“重疊問題”教學(xué)紀(jì)實(shí)與反思

教學(xué)內(nèi)容：人教版小學(xué)數(shù)學(xué)3年級下冊第9單元“數(shù)學(xué)廣角——重疊問題”。

教材分析：本冊教材和前幾冊教材編排的知識板塊基本一樣，教材除了在有關(guān)單元滲透相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想方法以外，還專門安排了“數(shù)學(xué)廣角”這一單元來介紹一些數(shù)學(xué)思想方法，讓學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用這些數(shù)學(xué)思想方法解決一些簡單的實(shí)際問題。本課主要是結(jié)合生活實(shí)際，引導(dǎo)學(xué)生初步體會(huì)集合的思想方法。本節(jié)內(nèi)容首先通過統(tǒng)計(jì)表的方式列出參加語文小組和數(shù)學(xué)小組的學(xué)生名單，通過統(tǒng)計(jì)表可以看出：參加語文小組的有8人，參加數(shù)學(xué)小組的有9人。但實(shí)際上參加這兩個(gè)課外小組的總?cè)藬?shù)卻不是17人，引起學(xué)生的認(rèn)知沖突。這時(shí)，教材利用直觀圖把這兩個(gè)課外小組的關(guān)系直觀地表示出來。從圖上可以很清楚地看出，有3名同學(xué)同時(shí)屬于這兩個(gè)小組，所以計(jì)算總?cè)藬?shù)時(shí)只能計(jì)算一次，從而引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)利用集合圖來解決這個(gè)問題，在此基礎(chǔ)上，掌握解決此類問題的計(jì)算方法及含義。

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》明確指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)要緊密聯(lián)系學(xué)生的生活實(shí)際，從學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)和已有的知識出發(fā)，創(chuàng)設(shè)生動(dòng)有趣的情境，讓學(xué)生在生動(dòng)具體的情境中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。”根據(jù)這一理念，結(jié)合本節(jié)課教學(xué)內(nèi)容，我大膽地對教材進(jìn)行重組，以學(xué)生熟悉的體育活動(dòng)為情境貫穿教學(xué)始終。讓學(xué)生在自主探究——體驗(yàn)交流——形成方法的過程中構(gòu)建模型，引導(dǎo)學(xué)生有效地參與學(xué)習(xí)。

學(xué)情分析：

集合是比較系統(tǒng)、抽象的數(shù)學(xué)思想方法，是數(shù)學(xué)中最基本的思想。從學(xué)生一開始學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，其實(shí)就已經(jīng)在運(yùn)用集合思想方法了，所以對集合有一定的生活經(jīng)驗(yàn)和知識基礎(chǔ)。例如在數(shù)數(shù)時(shí)，把1個(gè)人、2朵花、3枝鉛筆用一條封閉的曲線圈起來表示，這樣表示出的數(shù)學(xué)概念更直觀、形象。而以后學(xué)習(xí)的平面圖形之間的關(guān)系都要用到集合的思想，如：把若干圖形分類，需要一定的標(biāo)準(zhǔn)，這種分類思想就是集合理論的基礎(chǔ)，集合的重要性由此可見一斑。但這些都只是單獨(dú)的一個(gè)集合圈。本節(jié)課教材例1借助學(xué)生熟悉的題材，滲透了集合的有關(guān)思想，并利用直觀圖的方式求出兩個(gè)小組的總?cè)藬?shù)。教學(xué)要使學(xué)生理解用直觀圖（集合圈）表示“重疊現(xiàn)象”的方法，了解到直觀圖各部分的意義，特別是重疊部分（交集）的意義，掌握根據(jù)直觀圖列式計(jì)算總數(shù)（兩個(gè)集合的并集）的方法。對于3年級學(xué)生來說，學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容，思維力度較強(qiáng)，有一定的挑戰(zhàn)性。

教學(xué)目標(biāo)：

1.通過使學(xué)生借助直觀圖，利用集合的思想方法解決簡單的實(shí)際問題，并能運(yùn)用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行描述。

2.通過活動(dòng)，豐富學(xué)生對直觀圖的認(rèn)識，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力、思考能力、創(chuàng)新能力、評價(jià)說理能力。

3.通過使學(xué)生在主動(dòng)參與數(shù)學(xué)活動(dòng)過程中體驗(yàn)身邊數(shù)學(xué)的價(jià)值，獲得成功的體驗(yàn)，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

教學(xué)重、難點(diǎn)：使學(xué)生初步體會(huì)集合的有關(guān)思想方法并能用之來解決實(shí)際問題。

教學(xué)過程：

一、創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)興趣

1.情境創(chuàng)設(shè)。

師：我們在學(xué)習(xí)新知識之前，你們愿意幫助老師解決一個(gè)有趣的問題嗎？（愿意。）有兩個(gè)兒子和兩個(gè)爸爸一同去看電影，可是只買了3張票，猜一猜他們能順利地進(jìn)入劇場嗎？（能。）說說你是怎么想的？

生：免票或兩個(gè)兒子半價(jià)票。

師：可以這樣想，有這種可能性，但是今天的這兩對父子買的都是同樣價(jià)錢的票，怎么回事呢？

生：重復(fù)了，有一個(gè)人既是兒子的父親，又是爺爺?shù)膬鹤印?/p>

2.揭示課題。

師：同學(xué)們真聰明。其實(shí)，生活中這樣的現(xiàn)象有很多，在數(shù)學(xué)上，我們把它叫做重疊問題。（板書課題。）

【意圖：這一環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)聯(lián)系現(xiàn)實(shí)生活中學(xué)生易于感興趣的情境引入課題，有效地喚起了學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)。學(xué)生對新概念的出現(xiàn)不會(huì)感到陌生，這既能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)新知識的興趣，又能為他們更好地理解新知識做好鋪墊。】

二、構(gòu)建新知，理解新知

1.現(xiàn)場調(diào)查，收集、整理信息。

師：同學(xué)們，今天我們來進(jìn)行一次小調(diào)查：調(diào)查一下，哪些同學(xué)喜歡跳繩，哪些同學(xué)喜歡游泳，怎么樣？（板書：喜歡跳繩、喜歡游泳。）

…………

師：按我們?nèi)嗤瑢W(xué)分成的4組來進(jìn)行，并且老師還為你們準(zhǔn)備了統(tǒng)計(jì)表，你們要從前往后依次填寫。由于老師并不知道同學(xué)們的名字，所以統(tǒng)計(jì)表上每一個(gè)序號就代表一名同學(xué)。你喜歡哪一項(xiàng)，就在這一格里畫上“√”；如果你都喜歡呢？就分別畫上“√”，并且最后一桌同學(xué)要統(tǒng)計(jì)出來你們小組喜歡跳繩的有多少人，喜歡游泳的有多少人，明白嗎？但是我們在調(diào)查之前，老師有一個(gè)小小的要求：每名同學(xué)至少要選擇其中的一項(xiàng)，好嗎？我們比一比，哪組同學(xué)進(jìn)行得迅速而且無聲，調(diào)查現(xiàn)在開始。

【意圖：對教材整體結(jié)構(gòu)很清晰，在教材處理上，沒有利用原有例題，而是重組教材。選擇更貼近學(xué)生實(shí)際生活的題材——現(xiàn)場調(diào)查學(xué)生喜歡跳繩、游泳的情況。這樣處理使學(xué)生置身于熟悉的生活情境中，多種感官被調(diào)動(dòng)起來，感受到數(shù)學(xué)問題來源于自己的身邊。學(xué)生的姓名，用數(shù)字代替，向?qū)W生滲透了符號化思想，也為日后進(jìn)一步優(yōu)化韋恩圖（直接用數(shù)字表示）起了重要的“橋梁”作用。同時(shí)還培養(yǎng)了學(xué)生收集信息整理信息的能力。】

2.引導(dǎo)學(xué)生利用直觀圖來理解“重復(fù)”。

師：調(diào)查現(xiàn)在結(jié)束了。（收回統(tǒng)計(jì)表。）我們先來看看第一小組同學(xué)的調(diào)查情況。為了方便同學(xué)們研究，誰來看著統(tǒng)計(jì)表，指揮說序號，老師對應(yīng)著將數(shù)字卡片貼到黑板上。都有哪些同學(xué)是喜歡跳繩的？喜歡游泳的同學(xué)都有誰？（貼數(shù)字卡片。）

師：這些是喜歡跳繩的。（白色粉筆圈起來。）站起來，讓我們看看都有誰。數(shù)一數(shù)有多少人？（8人。）這些是喜歡游泳的。（紅色粉筆圈起來。）站起來，也和我們見見面？數(shù)一數(shù)有多少人？（6人。）

生：發(fā)現(xiàn)有人站起來兩次，貼了兩張卡片。

師：你真善于觀察。誰站起來兩次？向我們揮揮手。怎么回事：他們?yōu)槭裁凑酒饋韮纱危?/p>

生：既喜歡跳繩又喜歡游泳。

師：喜歡跳繩的和喜歡游泳的一共有多少人呢？

生：14人。

師：好，請這幾名同學(xué)起立，數(shù)一數(shù)。（12人。）咦，奇怪了，實(shí)際站起來的人數(shù)怎么和同學(xué)們數(shù)的結(jié)果不一樣啊？

生：有人貼了兩張卡片或有人站起來兩次。

師：他們?yōu)槭裁凑酒饋韮纱危繛槭裁促N了兩張卡片？

生：我們既喜歡跳繩又喜歡游泳。

師：他用到了一組關(guān)聯(lián)詞向大家解釋了原因。（板書：既……又……）說得真清楚。因?yàn)樗麄兗认矚g跳繩，又喜歡游泳。我們把喜歡跳繩的他們往中間移一移，把喜歡游泳的他們也往中間靠一靠。咦？靠到一起了，現(xiàn)在你們能不能想想辦法，將老師之前畫上的這兩個(gè)圓圈調(diào)整一下，讓我們更清楚地看清哪些同學(xué)是喜歡跳繩的，哪些同學(xué)是喜歡游泳的，哪些同學(xué)是既喜歡跳繩，又喜歡游泳？前后桌的同學(xué)可以研究一下，動(dòng)筆畫一畫。

（生展示。）

師：能說說你是怎么想的嗎？你們同意他的做法嗎？那我就尊重你們的選擇，我把它畫到黑板上。

【意圖：通過貼放學(xué)生的序號卡片，教師及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生歸納、小結(jié)，這既能讓學(xué)生體會(huì)出集合圖本身各部分之間所存在的關(guān)系，又能讓他們直觀地感知各個(gè)數(shù)據(jù)與集合圖之間的關(guān)系。引導(dǎo)學(xué)生畫圖，給孩子們創(chuàng)設(shè)一種自主探究的學(xué)習(xí)氛圍，讓學(xué)生在探究中發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題。經(jīng)歷用韋恩圖表示重疊的意義進(jìn)一步加深對集合思想的理解。】

3.認(rèn)識集合圖、明確各部分的意義。

師：請看圖說一說各部分表示什么意思？既喜歡跳繩，又喜歡游泳的有幾人呢？怎樣擺會(huì)讓我們一眼就可以看出有多少人？

生：雖然是兩張卡片，但是序號相同，表示的卻是一個(gè)人。

師：同學(xué)們真了不起，知道你們創(chuàng)造的這個(gè)圖和誰想到了一起嗎？

生：韋恩。

師：你知道的可真多，真是個(gè)愛學(xué)習(xí)的好孩子！是的，和英國的大數(shù)學(xué)家韋恩想到了一起，他早在1881年率先創(chuàng)造了這個(gè)圖，后來世人為了紀(jì)念他，就以他的名字命名這個(gè)圖，叫韋恩圖。看來，發(fā)明和創(chuàng)造并不難，只要肯動(dòng)腦筋，一切皆有可能，掌聲送給自己。

師：數(shù)學(xué)家愛思考，我們也不能停下思考的腳步。指出圖中各部分的意義，并說出有多少人參加各項(xiàng)活動(dòng)。喜歡跳繩和只喜歡跳繩只有一字之差，它們有什么區(qū)別嗎？

【意圖：充分考慮學(xué)生已有的知識基礎(chǔ)和學(xué)生的心理特點(diǎn)，讓學(xué)生表述“韋恩圖”各部分之間的關(guān)系，給了學(xué)生一個(gè)完整的認(rèn)知，通過讓學(xué)生仔細(xì)觀察，交流感知，嘗試畫圖，明確集合圖的作用，各部分表示的意義，從而突破本課的重難點(diǎn)。同時(shí)還滲透了數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)文化。】

4.列式計(jì)算。

師：現(xiàn)在老師將這些卡片拿掉，你能根據(jù)我們已經(jīng)找到的數(shù)學(xué)信息，用列式計(jì)算的方法求出喜歡跳繩和喜歡游泳的有多少人嗎？自己寫一寫。（生：匯報(bào)。）

（1）用喜歡跳繩的人數(shù)加上喜歡游泳的人數(shù)再減去重復(fù)計(jì)算的人數(shù)就是我們要求的總?cè)藬?shù)。

（2）只喜歡跳繩的人數(shù)加上既喜歡跳繩又喜歡游泳的人數(shù)再加上只喜歡游泳的人數(shù)也是我們要求的總?cè)藬?shù)。

（3）只喜歡跳繩的人數(shù)加上喜歡游泳的人數(shù)也是我們要求的總?cè)藬?shù)。

（4）只喜歡游泳的人數(shù)加上喜歡跳繩的人數(shù)也是我們要求的總?cè)藬?shù)。

師：大家同意嗎？

…………

師：同學(xué)們的思維真靈活，一道題就能用這么多種方法解決，真棒。

師：同學(xué)們，現(xiàn)在我們知道了，喜歡跳繩的和喜歡游泳的有14人，看圖，你能求出既喜歡跳繩又喜歡游泳的有幾人嗎？喜歡游泳的又有多少人呢？

師：對重疊問題同學(xué)們掌握得比較好，看來學(xué)習(xí)韋恩圖對于我們解決這類重疊問題很有幫助啊！

三、練習(xí)鞏固，擴(kuò)展提升

師：同學(xué)們，這幅圖是我們大家一起探討出來的，下面我就給你們一個(gè)機(jī)會(huì)。（展臺(tái)：展示另一組數(shù)據(jù)信息。）能不能用韋恩圖表示這組數(shù)據(jù)呢？自己畫一畫，畫好后同桌交流一下。

（生匯報(bào)展示。）

師：能說說你的想法嗎？你們和他做的一樣嗎？

師：同學(xué)們，今天我們學(xué)習(xí)了——重疊問題，并找到了解決這類問題的方法——畫韋恩圖。那你們能借助圖解決幾個(gè)實(shí)際問題嗎？請看第一題。

第一題：兩塊木板分別長20厘米、25厘米，如圖拼成一塊長30厘米的木板，中間重疊部分長多少厘米？

第二題：3年1班一共有30人，其中喜歡吃桔子的有15人，有5人既喜歡吃桔子又喜歡吃蘋果（每人至少喜歡吃一種），問喜歡吃蘋果的有多少人？

【意圖：本著“由淺入深、循序漸進(jìn)、既注重基本知識，又重視新知識的應(yīng)用”的原則，培養(yǎng)了基本數(shù)學(xué)思想，形成基本經(jīng)驗(yàn)，體會(huì)數(shù)學(xué)知識應(yīng)用與生活的價(jià)值。】

四、拓展延伸

師：同學(xué)們，通過我們共同的努力，不僅認(rèn)識了韋恩圖，還學(xué)會(huì)了借助韋恩圖來解決生活中的一些實(shí)際問題，其實(shí)，生活中也有很多重疊的現(xiàn)象。比如：在排隊(duì)的時(shí)候，從前數(shù)有多少人，從后數(shù)有多少人？就是重疊問題。

師：（課件演示。）以后學(xué)習(xí)面積的時(shí)候也會(huì)遇到重疊問題。生活中的許多現(xiàn)象都是重疊形成的：這是光的三原色，光譜研究中，不同顏色的光重疊在一起會(huì)產(chǎn)生奇妙的現(xiàn)象。這就是利用色彩的重疊設(shè)計(jì)的海報(bào)，見過這個(gè)嗎？這就是著名的千手觀音，人與人的身體重疊在一起，通過手臂的不同角度，給人一種美的享受。

五、總結(jié)

師：同學(xué)們，數(shù)學(xué)來源于生活，生活中處處有數(shù)學(xué)，喜歡數(shù)學(xué)嗎？大聲讀出來“我愛數(shù)學(xué)，我與數(shù)學(xué)共成長”。 雖然我們相處的時(shí)間很短，但在老師的心目中你們的未來是不可估量的，我相信，我們3年1班的同學(xué)們一定能在數(shù)學(xué)這塊廣闊的大地中展翅飛翔。

謝謝同學(xué)們，再見！

反思：

1.培養(yǎng)學(xué)生收集、整理信息的意識和能力。

集合的抽象性是在它最終形成結(jié)論才具有的，而在結(jié)論形成過程中，必然以大量的具體內(nèi)容為基礎(chǔ)。本著從實(shí)踐中來到實(shí)踐中去的原則，課堂上我們讓學(xué)生從生活實(shí)際中親身感知集合的思想，并使他們親身體驗(yàn)集合圖的產(chǎn)生過程，讓學(xué)生在過程中體驗(yàn)集合的思想，在過程中感悟重疊，并頓悟重疊問題的解決方法。讓學(xué)生經(jīng)歷問題解決的數(shù)學(xué)化過程，獲得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)體驗(yàn)。

2.培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性、嚴(yán)謹(jǐn)性是數(shù)學(xué)學(xué)科的基本特征之一。

數(shù)學(xué)的教學(xué)，最重要的不僅是數(shù)學(xué)知識的教學(xué)，而且是數(shù)學(xué)思維，數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)。數(shù)學(xué)思想貫穿整個(gè)數(shù)學(xué)體系的始終。所以，從小就給學(xué)生滲透一些數(shù)學(xué)思想是非常必要而且非常重要的。而其中重要的一環(huán)就是學(xué)生數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性的培養(yǎng)。嚴(yán)謹(jǐn)性是數(shù)學(xué)學(xué)科的基本特征之一。反思教學(xué)過程，我覺得我也很注重培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)嚴(yán)密性，如解讀韋恩圖的過程中，讓學(xué)生表述各個(gè)部分的意思。大圈是表示“喜歡跳繩”和“喜歡游泳”，而去掉了都參加的部分后是“只喜歡跳繩”，“只喜歡游泳”，多了一個(gè)字“只”，雖然只有一字之差，但是意思完全不一樣。還有“既喜歡跳繩，又喜歡游泳”讓學(xué)生明白這是同時(shí)都喜歡的，課堂上時(shí)時(shí)注重學(xué)生嚴(yán)密的思維。如果這里再多讓學(xué)生互相說一說就更好了。

3.教學(xué)中要注意克服學(xué)生的思維定式。

數(shù)學(xué)中的思維定勢對于形成學(xué)生的解題能力是有必要的，但思維定式也限制了學(xué)生思維創(chuàng)造性，這種情況往往在很大程度上限制了學(xué)生思維火花的閃現(xiàn)。所以，在課的練習(xí)設(shè)計(jì)上，設(shè)計(jì)了變式練習(xí)，鍛煉學(xué)生的思維。但是由于時(shí)間關(guān)系沒有更充分的開放拓展。

（作者單位：哈爾濱市民生路小學(xué)）

編輯/魏繼軍