關于分段函數的幾點注意

　　函數的表示方法講解分段函數，明確指出，分段函數是一類特殊的函數，有著廣泛的應用，教材中只以例題形式出現，并未作深入的系統介紹，但分段函數與一般函數有明顯的區別，學習時往往容易受一般函數的影響而產生負遷移，不少學生對它認識膚淺模糊，解題中常出現偏差，現對分段函數內容加以補充，供參考。
　　一、分段函數概念理解
　　1.定義：在定義域中，對于自變量x的不同取值范圍，對應法則不同，這樣的函數稱之為分段函數。
　　2.注意點：①分段函數是一個函數，而不是幾個函數，它是由各段上的解析式（對應法則）用符號“{”合并成的一個整體；②分段函數的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集；③解分段問題應突出“對號入座”、“先分后合”思想。
　　二、分段函數題型
　　1.作分段函數的圖像
　　例1：已知函數f（x）=2x（x≥0）x（x＜0），作出這個函數的圖像。
　　解：由于分段函數有兩段，所以這兩個函數圖像應由兩條線段組成，其一是一段拋物線，其二是一條射線，畫出圖像如圖1所示。
　　說明：分段函數有幾段，其圖像就由幾條曲線組成，作圖的關鍵是根據定義域的不同部分分別由表達式作出其圖像。作圖時一要注意每段自變量的取值范圍，二要注意間斷函數圖像每段端點的虛實。
　　2.求分段函數的函數值
　　例2：已知f（x）=（x≤-2）π（-2＜x＜2）x-4x（x≥2），
　　求f{f［3］}的值。
　　解：由3∈［2，+∞），所以f（3）=3-4×3=-3
　　又-3∈［-∞，-2），所以f［f（3）］=f（-3）=×（-3）=-
　　而-∈（-2，2），故f{f［f（3）］}=f（-）=π
　　說明：求分段函數的函數值時，一般先確定自變量的取值在定義域的哪個子區間，然后找相應的對應法，則求出函數值。
　　3.求分段函數自變量的取值問題
　　通常先假設所求的解在分段函數定義域的各段上，然后相應求出在各段定義域上的解。
　　例3：函數f（x）=x+3（x≤-2）x（-2＜x＜4）3x（x≥4），
　　若f（x）=3，則x的值是?搖?搖?搖?搖?搖 ?搖。
　　解：（1）當x≤-2時，f（x）=x+3≤1＜3，
　　故此時方程f（x）=3無解；
　?。?）當x≥4時，f（x）=3x≥12＞3，
　　故此時方程f（x）=3無解；
　?。?）當-2＜x＜4時，f（x）=x∈（-8，64），
　　由f（x）=3，得x=3，解得x=.
　　綜上可知：x=.
　　點評：求解此類問題時，一般先假設所求的解在分段函數的定義域的各部分內，然后相應地求出在各部分定義域內的解，需要注意的是定義域內各部分的范圍對解的限制作用。
　　4.分段函數的值域問題
　　分段函數的值域的求解方法是分別求出各段函數的值域，再取其并集即可。
　　例4：求函數f（x）=x+1（x≥0）-x（x＜0）的值域。
　　解：因為當x≥0時，x+1≥1，
　　當x＜0時，-x＜0，
　　所以原函數的值域為（-∞，0）∪［1，+∞）.
　　點評：求分段函數的值域，要先根據定義域求出在各定義域內部分的值域，然后取其并集。
　　5.分段函數的最值
　　分段函數的最值的求解方法有：數形結合法和逐段分析、再綜合法等。
　　例5：函數f（x）=x，x∈（-1，2］x+2，x∈［-3，-1］的最大值是?搖?搖?搖?搖?搖?搖，最小值是?搖?搖?搖?搖?搖?搖。
　　解：易知函數y=x，x∈（-1，2］的最大值是4，最小值是0，值域是［0，4］；函數y=x+2，x∈［-3，-1］的最大值是1，最小值-1，值域是［-1，1］.
　　綜上，函數f（x）在定義域［-3，2］上的最大值是4，最小值是-1.
　　6.分段函數的表達式問題
　　例6：動點P從邊長為1的正方形ABCD的頂點A出發順次經過B、C、D再回到A，設x表示P點的行程，y表示PA的長度，求y關于x的表達式。
　　解：如圖2所示，當P點在AB上運動時，PA=x；當P點在BC上運動時，由Rt△PBA求得PA=；當P點在CD上運動時，由Rt△PDA，求得PA=；點P點在DA上運動時，PA=4-x.
　　所以y關于x的表達式是：
　　y=x，0≤x≤1，1＜x≤2，2＜x≤34-x，3＜x≤4.
　　總之，求分段函數的定義域則是各段定義域的并集，求分段函數的值域也是分別求出各段上的值域后取并集；求分段函數的最大（?。┲祫t是分別在每段上求出最大（?。┲?，然后取各段中的最大（?。┲?。解題時，我們要記住一句話：“分段函數并不難，分類討論是關鍵：對號入座求發展，數形結合助平坦?！?br/>