授之以“魚”不如授之以“漁”

要：最值問題一直是高中數學中常見的題型，其解法更是五花八門，在學習了均值不等式后，對最值問題又多了一把解答的工具，本文將介紹幾種解題方法。

關鍵詞：均值不等式最值

利用均值不等式求解部分最值，必須具備三個條件——即一正（各項的值均為正）、二定（各項的和或積為定值）、三相等（取等號的條件）。但有時題設并未給出和或積為定值的條件，這時湊出定值使等號成立成為解題的關鍵，下面舉例介紹一些技巧，以使部分最值問題的求解得到簡化。

一、裂項均分系數

主要適用于形如 的和的形式，通過拆項，比如 ，若相應項的平方和或積為定值（滿足已知條件），并且可以同時取到等號，即可解。

例1．數 的最小值。

分析：

（當且僅當 時取等號），所以，當 時，

二、配湊常數升冪

主要適用于行如 的形式，通過系數的配湊使 ，若 之和為定植（或滿足已知條件）可用均值不等式求解最值。

例2．已知 且 ，求

的最大值。

分析：由于

升冪，即

從而

即 等號成立。

所以，當 時， 的最大值為 。

三、配湊常數降冪

例3．若 求 的最小值

分析：當 時，由 知，當且僅當 時等號成立。

要使 ，則項 只有加 ，即

在 時，其等號成立的條件恰是 同理， 應加上

解：

[1]

[2]

[1]+[2]得

即

即

當 時， 的最小值為

四、配項降冪

在使用均值不等式求解部分最值時，巧妙地添式配項，可以把問題轉化，使最值問題易于求解。

例4．已知： 為正實數，且，求證 的最小值為

分析：由 是關于 三項的乘積形式，則 又 所以 （*）

其等號成立的條件是 ，另一方面，所證明的結論中出現三次冪，要使之與（*）式靠攏，常對其進行將降冪，使其變為一次冪，又由 知 ，所以變形為 （**） 但變形的式子仍有二次冪，故進行第二次降冪，則對（**）中的 配上項 ，使 ，取等號的條件與（*）中等號成立的條件相同，均是 。

證明：

[1][2]

[3]

[1]+[2]+[3]得

即

當且僅當 時取等號

所以當 時， 最小值為

五、兩邊平方升冪

例5．求函數 的最大值

分析：由于 對其并不好運用平均不等式，不滿足和定的條件，故須對原式變形，使之滿足和定的條件，因為 ， ，

所以， ，故，則可求 的最大值，其求解過程恰可以用和定的條件。

解

當且僅當即 時取等號

從以上例子，可以看出用均值不等式求解最值時，要注意“一正、二定、三相等”這三個條件，且這三個條件缺一不可。若忽視任一條件，則會對解題造成錯誤。而且對有些題目，為了滿足“一正、二定、三相等”，須要先對原式變形，湊出和或積為定值，才方便用均值不等式解決最值問題。總之，只有熟練掌握這幾種方法，并對不同的題目靈活地選用適當的方法，則對求解最值問題將大有裨益。

格言寄語：

痛苦最好是別人的，快樂才是自己的；麻煩將是暫時的，朋友總是永恒的；愛情是用心經營的，世界上沒有什么大不了的。

每當我遇到困難，我便對自己重復那句名言：有利的情況和主動的恢復，產生于再堅持一下之中。朋友，困難只是一級臺階，登上之后你的天空將更美麗。