粗糙集在教學質量評價中的應用

［摘要］ 粗糙集不依賴于數據集之外的附加信息，是處理含有噪聲、不精確、不完整數據的有力工具，是一種新的數據挖掘技術。首先，本文介紹了粗糙集理論和決策表約簡算法，然后采用粗糙集數據挖掘技術對多指標教學質量進行評價，挖掘出數據背后隱含的規則。

［關鍵詞］ 粗糙集； 屬性約簡； 值約簡； 教學質量評價

doi : 10 . 3969 / j . issn . 1673 - 0194 . 2011 . 22. 049

［中圖分類號］G642 ［文獻標識碼］A ［文章編號］1673 - 0194（2011）22- 0086- 02

0引言

粗糙集理論是１９８２年由波蘭科學家Ｐａｗｌａｋ提出的一種新型的處理模糊和不確定知識的數學工具［１］。經典粗糙集的理論基礎是不可分辨關系，將分類理解為在特定空間上的等價關系。粗糙集的精髓是屬性約簡，在保持知識庫分類能力完全不變的條件下，刪除其中不相關或不重要的屬性。

１粗糙集理論的基本概念

１．１信息系統的定義

用四元組Ｓ ＝ （Ｕ，Ａ，Ｖ，ｆ）表示一個信息系統，其中，Ｕ表示一組對象的非空有限集合，稱為論域。Ａ表示屬性的非空有限集合，Ａ ＝ ＣIDIDII，其中Ｃ為條件屬性，Ｄ為決策屬性。Ｖ表示屬性ａ的值域。信息函數ｆ：U × AIV為對象的屬性到其值的映射。這種知識表達系統也稱作決策表。如果有相同條件屬性的對象其決策屬性也相同，則稱為相容決策表，否則稱為不相容決策表。

１．２等價類的定義

若Ｒ是非空集合Ａ上的等價關系，則Ａ上互相等價的元素構成Ａ的若干個子集，就是等價類。如Ａ ＝ ｛ １， ２， … ， ８ ｝上模 ３ 等價關系的等價類：［１］ ＝ ［４］ ＝ ［７］ ＝ ｛１，４，７｝，［２］ ＝ ［５］ ＝ ［８］ ＝ ｛２，５，８｝，［３］ ＝ ［６］ ＝ ｛３，６｝。

１．３近似集的定義，Ｘ的下近似

Ｒ*（Ｘ） ＝ ｛ｘ：（ｘ∈Ｕ）∧（［ｘ］Ｒ?哿Ｘ ）｝，Ｘ的上近似：Ｒ*（Ｘ）＝｛ｘ：（ｘ∈Ｕ）∧（［ｘ］Ｒ∩X≠?準）｝。下近似包含了所有使用知識Ｒ可確切分類到Ｘ的元素，上近似則包含了所有那些可能是屬于Ｘ的元素。表1為感冒及其影響因素的決策表。

Ｒ ＝ ｛頭疼，體溫｝

Ｕ／Ｒ＝ ｛｛Ｘ１｝，｛Ｘ2｝，｛Ｘ3｝，｛Ｘ4｝，｛Ｘ5，Ｘ7｝，｛Ｘ6，Ｘ8｝，Ｘ１ ＝ ｛ｕ ｜ 感冒 ＝ ｙｅｓ｝ ＝ ｛Ｘ2，Ｘ3，Ｘ6，Ｘ7｝，圖１表示Ｘ１的上近似與下近似。

２一致決策表的約簡

在對決策表進行約簡前，要將不一致的決策表轉化成一致的。基于粗糙集理論的知識發現，主要是保證約簡后的決策表與約簡前的決策表具有相同的功能，包括屬性約簡和值約簡。

２．１屬性約簡

粗糙集理論研究的主要內容之一就是屬性約簡，在數據庫中，條件屬性對于決策屬性的重要性是不相同的，甚至有些屬性是多余的，大量不相關屬性的存在增大了數據挖掘的難度，使分類的準確率降低。常見的屬性約簡算法有以下兩種。

2.1.１直接求核集算法

輸入：相容決策表ＤＴ ＝ ＜Ｕ，Ａ，Ｖ，ｆ＞，Ａ＝Ｃ∪Ｄ是屬性集合；

輸出：約簡的屬性集。

步驟

Sｔｅｐ １對每一條屬性ai∈C，計算ＰＯＳ｛ｃ－｛ａｉ｝｝（Ｄ）。

Sｔｅｐ ２如果ＰＯＳ｛ｃ－｛ａｉ｝｝（Ｄ）＝ ＰＯＳｃ（Ｄ），則稱屬性ａｉ在Ｃ中是關于Ｄ可省的，可以從決策表中刪除。

Sｔｅｐ ３否則稱屬性ａｉ在中Ｃ中是關于Ｄ不可省的，應該保留。

Sｔｅｐ ４重復前三步，直到屬性集合不在發生變化，終止算法。

該算法有很大的局限性，起搜索空間和時間的代價都很大，不利于有過多個屬性的決策表的約簡。

2.1.２基于差別矩陣的求核約簡算法

令Ｓ＝（Ｕ， Ａ， Ｖ， ｆ）為一信息系統，Ａ ＝ Ｃ∪Ｄ，論域Ｕ中元素的個數 | Ｕ | ＝ ｎ，| Ｃ | ＝ ｍ，Ｓ的分辨矩陣Ｍ定義為一個ｎ階對稱矩陣，其ｉ行ｊ列處元素定義為：

mij｛ak | ak∈C∧ak（xi） ≠ ak（xj）｝， d（xi） ≠ d（xj）0，d（xi） ≠ d（xj）?準，ak（xi） = ak（xj），d（xi） ≠ d（xj）

即ｍｉｊ是能夠區別對象ｘｉ和ｘｊ的所有屬性的集合。當兩個樣本的決策屬性取同時，對象值為０；當兩個樣本的決策屬性不同且可以通過某些條件屬性的取值加以區分時，對象值為這兩個樣本屬性值不同的條件屬性集合。

可辨識矩陣屬性約簡算法：

輸入：相容決策表ＤＴ ＝ ＜Ｕ，Ａ，Ｖ，ｆ ＞，Ａ ＝ Ｃ∪Ｄ是屬性集合；

輸出：約簡的屬性集。

步驟：

Ｓｔｅｐ １計算決策表的可辨識矩陣ＭＤ；

Ｓｔｅｐ ２對于可辨識矩陣中所有取值為非空集合的對象Ｍｉｊ，建立相應的析取邏輯表達式Ｔｉｊ。

Ｓｔｅｐ ３將所有的析取邏輯表達式Ｔｉｊ進行合取運算，得到一個合取范式Ｔ。

Ｓｔｅｐ ４將合取范式Ｔ轉換為析取范式的形式。

Ｓｔｅｐ ５輸出屬性約簡結果。

基于可辨識矩陣和邏輯運算的屬性約簡算法可以得到決策表的所有可能的屬性約簡結果，它實際上是將對屬性組合情況的搜索演變成為邏輯公式的簡化。

２．２值約簡

在判斷某個對象屬于某類時，其屬性的取值不同，對分類產生的影響也不同。例如，判斷一個人的飯量（大、中、小）時，每頓飯的食量是主要屬性。但若食量屬性值為３時（即每頓飯吃3個饅頭），此人的飯量要結合其年齡、性別等屬性才能確定。如果食量屬性值為８時，幾乎可以確定此人飯量很大，這時年齡、性別屬性已不重要。對于決策表而言，屬性值的約簡就是決策規則的約簡。

３基于粗糙集的教學質量評價

３．１教學質量評價管理的內容要求

教學工作是有目標的系統工程，只有建立科學合理的評價體系，準確地對教師的教學水平進行評價，才能有針對性地加強對個別教師的督促。本文主要討論對教師教學質量的評價，有以下4個指標。

（1） 平均成績：假設每位數學老師教兩個班級，每個班級５０名學生，則計算這１００名學生的平均成績，進行老師間橫向比較。

（2） 優秀人數：對照優秀標準，按班級優秀人數測算優秀率。若優秀率在３０％以上，則認為優秀人數多；否則認為優秀人數少。

（3） 及格人數：測定樣本的及格率，若及格率在７０％以上，則認為及格人數多；否則認為及格人數少。

（4） 抽測成績：在１００名學生中隨機抽取１０名學生，若５個以上的學生在８５分以上，則認為抽取成績高；否則認為抽取成績低。

３．２粗糙集的應用

表2為一個數據記錄表，通過測定平均成績，及格人數，優秀人數和抽取成績來判斷6位老師的教學水平。

其中，條件屬性集為｛ａ，ｂ，ｃ，ｄ｝，決策屬性集為｛ｅ｝。屬性及屬性值的含義為：

平均成績ａ，５０～６０——０，６０～７０——１，７０～８０——２；及格人數ｂ，７０％以上——１，７０％以下——０；優秀人數ｃ， ３０％以上——１，３０％以下——０；抽取成績ｄ，５０％在８５分以上——１，其補集——０；教學水平ｅ，好——１，不好——０。

首先，用分辨矩陣直接求核集。教學評價決策表所示是一個知識系統，Ｕ ＝ ｛Ｕ１，Ｕ１，…，Ｕn｝是論域，Ｃ ＝ ｛ａ，ｂ，ｃ，ｄ｝是條件屬性集，Ｄ ＝ ｛ｅ｝是決策屬性集，Ｐ ＝ Ｃ ＋ Ｄ。則其相應的分辨矩陣為：

D = cdacdabcdabdabcda ababcab ababcb caac

其次，從分辨矩陣中可以得出，由于Ｄ ＝ ｛ｅ｝是決策集，不需要約簡，約簡的是條件集合Ｃ，根據差別矩陣的求核約簡算法求出該知識系統的核集為｛ａ，ｂ，ｃ｝。該約簡求核集的方法可以在計算機上實現。本實例比較簡單，也可以用直接求核集算法。經約簡后的決策表（見表3）。

再次，約簡值，對于決策規則１，［１］ａ＝｛１，２｝， ［１］ｂ ＝｛１，２，３｝， ［１］ｃ＝｛１，５｝， ［１］ｅ＝｛１，２｝，其中：［１］ａ∩［１］ｂ＝｛１，２ ｝∩ ｛１，２，３｝＝｛１，２｝［１］ｅ，則ｃ０（表示ｃ屬性值為０）可約；［１］ａ∩［１］ｃ＝｛１，２｝∩｛１，５｝＝｛１｝［１］ｅ，則ｂ０可約；［１］ｂ∩［１］ｃ ＝ ｛１，２，３ ｝∩｛１，５｝＝｛１｝［１］ｅ，則ａ０可約；對于決策規則２，［２］ａ ＝ ｛１，２｝， ［２］ｂ ＝ ｛１，２，３｝，［２］ｃ ＝ ｛２，３，４，６｝，［２］ｅ ＝ ｛１，２｝。其中：［２］ａ∩［２］ｂ ＝ ｛１，２｝∩｛１，２，３｝ ＝ ｛１，２｝ ［２］ｅ，則ｃ１是可約的；［２］ａ∩［２］ｃ ＝ ｛１，２｝∩｛２，３，４，６｝ ＝ ｛２｝［２］ｅ，則ｂ０是可約的；［２］ｂ∩［２］ｃ ＝ ｛１，２，３｝∩｛２，３，４，６｝ ＝ ｛２，３｝［２］ｅ，則ａ０不可約；其邏輯語義表示為：ａ０ｂ０Ｖａ０ｃ１ｅ０。同理，決策規則３推出：ａ１不可約，ｂ０可約，ｃ１不可約，其邏輯語義為： ａ１ｃ１Ｖａ１ｂ０ｃ１ｅ１． 決策規則４推出：ａ１，ｂ１，ｃ１均可約；決策規則５推出：ａ２，ｂ１，ｃ０均可約；決策規則６推出：ａ１，ｂ１，ｃ１均可約。經過上述約簡得到了最小決策算法，它的邏輯語義為：ａ０ｂ０Ｖａ０ｃ１－ｅ０和ａ１ｃ１Ｖａ１ｂ０ｃ１－ｅ１。用自然語言表示為：若平均成績５０～６０且及格人數在７０％以下或者平均成績５０～６０且優秀人數在３０％以下的老師被認為教學質量不好；若平均成績在６０～７０且優秀人數在３０％以上或者平均成績６０～７０且及格人數在７０％以下且優秀人數在３０％以上的老師被認為教學質量好。

4結束語

粗糙集的生命力在于有較強的實用性，不需要附加信息和先驗知識，使評價結果更加客觀公正。本文主要論述了粗糙集的理論知識和基于粗糙集的決策表約簡算法，分析了評價教師教學水平的指標，在此基礎上提出了4個成績指標，并就基于粗糙集的數據挖掘技術在教學質量評價中的應用進行了簡單的探討。

主要參考文獻

［１］ Ｐａｗｌａｋ Ｚ． Ｒｏｕｇｈ Ｓｅｔｓ：Ｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌ Aｓｐｅｃｔｓ ｏｆ Rｅａｓｏｎｉｎｇ Aｂｏｕｔ Dａｔａ［M］． Ｂｏｓｔｏｎ，MA：Ｋｌｕｗｅｒ Ａｃａｄｅｍｉｃ Ｐｕｂｌｉｓｈｅｒｓ，１９９１．

［２］ ［加］Jiawei Han． 數據挖掘概念與技術［M］． 范明，譯. 北京：機械工業出版社，２００５．

［３］ 劉翔． 數據倉庫與數據挖掘技術［M］． 上海：上海交通大學出版社，２００５．

［２］ 黃麗萍． 基于粗糙集的屬性約簡與規則提取［Ｄ］． 廈門：廈門大學，２００７．

［３］ 張靜． 基于粗集理論的數據挖掘方法及應用研究［Ｄ］． 大連：大連理工大學，２００７．

［４］ 唐建國， 譚明術． 粗糙集理論中的求核與約簡［Ｊ］． 控制與決策，２００３，１８（４）：４４９－４５２．

［５］ 陳曉紅，陳嵐． 基于粗糙集理論的知識約簡及應用實例［Ｊ］． 大學數學，２００３，１９（４）：６８－７３．