具有時變時滯的不確定線性廣義系統的無源控制

摘 要:本文主要討論具有時變時滯的不確定線性廣義系統的無源控制問題。文中的時變時滯不是一個常數而是具有最大值，且不確定參數都是范數有界的。利用代數Riccati方程和線性矩陣不等式解決了在沒有不確定參數情況下的時變時滯線性廣義系統的無源控制問題。

關鍵詞:無源控制 時變時滯 不確定廣義系統 線性矩陣不等式

中圖分類號:TP27文獻標識碼:A文章編號:1674-098X(2011)11(c)-0256-01

1 引言

本文主要討論狀態具有時變時滯和含不確定參數的廣義系統無源控制問題。設計線性狀態反饋控制器使得對于所有的時滯和參數允許的不確定性，系統是魯棒穩定和無源的。本文中的時滯不是一個常數，而是具有最大值，且不確定參數都是范數有界的。首先，利用無源性定義和Lyapunov穩定性定理以及線性矩陣不等式，給出了時變時滯廣義系統滿足無源的條件，并且設計了狀態反饋控制器，然后，利用代數Riccati方程得到了時變時滯不確定線性廣義系統的無源控制器。

注:表示是正定對稱(半正定，負定，半負定)矩陣

2 問題描述

考慮如下時變時滯的不確定線性廣義系統

;

;。(1)

這里是狀態變量，是控制輸入，且t<0時，u(t)=0。是控制輸出，是擾動輸入，是給定的適維矩陣，時變滯后是任意可微函數，滿足是已知常矩陣，F是適維矩陣，滿足。我們的目標是找出滿足魯棒穩定和嚴格無源的條件。下面，引入無源性的定義和相關的引理。

定義1:若存在可微正定函數使得

;這里(2)

則系統稱為嚴格無源的。定義2[10]:若廣義時滯系統是正則，無脈沖且穩定的，則系統稱為是容許的。引理1[9]:是已知常矩陣，則;當且僅當或;引理2[9]:矩陣是給定的適維矩陣，對所有t，則:;等價于;引理3[11]對于系統;若存在矩陣P，Q>0，，使得

;

成立，則廣義時滯系統稱為是容許的且嚴格無源的。

3 主要結果

考慮如下時變時滯不確定廣義系統:

;

。(3)

定理1:系統是魯棒穩定且嚴格無源的，當且僅當若存在矩陣P，Q>0，滿足，;

，(4)

或者換句話說，系統是魯棒穩定且嚴格無源的，當且僅當，P，Q>0，滿足和代數Riccati不等式:

這里:證明:取Lyapunov函數;

當且僅當時，有;

;取，由定義1和引理3知系統是魯棒穩定且嚴格無源的.;利用引理1，(4)式可以寫成如下代數Riccati不等式

(5)

下面我們引進如下不含不確定參數的時變時滯廣義系統

;

這里(6)

定理2:若存在，使得系統是魯棒穩定且嚴格無源的，則系統是魯棒穩定且嚴格無源的。證明:由定理1，系統是魯棒穩定且嚴格無源的，當且僅當存在矩陣P，Q>0，且，使得代數Riccati不等式:

(7)

成立，把(6)代入(7)，得到

(8)

對于任意和任意F，:由引理2，;因此，由(8)式得到

， (9)

故對任意的F，，由上可知系統是嚴格無源的。

4 結語

本文討論了具有時變時滯的不確定廣義系統的無源控制問題。通過不含不確定參數的時變時滯廣義系統的無源性得到了含不確定參數的時變時滯廣義系統的無源性，并以線性矩陣不等式的形式給出。