試證“雙生素?cái)?shù)”有無窮多對(duì)

中圖分類號(hào)：O156 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1008-925X(2011)11-0246-01

任何不小于3的自然數(shù)，可表示為6m，6m±1，6m±2，6m±3，m∈n*。而6m，6m±2，6m±3是含因數(shù)為2或3的合數(shù)。所以，任何不小于5的素?cái)?shù)或不含因數(shù)3的奇合數(shù)可表示為6m±1，m∈n*的形式。當(dāng)m分別取1、2、3、4、5、6時(shí)，依次得到6組數(shù)：(5、7)，（11、13），（17、19），（23、25），（29、31），（35、37）。其中第1、2、3、5組均為“雙生素?cái)?shù)”，而第4、6兩組均不是“雙生素?cái)?shù)”。

若令m=5k±1， k∈n*代入6m±1可得到兩組數(shù)；(30k-7，30k-5)和（30k+5，30k+7）。這說明每連續(xù)5組數(shù)中必有兩組數(shù)，它們都有一數(shù)含因數(shù)5，所以這兩組數(shù)都不是“雙生素?cái)?shù)”。而“雙生素?cái)?shù)”只可能存在于其它3組中。

那么在［5，n］中（n為大于7的偶數(shù)），到底有多少組的數(shù)呢？可能存在“雙生素?cái)?shù)”的數(shù)組至少又有多少個(gè)呢？

因?yàn)?m±1

為了能得到一個(gè)不足值的表達(dá)式，我們不妨把最后的5組數(shù)進(jìn)行舍棄（原先把不能整除的尾數(shù)q進(jìn)行舍棄其中q＜5即可得到一個(gè)不足值，倒不如舍棄5來得更加徹底）。于是我們就能得到一個(gè)可能存在“雙生素?cái)?shù)”組數(shù)的不足值表達(dá)式{［(n-1) /6］-5}×3/5 ②。

一般地，可令m=kpi±（pi±1）/6（其中k∈n*，pi表示第i（i3）個(gè)素?cái)?shù)，且在（pi±1）中的正、負(fù)號(hào)是根據(jù)具體的素?cái)?shù)來取號(hào)。如p12=37時(shí)取負(fù)號(hào)、p13=41時(shí)取正號(hào)。其目的是為了整除性。）不失一般性，令m= kpi±（pi+1）/6代入6m±1，可得到兩組數(shù)(6kpi-pi-2，6kpi-pi)和(6kpi＋pi，6kpi＋pi+2)。它們每組數(shù)中，都有一數(shù)含因數(shù)pi，所以這兩組數(shù)都不是“雙生素?cái)?shù)”。所以在［5，n］中，每連續(xù)pi組的數(shù)組，其“雙生素?cái)?shù)”只可能存在于其它pi-2組中。妨照②式，至少有{［(n-1)/6］-pi}×(pi-2)/pi ③組可能含有“雙生素?cái)?shù)”。

假定在［5，n］中，最大的“素篩子”為pk，(其中p 2k

∏ki=3(1-2pi)={［(n-1)/6］-pk}×35×57×911×……×pk-2pk＞{［(n-1)/6］-pk}×3pk=［n-12pk ］―3≥［pkn-12pk］-3=［n-12］-3。

因?yàn)楫?dāng)n趨向無窮大時(shí)，［n-12］-3也趨向無窮大，所以“雙生素?cái)?shù)”有無窮多。

參考文獻(xiàn)

[1] 潘承洞.潘承彪合著《解析數(shù)論基礎(chǔ)》第32章的內(nèi)容.北京：科學(xué)出版社，1991年