云遮霧罩溪水潺 登高攀崖覓幽蘭

2011年高考福建數學理科卷對概率與統計知識和方法的考查進行了適度的創新，較好地體現了課標課程高考對數據處理能力考查的重視，本文擬從背景分析、試題再現及思考三個方面展開探究，希望藉此闡釋課標課程高考在數據處理能力考查方面的基本思路。

1、背景分析

隨著社會文明和科學技術的不斷進步，計算機的飛速發展和高度普及，我們將要面對越來越多的數據，如何從堆積成山的數據中根據實際需要整理、分析數據，從而獲得相應的結論或預測，是未來公民必備的基本技能，這種基本技能，就是數據處理能力。

高考十分注重對數據處理能力的考查，《普通高中數學課程標準(實驗)》和《2011年課程標準版數學科考試大綱》對數據處理能力的描述是：“會收集數據、整理數據、分析數據，能從大量數據中抽取對研究問題有用的信息，并作出判斷，數據處理能力主要依據統計或統計案例中的方法對數據進行整理、分析，并解決給定的實際問題。”

解讀以上內容，可以清楚地看到，數據處理能力主要體現在如下四個方面：

(1)收集數據

收集數據是數據處理能力的基礎，選擇好樣本，從而能反映總體的實際情況和基本性質，這是統計思想的基本運用。

(2)整理數據

整理數據是對得到的數據運用圖表歸納整理的過程，此時選擇適當的圖表是體現數據處理能力的一個關鍵，例如，若想了解數據的分布情況，可使用頻率分布表、頻率分布直方圖、莖葉圖等，若想了解數據的相關關系，可利用計算機畫出散點圖、折線圖等，此外，也可根據所得數據的特點作出更能實現目的的具有個性化的圖表等。

(3)分析數據

分析數據是為發現數據所蘊含的信息，對整理好的數據根據需要進行計算，得到一系列的數字特征，如頻數、頻率、期望、方差、眾數、中位數、回歸直線、卡方等，并體會這些數字特征的內涵。

(4)作出判斷

這是數據處理能力的最終目的，即根據前面所作的工作獲得的信息，或對總體作出估計，或對未來作出預測。

根據考試要求，高考主要依托統計的相關問題為載體考查數據處理能力，通常通過考查抽樣方法的方式考查收集數據能力，對于收集到的數據呈現給考生的方式有兩種，其一是原始數據直接給出，并要求考生按照規定或目標進行整理；其二是將己整理好的數據直接呈現給學生，不再考查整理數據的能力，至于分析數據和作出判斷，這是高中統計課程的基本任務，也是高考考查的重點內容，由于它們同時也可考查了考生的應用意識，因此成為高考試卷中的寵兒，幾乎每一份高考試卷都能看到它的身影。

2、試題再現

2011年高考福建卷延續了前兩年的特點，分別在選擇題和填空題考查了一道有關幾何概型和古典概型的試題，但與前兩年不同的是，在解答題中，今年的高考試卷以統計為載體，更著重考查考生的數據處理能力、運算求解能力和應用意識，

例(2011年高考福建卷·理19)某產品按行業生產標準分成8個等級，等級系數X依次為1，2，……，8，其中X≥5為標準A，X≥3為標準B，己知甲廠執行標準A生產該產品，產品的零售價為6元／件；乙廠執行標準B生產該產品，產品的零售價為4元／件，假定甲、乙兩廠得產品都符合相應的執行標準，

(I)己知甲廠產品的等級系數X₁的概率分布列如下所示：

且X₁的數字期望EX₁＝6，求a，b的值；

(Ⅱ)為分析乙廠產品的等級系數X₂，從該廠生產的產品中隨機抽取30件，相應的等級系數組成一個樣本，數據如下：

用這個樣本的頻率分布估計總體分布，將頻率視為概率，求等級系數X₂的數學期望；

(Ⅲ)在(Ⅰ)、(Ⅱ)的條件下，若以“性價比”為判斷標準，則哪個工廠的產品更具可購買性?說明理由。

注：(1)產品的“性價比”

＝產品的等級系數的數學期望/產品的零售價

(2)“性價比”大的產品更具可購買性。

試題分析 本題以具有現實性的問題情境作為背景，考查概率的計算和統計的知識。

第(Ⅰ)問考查概率分布的基本性質及期望的定義。

第(Ⅱ)問是本題的亮點，在這里，抽取了30件產品的等級系數作為樣本，并將原始數據直接給出，此時考生首先需對這組數據進行整理，由于沒有指定考生用何種形式，考生須先從其統計知識體系中尋找所需的圖表進行整理，當然本題預先也作了提示：“用這個樣本的頻率分布估計總體分布”，因而作出頻率分布表是最佳的選擇，與以往相比，這種考查方式顯然更具選拔功能。

第(Ⅲ)問是對前兩問所得結論的應用，眾所周知，統計最大的作用就是它的科學價值和應用價值，本題通過定義“性價比”，要求考生先明確何為“性價比”，再利用定義進行解題，考查了考生理解、掌握新知并運用新知解決實際問題的能力。

本題的創新之處在于：

(1)背景貼進生活實際

與以往的概率統計試題相比，本題的背景更具生活化和現實性，它以統計知識為主體，反映概率知識只是作為解決實際問題的一個輔助工具，體現了數學是從生活中抽象而來的事實。

(2)彰顯數據處理能力的重要性

給出一組數據并要求考生作出莖葉圖或畫出頻率分布表或頻率分布直方圖，是近幾年高考統計類試題常考的方式，本題對此作了更深一步的要求，要求考生根據問題的需要，對數據作必要的整理，而不指定用何種圖表，但最終的目標指向是求出各種等級的頻率，并將頻率作為概率解決問題，這種從深層次考查的數據處理能力同時還體現了考生的探究能力。

(3)應用“味道”濃厚

收集、整理和分析數據的最終目的是為了利用數據中隱含的信息得到某些推斷或作出預測，本題在求出兩組數據的期望后，又設置第(Ⅲ)問，將前兩問分析數據所得的結論用于判斷哪個產品可具可購買性，賦于了數據的實用價值，也就使數據具有了豐富的應用內涵。

3、思考

從近幾年的高考試題可以看出，概率與統計是課標高考卷考查的“常客”，它們的研究對象是數據，它們考查的目的是數據處理能力和應用意識，因此該類試題應選取具有時代性和現實性的問題作為背景，才能真正貼進生活，并解決實際問題。

所給的數據應簡捷明了、易于整理，高考由于紙筆考試的限制，沒有計算機或計算器作為輔助處理的工具，因而數據不可太復雜，計算量也應是恰當的。

從實際問題中得到的數據在分析后應用于解決實際問題，這是概率與統計學習的最終目的，因此，高考試題應充分體現這一應用價值，不可只局限于計算期望和方差，使學生誤認為考查統計就是考查代公式計算。

云遮霧罩溪水潺，登高攀崖覓幽蘭，現實世界中的數據何其繁雜，我們應當透過種種表象追尋其本質，充分利用統計學中的方法洞察這些數據所隱匿的信息，它是一個感知數據、認識數據、探索與發現規律的過程，具有豐富的科學價值和應用價值，具備的是未來公民必備的一種能力一一數據處理能力。