數學能力培養縱橫談

摘要

《數學能力培養縱橫談》是一組連載一年的文章，分別論述中學數學觀察、記憶、想象、思維、運算、論證、運用、猜想、探索、創造、自學、審美能力的培養。具體標題如下：

中學數學觀察能力的培養：觀察數字，尋找突破；觀察外型，聯想知識；觀察結構，確定解法；觀察整體，全面審視；觀察局部，各個擊破；觀察結論，聯系條件；觀察全體，挖掘隱含；觀察圖形，巧解妙證；觀察特值，探索解法；觀察規律，尋找思路。

中學數學記憶能力的培養：明確目標，存心記憶；掌握知識，理解記憶；積累經驗，概括記憶；培養興趣，積極記憶；分類歸納，系統記憶；分析矛盾，對立記憶；尋找異同，對比記憶；利用圖形，形象記憶；編擬歌訣，趣味記憶。

中學數學想象能力的培養：打好基礎，展開想象；逐級訓練，發展想象；運用“默解”，訓練想象；描繪圖形，培養想象；揭示聯系，深化想象；數形結合，幫助想象；利用變式，全面想象；簡縮思維，靈活想象；利用趣題，豐富想象。

中學數學思維能力的培養：方向明確，合理思維；隨機應變，靈活思維；一題多解，廣闊思維；一題多變，深刻思維；多方思考，逆向思維；獨辟蹊徑，巧妙思維；分析概括，簡縮思維；疑而不惑，批判思維。

中學數學運算能力的培養：熟記數據，有利運算；掌握知識，正確運算；熟練技能，迅速運算；全面審視，合理運算；設而不求，巧妙運算；利用圖形，簡化運算；分組求值，整體運算；謹慎推理，嚴密運算。

中學數學論證能力的培養：看清題意，明確論證；格式規范，合理論證；掌握方法，靈活論證；積累經驗，巧妙論證；大膽猜測，嚴謹論證。

中學數學運用能力的培養：培養實際運用能力；培養綜合運用能力；培養靈活運用能力。

中學數學猜想能力的培養：通過觀察，提出猜想；通過實驗，提出猜想；通過歸納，提出猜想；通過類比，提出猜想；通過一般化與特殊化，提出猜想；通過局部分析，提出猜想；通過幾何直觀，提出猜想；通過物理現象，提出猜想。

中學數學探索能力的培養：深入觀察，大膽探索；通過類比，嘗試探索；利用變式，全面探索；演變圖形，直觀探索；善于歸納，深入探索；精辟分析，合理探索。

中學數學創造能力的培養：觀察想象，引發創造；利用猜想，思索創造；發散思維，促進創造；抽象概括，幫助創造；靈感思維，突發創造；化歸意識，激發創造；善于構造，巧妙創造；懷疑精神，孕育創造。

中學數學自學能力的培養：明確目標，制定計劃；精選用書，認真閱讀；講究方法，提高效率；做好筆記，鞏固效果。

中學數學審美能力的培養：數學之美，美在對稱、和諧；數學之美，美在簡單、明快；數學之美，美在雅致、統一；數學之美，美在奇異、突變。

回顧

我從教27年，從一名普通的數學教師，成長為一名骨干教師、優秀教師、特級教師，成為教研室主任、校長助理、副校長、校長、副局長。我的成長之路，更多的得益于解題研究；我的解題研究，更多的得益于《中學生數理化》。

回首來路，滿懷感激。因為，我的成長之路，一路上有你——《中學生數理化》。

《中學生數理化》，壯我上講臺。

告別大學后來到中學任數學教師，我成了80年代教育園地里的一名新園丁。盡管在大學里學了不少數學知識，但初上中學講臺的我，數學課卻不知從何講起。45分鐘的課，有時20來分鐘就講完了，有時只講到該講的一半。我曾懷疑自己不是當老師的料子，并常常為此苦惱。

一個偶然的機會，我在學校圖書館里發現了《中學生數理化》，上面有許多數學知識梳理的文章，有許多解題方法和解題技巧的文章，還有一些趣味數學問題，這些文章使我增長了知識，開闊了視野，得到了啟迪。原來一個簡單的知識，就有那么多的運用；一個普通的問題，就有那么多的“一題多解”、“一題多變”和“一題多用”。從此，我就自己訂閱《中學生數理化》，每期一到，就愛不釋手，就篇篇細讀，直至把書讀紅——其實就是用紅色筆在雜志上劃呀寫呀算呀。就這樣，我的數學教學水平，與我的閱讀成正比，閱讀的越多，提高的越快。

《中學生數理化》象片片綠葉，時時陪伴著我；如智慧的瓊漿，壯我走上點燃理想和希望的講臺。

《中學生數理化》，助我當新秀。

數學教學水平的提高，使我對一些數學問題進行初步的研究。初始的研究，層次非常淺。1984年，我嘗試給《中學生數理化妒‘數學作業講評”欄目投稿，我至少投了5篇，終于在1985年第一期發表了我對學生一道錯題的講評。要知道，作為一名才上崗不久的新教師，能在雜志上有東西，自己的名字能變成鉛字，那是多么高興的事!那時幾元錢的稿費，能讓我買上幾本好書。

緊接著，我又對另一道錯題進行講評。后來覺得還可以再提高一點“層次”，我就嘗試著寫文章。功夫不負有心人，終于我的《補臺成錐解題》發表了，我的《數學解題辨證觀》又發表了。連續幾篇文章的發表，使我增強了信心，也覺得可以在數學解題方面進行更深入的研究和探索。

在《中學生數理化》編輯部趙良河、劉慶瑋等編輯的鼓勵下，我又發表了5、6篇文章，我開始受到數學教育界的注意。

在一次與編輯通信時，我談到了想寫一些關于學生數學能力培養方面的稿件，編輯部一聽到我的想法，立刻來信建議我一口氣寫它12篇，連載一年。那時投稿發表文章不是很容易的事，而《中學生數理化》讓我寫12篇，是對我的最大信任，我必須很好地完成任務。于是，我不敢懈怠，抓緊時間寫。1991年，我的“數學能力培養”系列文章，分觀察、記憶、想象、思維、運算、論證、運用、猜想、探索、創造、自學、審美能力的培養，以“能力培養縱橫談”開欄，連載一年。

一時間，我在福建龍巖山區出名了，我在福建省出名了，我在全國一定范圍內出名了。當地的學校紛紛請我到他們學校給師生講數學能力培養，外地學校也紛紛通過關系找到校長，要校長讓我去他們那里講，新學年分班時，許多家長都要求把孩子放在我班。

我成教壇新秀了。1994年，福建省破格評選特級教師，我是第一個破格評上的。

《中學生數理化》，促我成名師。

后來，我又陸續在《中學生數理化》上發表了文章。一統計，竟然有36篇。

《中學生數理化》在全國發行量很大，除了學生、老師訂閱，數學教育界許多專家、學者也訂閱，連出版社、其他雜志社的數學編輯也訂閱。

幾家出版社的編輯看了我寫的文章，就來函約我在連載的基礎上，進行擴充，寫成書出版。能出書啦，更是令人激動的事!我利用一切業余時間，埋頭寫書。先寫了《中學數學學習法》，西北工業大學出版社出版；又寫了《中學數學解題百技巧》，福建少年兒童出版社出版；再寫了《你能學好高中數學》，人民日報出版社出版。第一本書獲得中國學習科學學會優秀著作一等獎。

后來，出版社的編輯說，不能只寫解題的，要擴大到教育教學領域。于是，我寫了《數學學習指導與教學藝術》，人民教育出版社出版。應教育部之約，我的《任勇與數學學習指導》列入‘‘教育家成長叢書”，由北京師范大學出版社出版。

1994年，我評上特級教師；1995年，我評上福建省優秀專家；1998年，我享受國務院特殊津貼；1 998年，我獲得“蘇步青數學教育獎”一等獎。

如果說，我有一點成功，那是一路上有你——《中學生數理化》。

如今，我雖然擔任教育局副局長，但我仍然每期翻看《中學生數理化》。一是我想保持對數學解題的敏感；二是我想從中了解課程改革的走向；三是我還要利用業余時間研究數學、寫些數學文章，不讀書怎行?

“刊”指一條路，燭照萬里程。

數學教育路漫漫，吾將上下而求索。

凝思

數學能力是順利完成數學活動所必備且直接影響其活動效率的一種個性心理特征，它是在數學活動過程中形成和發展起來的，并主要在這類活動中表現出來的比較穩定的心理特征。發展數學能力，是數學學習目標的一個重要組成部分。中學數學學習，既要系統掌握知識，又要注意能力培養，而且對能力的要求日益顯得重要。如何提高數學能力，已成為提高中學數學學習質量的當務之急。

事實上，長期以來，世界各國的教育學、心理學專家和數學家們，一直關注并致力于能力培養的研究——給能力下定義、探究能力的結構。

早在1908年法國數學家彭加勒就發表了數學創造力和本質的見解，他提出了數學創造力的“無意識側面”，并認為“這是靈感的經常性源泉。”“數學家們有一種特殊的、與眾不同的審美感(審美本能)。”

1918年，著名科學家羅杰斯提出兩種數學能力：再現能力與創造能力。

瑞典心理學家魏德林給一般人所說的掌握、再現以及獨立運用數學信息的那種“學校式”能力下了定義：“數學能力是理解數學的(以及類似的)問題、符號、方法和證明的本質的能力；是學會它們，在記憶中保持和再現它們的能力；是把它們同其它問題、符號、方法和證明結合起來的能力；也是在解數學的(或類似的)問題時運用它們的能力。”魏德林認為數學推理能力是構成數學能力的基礎。

前蘇聯心理學家克魯捷茨基關于數學能力的研究成果《中小學數學能力心理學》在國際上影響很大，他認為應從兩個方面來看數學能力的概念：

一是看作創造性(科學的)能力——科學的數學活動方面的能力，這種能力能產生對人類有意義的新成果和新成就，對社會作出有價值的貢獻。

二是看作一般學習能力——學習(學會、掌握)數學的能力，迅速而順利地掌握適當的知識和技能的能力。

還有不少數學家對數學能力提出了自己的見解。

我國學者對數學能力的研究逐步深化，但總體說來對數學能力的研究時間不長，研究還不夠深入，研究的方法和手段有的不完全或不科學。多數數學教師，感到結合數學教學培養能力有相當的困難。對于能力結構的討論中，所列舉的應培養的各種能力越來越多，有無限增加的趨勢。多數學者認為，數學教學毫無疑問應著重培養數學的三大能力(運算能力、空間想象能力及邏輯思維能力，邏輯思維能力是核心)以及獲得數學知識和運用數學知識的能力。與此同時，一般能力(如觀察能力，自學能力，操作能力等)的培養，當然也應與其他學科同步進行，以期使學生有堅實的基礎并有創造性。

《普通高中數學課程標準(實驗)》提出了五個基本數學能力：計算能力、邏輯推理能力、空間想象能力、抽象概括能力、數據處理能力。與以往的《數學教學大綱》相比，增加了抽象概括能力和數據處理能力，為何增加這兩大基本能力呢?

是否可以這樣說，增加抽象概括能力和數據處理能力反映了對數學課程認識上的變化。我們知道，數學既是演繹的科學，又是歸納的科學。“演繹推理”和“歸納推理”是認識數學的兩個基本方面，從一般到特殊，從具體到抽象，都是重要的。但在實際教學中，常常忽視后者。抽象概括和數據處理都是一種歸納思維。因此，增加抽象概括和數據處理能力反映了數學課程從單純的演繹到強調歸納演繹并重。

從三大能力變為五大能力，還有許多問題需要深入研究。

從以上分析可以看出，我所寫的“數學能力培養”系列文章，僅僅是以高中生為對象，談了些具體的做法，這種“培養”更多的是基于學生的“自我培養”。

展望

關于“能力”的研究，還有許多工作要做。比如，關于能力的內涵，關于能力的外延等；又如，技能與能力的關系，智能與能力的關系，知識與能力的關系，等等。

關于“數學能力”的研究，也還有許多工作要做。比如有關文獻關于數學能力的內涵與外延的認識之“綜述”，中學數學能力研究現狀之“分析”等；又如，我們前面提到的“從三大能力到五大能力”中，新增的兩大能力“抽象概括能力和數據處理能力”的研究，的的確確需要深入研究。

說到數學能力，張奠宙教授主編的《數學教育研究導引》一書中的“課題推薦”，就有“數學能力的性別差異”，我們研究得怎樣?

課改背景下，數學科的考試，按照“考查基礎知識的同時，注重考查能力”的原則，確立以能力立意命題的指導思想，將知識、能力與素養考查融為一體，全面檢測考生的數學素養。怎樣考查“數學能力”?說起來容易，做起來真難!

高考數學考試大綱，對“能力要求”是這樣說的：能力是指思維能力、運算能力、空問想象能力以及實踐能力和創新意識。這與課改要求‘‘五大能力”是有差異的，怎樣看待?

我們知道，思維能力是數學能力的核心，高中數學課標課程就明確提出“注重提高學生的數學思維能力”。有人說，培養和發展學生的數學思維能力是發展智力、培養能力的主要途徑。有沒有實驗來證明這一“假說”?有人說，數學思維能力有助于提高學生的生活質量和工作能力。能有更多的實例嗎?

我們還知道，創新能力近年來成為熱門話題。“民族要進步，國家要強大，企業要騰飛，個人要發展，關鍵在于創新。”數學創新意識、創新能力的研究也成為熱點。數學創新能力與數學創造性思維有著密切的聯系。這方面的研究似可“小題大作”，即選擇幾個“微觀課題”進行深入研究，期許得出更多有用有益的結論。比如，有人提出創新性思維具有新穎性、靈活性、精致性、流暢性、敏捷性、真理性和價值性等特征，你能就其中的一個“性”展開深入的探討和研究嗎?