構造法在中學數學中的一些應用

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1008-925X(2011)11-0202-02

應用構造法解決問題，就是以已知條件為先導，以相關的知識為輔助，以所求的結論為方向，通過細致的分析，豐富的聯想，靈巧的構思，創造性地構造出一種新的數學形式，使所要求的問題，在這種模式下，得以輕而易舉的解決。

構造法是數學中常用的一種方法，它包括構造圖形、函數、三角、復數、方程、向量、數列、算法、基本不等式等等，在此僅舉幾個實例，淺析其思想方法。

1 構造圖形

例1 橢圓x29+y24=1的焦點為F1、F2，點p為其上的動點，當∠F1PF2為鈍角時，求點P的橫坐標的取值范圍。 

分析：本題考察的知識點較多，綜合性較強，解題方法也較多（不下六種），我們可以結合圖形，聯想到初中學過的直徑上的圓周角等于直角這個事實，結合本題中的條件，使問題得以簡化。

解：構造圓，以F1F2為直徑作圓，交橢圓于P1、P2、P3、P4，由平面幾何知識知，當P運動到P1、P2、P3、P4這四個中任何一處時，

∠F1PF2=90°，而運動到P1、P2或P3、P4之間時，∠F1PF2為鈍角，則圓與橢圓的四個交點為臨界點，故可設｜F1P1｜=r1，｜F2P1｜=r2，由勾股定理及橢圓的第一定義，得：r1+r2=6r12+r22=（25)2 解得：r1r2=8.設交點坐標為P1(x1，y1)，則有：

y1=r1r2｜F1F2｜=825=45，進而求得x1=35，由對稱性知，P點橫坐標取值范圍應是-355<x<355。

2 構造函數

例2 已知｜a｜<1，｜b｜<1，求證：｜a+b1+ab｜<1。

解：原命題等價于-1

例3 求證｜a+b｜1+｜a+b｜｜a｜1+｜a｜+｜b｜1+｜b｜.

分析：觀察左右兩端各項中結構形式一樣，可構造函數f(x)=x1+x，x∈[0，+∞)，則f(x)=1-11+x，在[0，+∞)上單調遞增，令x1=｜a+b｜，x2=｜a｜+｜b｜顯然x1、x2∈[0，+∞)，x1x2所以

f(x1)f(x2)，｜a+b｜1+｜a+b｜｜a｜+｜b｜1+｜a｜+｜b｜=｜a｜1+｜a｜+｜b｜+｜b｜1+｜a｜+｜b｜｜a｜1+｜a｜+｜b｜1+｜b｜. ∴原不等式成立。

3 構造向量

有關向量知識是新課程里新添的內容，應用向量知識處理問題有時顯得更加快捷。

例4 （見例1）

解：設動點P(x，y)，由題意求得焦點坐標F1(-5，0)、F2(5，0)，由向量的運算知，F1P=(x+5，y)、F2P=(x-5，y)，因為

π2<∠F1PF2<π，所以cos∠F1PF2=

FP·FP

｜F1P｜·｜F2P｜<0即F1P·F2P<0，由向量的數量積公式得：(x+5)(x-5)+y·y<0，從而x2+y2<5與橢圓方程聯立消去 ，解得 點橫坐標的取值范圍是：-355

4 構造恒等式

例5 已知f(x)=x2+px+q，求證：｜f(1)｜，｜f(2)｜，｜f(3)｜中至少有一個不小于12。 

分析：只須證明｜f(1)｜，｜f(2)｜，｜f(3)｜中的最大者不小于12，即 MM=max{｜f(1)｜，｜f(2)｜，｜f(3)｜}12。

證明：構造恒等式：f(x)=x2+px+q=(x-2)(x-3)(1-2)(1-3)f(1)+(x-1)(x-3)(2-1)(2-3)f(2)+(x-1)(x-2)(3-1)(3-2)f(3)。比較x2項的系數，有1=12f(1)-f(2)+12f(3)12｜f(1)｜+｜f(2)｜+12｜f(3)｜(

12+1+12)M=2M。

得：M=max{｜f(1)｜，｜f(2)｜，｜f(3)｜}12。

6 構造三角函數

例6（見例6）

證明：由a1+b2=1，x2+y2=1，可設a=cosα，b=sinα，x=cosβ，y=sinβ，則｜ax+by｜=｜cosαcosβ+sinαsinβ｜=｜cos(α-β)｜1，∴-1ax+by1

評析：在不等式證明的一章里，很常見的一種方法就是三角換元方法，利用圓的參數方程，將代數的轉化為三角的，再利用三角函數的有界性，問題就得以解決。 

7 構造復數 

例7 已知x、y∈R，且x2+y2=1，求證：對任意的a、b∈R，都有a2x2+b2y2+a2y2+b2x2a+b。

分析：觀察左邊兩項都是兩數平方和再開方，這與求復數模公式如出一轍，故可將ax、by與ay、bx分別作為兩個復數的實部、虛部。

證明：令z1=ax+byi，z2=bx+ayi，則左邊=｜z1｜+｜z2｜｜z1+z2｜=｜(ax+bx)+(ay+by)i｜=(ax+bx)2+(ay+by)2=

(a+b)2x2+(a+b)2y2=(a+b)2(x2+y2)=(a+b)2=｜a+b｜a+b=右邊，所以原不等式成立。 

例8 對于x∈R，試求函數y=x2+x+1-x2-x+1 的值域

解:將原函數變形為 

y=(x+12)2+(32)2-(X-12)2+(32)2

由此構造復數z1=(x+12)+32i，z2=(x-12)+32i

又因為｜｜z1｜-｜z2｜｜｜z1-z2｜當z1=kz2(k>0)時取等號，所以｜x2+x+1-x2-x+1｜<1從而得-1

所以函數的值域為{y|-1

總而言之，構造法作為數學中一種常用的方法，在教學實踐中要不斷的滲透、強化這種思想，使學生在構造實踐中做到視野更開闊、思維更活躍、想象更豐富；使學生分析問題和解決問題的能力得以進一步提高，并在遇到問題時，能用創造性的、大膽的構想加以解決，除以上幾種構造方法，還可構造數列、基本不等式、方程等等，凡此種種，不一而足，限于篇幅，僅舉數例加以淺析。