高速滾珠絲杠副動態特性分析

摘 要：以赫茲接觸理論和溝道控制理論為基礎，同時考慮自身離心力以及陀螺力矩作用的影響，建立軸向載荷作用下的高速滾珠絲杠副動力學模型.采用數值分析方法計算不同運行工況對滾珠絲杠副力學特性的影響，得到了接觸角、彈性變形等的變化規律.分析結果表明，轉速和軸向載荷等工況對高速時滾珠絲杠副的動態特性影響較大，高速時滾珠絲桿副的動態特性較低速情況有著顯著的變化.

關鍵詞：滾珠絲杠；動態特性；接觸角

中圖分類號：TH132.1 文獻標識碼：A

Study of the Dynamic Characteristic of High-speed Ball Screw

MU Shi-gang，FENG Xian-ying

(School of Mechanical Engineering， Shandong Univ， Jinan， Shandong 250061， China)

Abstract: Following the hertz contact and raceway control theory of the ball screw and considering the centrifugal force and gyroscopic moment acting on the ball screw， the dynamic model of high-speed ball screw was set up with consideration of pretension. The effects of different working conditions， such as the running speed and the axial preload， on the mechanical properties of the ball screw were studied and solved through numerical analysis. The result has shown that these factors affect the dynamic characteristic of ball screw dramatically， and the dynamic characteristic of ball screw at high speed is greatly different from that of ball screw at low speed. Key words: ball screw; dynamic characteristic; contact angle



數控機床向高速、高精度化方向發展，對滾珠絲杠的傳動性能提出了更高的要求，需要滾珠絲杠副的動態特性越來越好［1-3］.然而，在高速工作狀態下，滾珠絲杠副不僅要承受軸向載荷，而且還會產生很大的離心力，其內部的動態載荷、動態變形等動力學狀態參數較低速的情況發生了顯著的變化，從而引起復雜的運動學和動力學變化，制約著運行過程中的動態穩定性.因此，分析高速時滾珠絲杠副的內部動力學狀態，研究影響滾珠絲桿副動態特性的因素，是確定最佳工況條件以及改善滾珠絲杠副高速時傳動性能的關鍵所在.

近年來很多學者運用Hertz接觸理論對滾珠絲杠副的動力學特性進行了研究，如Lin等［4］在靜力學的基礎上，建立了研究滾珠絲杠副動力學模型，分析了滾動體在運動時與絲杠和螺母接觸件間的滑滾比.Wei等［5］在Lin的基礎上進一步完善滾珠絲桿副動力學模型，分析了滾動體在運動時的傳動效率和滑滾比.許向榮等［6］推導了單螺母滾珠絲杠螺母副的軸向剛度計算公式，分析了其影響因素.這些文獻大多分析了傳動副低速情況下的力學特性，對高速情況下內部動力學狀態進行系統分析的文獻并不多見.本文借助角接觸球軸承成熟的分析技術［7-11］，同時考慮軸向負荷、自身離心力以及陀螺力矩的作用，建立了高速滾珠絲杠副動力學模型，應用數值方法求得高速時滾珠絲杠副鋼球動態變化規律.

1 滾珠絲杠副內部受力分析

1.1 坐標系建立

為研究滾珠絲杠副中滾動體j與絲杠和螺母間的接觸特性 (j=1，2，…，N，N為滾珠絲杠副內鋼球數量)，建立如圖1所示的直角坐標系.其中，oxyz是與滾珠絲桿相固連的動坐標系，z軸與絲杠軸線重合.τ，n，b為Frenet活動標架，用來描述鋼球球心的螺旋運動軌跡，o′uj是鋼球自轉軸線，βj是球自轉軸線o′uj與o′τb平面內1軸夾角［12］.



1.2 鋼球受力分析

如圖2所示，鋼球j在軸向載荷Fa的作用下，隨著絲杠轉速ω的增加，所受離心力Fc越來越大.隨著轉速的增加，鋼球向螺母側運動.鋼球j受軸向預緊力、離心力以及內外溝道法向力的共同作用，繞絲杠軸線公轉，其半徑為d0/2，角速度為ωmj.

Fcj=π12ρd3d0ω2ωmjω (1)

式中d為鋼球直徑，ρ為鋼球密度.

隨著絲杠轉速ω的提高，鋼球j公轉同時，繞o′uj自轉，角速度為ωbj.自轉軸線o′uj不斷改變方向，產生陀螺力矩作用于球上，鋼球產生陀螺運動，從而加劇球與內外滾道之間的滑動摩擦.離心力Fc沿螺母側接觸點法線方向和軌道切線方向被分解為FN和FP.在力FN作用下，鋼球擠壓螺母，致使螺母側接觸力增加，絲杠側接觸力減少；在力FP作用下，鋼球向上運動，如圖3所示.

高速時鋼球體所受陀螺力矩為：

Mgj=Jω2ωbjωωmjωsin βj (2)

βj=arctan sin αojγ+cos αoj (3)

式中J=π60ρd5為鋼球轉動慣量；γ=dd0為鋼球直徑與滾珠絲桿副公稱直徑比值.

2 接觸角計算

2.1 變形幾何相容方程

高速滾珠絲杠副中絲杠和螺母滾道曲率中心和滾動體中心之間的相對位置關系如圖 4 所示［13-15］.

當滾珠絲杠靜止或轉速不高時，絲杠和螺母滾道曲率中心連線OiO0和滾珠中心Ob共線，滾動體與兩滾道的接觸角相等；高速旋轉時，在離心力和陀螺力矩的作用下，鋼球中心由Ob點移動到O′b點，內滾道曲率中心從Oi點移動到O′i點，此時，螺母側接觸角從初值αo減為αo，絲杠側接觸角從初值α'增為αi.滾動體與內、外圈的接觸角為

sin αoj=X1fo－0.5d+δo (4)

sin αij=A1－X1fi－0.5d+δi (5)

根據變形幾何關系，第j個鋼球中心與內、外圈溝道曲率中心的位置變化關系式為：

(A1－X1)2+(A2－X2)2=

［(fi－0.5)D+δi］2(6)

X21+X22=［(fo-0.5)d+δo］2(7)

2.2 滾動體受力平衡方程

對于第j個鋼球，受離心力Fcj、陀螺力矩Mgj以及滾道兩側接觸力Qij和Qoj所組成的平衡力系，滿足以下關系式：

Qojsin αoj－Mgjdcos αoj－Qijsin αij+

Mgjdcos αij=0 (8)

Qojcos αoj－Mgjdsin αoj－Qijcos αij+

Mgjdsin αij－FCj=0 (9)

式中Qij=Kiδ3/2ij，Qoj=Koδ3/2oj.

2.3 滾珠絲杠受力平衡分析

滾珠絲杠的載荷、反作用力和載荷應該保持平衡，所以有：

Fx=∑zj=1Qijsin αij (10)

Fy=∑zj=1Qijcos αij (11)

My=∑zj=1QijRisin αij (12)

式中Fx為絲杠的軸向載荷，Fy為絲杠的徑向載荷，My為力矩載荷，z為滾動體數目.

3 計算結果分析

滾珠絲杠副各構件材料都為軸承鋼，在室溫條件下，其性能參數分別為：E1=E2=207 GPa，υ1=υ1=0.3.以普通滾珠絲杠副5010為例［16］，在螺母上施加預緊力分別為500 N，1 000 N和1 500 N.根據式(6)~（12），確定初始角位移θ及彈性變形量δa，可以求出這些未知量.求出的未知量代入式(4)，（5)，以分析軸向載荷對滾珠絲桿副動態特性的影響，研究在不同轉速下滾珠絲桿副動態特性的變化規律，其計算流程如圖5所示.

3.1 轉速對接觸角的影響

如圖6所示，在相同預緊力下，隨著轉速的提高，內接觸角變大，外接觸角變小.在相同轉速下，內接觸角隨軸向載荷的增加而減小；外接觸角隨預緊力的增加而增大.在接觸角隨轉速變化的過程中，軸向預緊力對其有抑制作用，且軸向載荷越大，抑制作用越明顯.

3.2 轉速對接觸變形的影響

由圖7可知，在相同預緊力下，轉速提高，鋼球與螺母側滾道的接觸變形增大，而鋼球與絲杠側滾道的接觸變形減小；相同轉速下，增大預緊力，則絲杠側和螺母側接觸點的接觸變形同時增大.滾珠絲桿副在高速轉動時產生接觸變形，將直接影響到滾珠絲杠副傳動的定位精度.

3.3 轉速對剛度的影響

滾珠絲桿轉速影響球滾動體離心力和陀螺力矩等慣性力的大小，從而引起軸向剛度的變化.圖8為不同軸向載荷下滾珠絲杠副軸向剛度隨轉速的變化情況.滾珠絲杠副的軸向剛度隨轉速的增大而減小，隨軸向載荷的增大而增大，且顯非線性變化；提高軸向載荷可使軸向剛度提高.

轉速/（r#8226;min-1)

4 結 論

本文建立了高速滾珠絲杠副動力學模型，利用數值分析方法計算分析了不同轉速和軸向力等工況對高速滾珠絲杠副動態特性的影響規律.受鋼球慣性力的影響，滾珠絲桿副在超高速時的動態特性較低速情況有明顯不同.在一定軸向載荷下，隨著轉速的增加，內接觸角增加而外接觸角減少，軸承剛度隨著轉速的增大急劇下降.研究結果對高速滾珠絲杠副的設計和理論計算都有很好的參考價值.

參考文獻

［1］ 夏軍勇，吳波，胡友民.多變化熱源下的滾珠絲杠熱動態特性［J］.中國機械工程，2008，19(8):955-958.

XIA Jun-yong，WU Bo，HU You-min.The thermal dynamic characteristic of ball-screw under the variational multi-thermal source［J］.China Mechanical Engineering，

2008，19(8):955-958.(In Chinese)

［2］ MIZUHO Ninomiya， YAZUO Miya-guehi.Recent technical trends in ball screws［J］.Motion Control，1998(4):1-12.

［3］ 張會端，譚慶昌，李慶華.機床傳動絲杠的動力分析［J］.農業機械學報，2009，40(9):220-226.

ZHANG Hui-duan，TAN Qing-chang，LI Qing-hua.Dynamic analysis of the machine drive screw［J］. Transactions of the Chinese Society for Agricultural Machinery， 2009， 40(9):220-226. (In Chinese)

［4］ LIN M C，RAVANI B.Kinematics of the ball screw mechanism［J］.ASME J Mech Des，1994，116: 849-855.

［5］ WEI Chin-chung， LIN Jen-fin， HOROG Jeng-haur.Analysis of a ball screw with a preload and lubrication［J］.Tribology International， 2009，42:1816-1831.

［6］ 許向榮，宋現春，姜洪奎，等.單螺母滾珠絲杠副軸向剛度的分析研究［J］.武漢理工大學學報，2009，24(12):54-57. 

XU Xiang-rong，SONG Xian-chun，JIANG Hong-kui，et al.Analysis study on the axial stiffness of single-nut ball screw pairs［J］.Journal of Wuhan University of Technology， 2009，24(12):54-57. (In Chinese)

［7］ 唐云冰，高德平，羅貴火.航空發動機高速滾珠軸承力學特性分析與研究［J］.航空動力學報，2006，21(2):354-360. 

TANG Yun-bing，GAO De-ping，LUO Gui-huo.Research of aero-engine high-speed ball bearing［J］.Journal of Aerospace Power，2006，21(2):354-360. (In Chinese)

［8］ JEDRZEJEWSKI J，KWASNY W. Modelling of angular contact ball bearings and axial displacements for high-speed spindles［J］.CIRP Annals-Manufacturing Technology，2010(3):1-6.

［9］ NENG Tung-liao，JEN Fin-lin.Ball bearing skidding under radial and axial loads［J］.Mechanism and Machine Theory，2002，37:91-113.

［10］趙春江，崔國華，王國強.軸向受載的高速角接觸球軸承接觸角域的精確確定［J］.農業機械學報，2008，39(12):153-154. 

ZHAO Chun-jiang，CUI Guo-hua，WANG Guo-qiang.Precise definition of contact angle field on high speed angular-contact ball bearing under axial load［J］.Transactions of the Chinese Society for Agricultural Machinery， 2008，39(12):153-154. (In Chinese)

［11］JANG Gunhee， JEONG Seong-weon.Vibration analysis of a rotating system due to the effect of ball bearing waviness［J］. Journal of Sound and Vibration，2004，269: 709-726.

［12］姜洪奎.大導程滾珠絲桿副動力學性能及加工方法研究［D］.濟南：山東大學機械工程學院，2007.

JIANG Hong-kui.Research on machining mechod and dynamic performance of steep-lead ball screw mechanism［D］. Jinan:School of Mechanical Engineering，Shandong University ，2007.

［13］王黎欽，崔立，鄭德志.航空發動機高速球軸承動態特性分析［J］.航空學報，2007，28 (6)：1461-1467.

WANG Li-qin，CUI Li，ZHENG De-zhi.Analysis on dynamic characteristics of aero-engine high-speed ball bearings［J］.Acta Aeronautica Et Astronautica Sinica， 2007，28(6)：1461-1467. (In Chinese)

［14］趙春江，葛世東，王建梅，等.基于矩陣表達的高速角接觸球軸承動態特性求解方法［J］.四川大學學報：工程科學版，2009，41(1)：197-201.

ZHAO Chun-jiang，GE Shi-dong，WANG Jian-mei，et al. A method of solving dynamic character of high-speed angular contact ball bearing in matrix form［J］. Journal of Sichuan University:Engineer Science Edition， 2009，41(1):197-201. (In Chinese)

［15］ALFARES Mohammed A， ELSHARKAWY Abdallah A. Effects of axial preloading of angular contact ball bearings on the dynamics of a grinding machine spindle system［J］. Journal of Materials Processing Technology， 2003，136：48-59.

［16］張左營.高速滾珠絲杠副動力學性能分析及其實驗研究［D］.濟南：山東大學機械工程學院，2008.

ZHANG Zuo-ying.Analysis and experiment study on dynamic performance of high-speed precision ball screw mechanism［D］. Jinan:School of Mechanical Engineering， Shandong University，2008.