)生初步建立了“位置”與“數(shù)對”的對應(yīng)關(guān)系。）

2?郾創(chuàng)設(shè)情境。

老師用多媒體課件出示下面的情境：

師：小林在圖中的位置用“數(shù)對”怎樣表示？

學(xué)生觀察后認(rèn)為小林的位置用“數(shù)對”表示是（4，3）。

師：如果沿著第4組畫一條豎線，再沿第3排畫一條橫線，你會發(fā)現(xiàn)什么？

學(xué)生發(fā)現(xiàn)兩條直線的交點(diǎn)（4，3）就是小林的座位。

（多媒體課件的演示為學(xué)生建立坐標(biāo)的概念做了很好的鋪墊，為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)“直角坐標(biāo)系”預(yù)留了生成點(diǎn)。）

3?郾游戲活動。

（1）老師準(zhǔn)備了一些卡片，卡片上是一些數(shù)對。老師用點(diǎn)名冊點(diǎn)名讓學(xué)生上臺抽取卡片，讀出卡片上的數(shù)對，再按照這個數(shù)對去找自己的新位置。

（2）最后上臺的兩位同學(xué)拿到的卡片上的數(shù)對是：（3， ）、（ ，1），這兩位同學(xué)沒有辦法找到自己的新位置。

老師指出：一組數(shù)對少了一個信息，就不能準(zhǔn)確地確定位置。如第一位同學(xué)是在第3組，第二位同學(xué)在第1排。）

4?郾介紹“確定位置”知識的應(yīng)用。老師先用課件介紹用“經(jīng)度”和“緯度”確定地球上點(diǎn)（某地區(qū)）的位置的方法，接著讓學(xué)生確定北京和昆明的經(jīng)緯度，最后指出神舟六號、七號的發(fā)射和回收也需要準(zhǔn)確地確定位置。神舟六號和七號的發(fā)射和回收那么成功，這都有賴于“衛(wèi)星全球定位儀”——GPS，因?yàn)槿蛉魏我粋€地方都存在唯一的經(jīng)度和緯度。用經(jīng)緯度可以確定某個地方的位置。

教學(xué)評價：

1.這節(jié)課從設(shè)計(jì)到教學(xué)既貼近學(xué)生的認(rèn)知水平和生活實(shí)際，又很好的揭示了數(shù)學(xué)的內(nèi)涵：用數(shù)對確定一個點(diǎn)的位置，需要兩個條件。教學(xué)中有兩個亮點(diǎn)：一是教材情境的利用，二是游戲的設(shè)計(jì)。學(xué)生學(xué)得很輕松，因?yàn)榻虒W(xué)有針對性，學(xué)生容易認(rèn)識“位置”的內(nèi)容特點(diǎn)，使整個教學(xué)過程置于學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”。

2?郾本節(jié)課教學(xué)是通過游戲引入（讓學(xué)生把注意力集中到主要的信息中去）——說位置（由此得到數(shù)對可以表示平面上的一個點(diǎn)）——創(chuàng)設(shè)情境〔將情境中的數(shù)學(xué)信息抽象成：P（x，y），滲透平面直角坐標(biāo)系的思想〕——游戲（強(qiáng)化認(rèn)知）——知識介紹（拓展知識，開闊學(xué)生的視野）——小結(jié)等完成的，過程清晰、重點(diǎn)突出。

作者單位

昆明市西山區(qū)徐霞客中心學(xué)校

四川文理學(xué)院數(shù)財(cái)系

◇責(zé)任編輯：李瑞龍◇