二次函數在中學階段的應用

　　二次函數是最簡單的非線性函數之一，而且有著豐富內涵。在初中階段，學生由于基礎薄弱，又受接受能力的限制，對這部分內容的學習多是機械的，很難從本質上加以理解。進入高中以后，學生還要對二次函數的基本概念和基本性質（圖像及單調性、奇偶性、有界性）進行深入學習。
　　一、進一步深入理解函數概念
　　初中階段已經講述了函數的定義，進入高中后在學習集合的基礎上，接著重新學習函數概念，主要是用映射觀點來闡明函數，這時就可以用學生已經有一定了解的函數，特別是二次函數為例來更深刻地認識函數的概念。二次函數是從一個數集A（定義域）到數集B上的對應f：A→B，使得集合B中的元素y=ax+bx+c（a≠0）與集合A的元素x對應，記為f（x）=ax+bx+c（a≠0）。這里ax+bx+c表示對應法則，又表示定義域中的元素x在集合B中的對應元素，從而使學生對函數的概念有一個較明確的認識，在學生掌握函數值的記號后，可以讓學生進一步處理如下問題：
　　題型I：已知f（x）=2x+x+2，求f（x+1）.
　　這里不能把f（x+1）理解為x=x+1時的函數值，只能理解為自變量為x+1的函數值。
　　題型Ⅱ：設f（x+1）=x-4x+1，求f（x）.
　　這個問題理解為，已知對應法則f下，定義域中的元素x+1在集合B中的對應元素為x-4x+1，求定義域中元素x的在集合B中的對應元素，其本質是求對應法則。
　　一般有兩種方法：
　　（1）把所給表達式表示成x+1的多項式。
　　f（x+1）=x-4x+1=（x+1）-6（x+1）+6，再用x代x+1得f（x）=x-6x+6.
　　（2）變量代換：它的適應性強，對一般函數都適用。
　　令t=x+1，則x=t-1，所以f（t）=（t-1）-4（t-1）+1=t-6t+6，從而f（x）=x-6x+6.
　　二、二次函數的單調性、最值與圖像
　　在高中階階段學習單調性時，必須讓學生對二次函數y=ax+bx+c（a≠0）在區間（-∞，-］及［-，+∞）上的單調性的結論用定義進行嚴格的論證，使它建立在嚴密理論的基礎上，與此同時，進一步充分利用函數圖像的直觀性，給學生配以適當的練習，使學生逐步自覺地利用圖像學習與二次函數有關的一些函數的單調性。
　　題型Ⅲ：畫出下列函數的圖像，并通過圖像研究其單調性。
　　（1）y=|x+2x-1|?搖（2）y=x+2|x|-1
　　這里要使學生注意這些函數與二次函數的差異和聯系。掌握把含有絕對值記號的函數用分段函數表示，然后畫出其圖像。
　　題型Ⅳ：設f（x）=x-2x-1在區間［t，t+1］上的最小值是g（t），求：g（t），并畫出y=g（t）的圖像.
　　解：f（x）=x-2x-1=（x-1）-2，在x=1時取最小值-2
　　當1∈［t，t+1］即0≤t≤1，g（t）=-2
　　當t＞1時，g（t）=f（t）=t-2t-1
　　當t＜0時，g（t）=f（t+1）=t-2
　　g（t）=t-2，（t＜0）-2，（0≤t≤1）t-2t-1，（t＞1）
　　首先要使學生弄清楚題意。一般的，一個二次函數在實數集合R上或是只有最小值或是只有最大值，但當定義域發生變化時，取最大或最小值的情況也隨之變化，為了鞏固和熟悉這方面知識，可以再給學生補充一些練習。
　　如：y=x-5x+6（-3≤x≤-1），求該函數的值域.（可適當改變區間）
　　三、二次函數的知識，可以準確反映學生的數學思維
　　題型Ⅴ：設a為實數，函數f（x）=2x+（x-a）|x-a|.
　　（1）若f（0）≥1，求a的取值范圍；
　　（2）求f（x）的最小值；
　　（3）設函數h（x）=f（x），x∈（a，+∞），直接寫出（不需給出演算步驟）不等式h（x）≥1的解集.
　　解析：本小題主要考查函數的概念、性質、圖像及解一元二次不等式等基礎知識，考查靈活運用數形結合、分類討論的思想方法進行探索、分析與解決問題的綜合能力。
　　（1）若f（0）≥1，則-a|a|≥1?圯a＜0a≥1?圯a≤-1
　　（2）當x≥a時，f（x）=3x-2ax+a，f（x）=f（a），a≥0f（），a＜0=2a，a≥0，a＜0
　　當x≤a時，f（x）=x+2ax-a，f（x）=f（-a），a≥0f（a），a＜0=-2a，a≥02a，a＜0
　　綜上f（x）=-2a，a≥0，a＜0
　　（3）x∈（a，+∞）時，h（x）≥1得3x-2ax+a-1≥0，△=4a-12（a-1）=12-8a，
　　當a≤-或a≥時，△≤0，x∈（a，+∞）；
　　當-＜a＜時，△＞0，得：（x-）（x-）≥0x＞a
　　討論得：當a∈（，）時，解集為（a，+∞）；
　　當a∈（-，-）時，解集為（a，］∪［，+∞）；
　　當a∈［-，］時，解集為［，+∞）.
　　二次函數有著豐富的內涵和外延。我們可以以它為代表來研究函數的性質，建立起函數、方程、不等式之間的聯系，編擬出層出不窮、靈活多變的數學問題，考查學生的數學基礎知識和綜合數學素質，特別是能從解答的深入程度中，區分出學生運用數學知識和思想方法解決數學問題的能力。它對近代數學，乃至現代數學，影響深遠，為歷年來高考數學考試的一項重點考查內容，歷久不衰，以它為核心內容的重點試題，也年年有所變化。因此，同學們必須透徹熟練地掌握二次函數的基本性質。