0.999……等于1嗎

　　0.999……=1，是數學中一個典型問題，本文介紹了如何避開高等數學的極限、級數觀點，給一位剛接觸循環小數的小學生講解這一結果。
　　上小學五年級的兒子突然問起一個問題：媽媽，0.999…等于1嗎？學過極限、級數的我回答道：當然相等啦。兒子滿臉疑惑地說：那不是還差0.000…1嗎？我只能簡單地說：不能用“有限”觀點看待“無限”的問題。這么一個抽象、籠統的答案，小學生是無法理解的。“那么，0.333…+0.666…=1這也對啦？”這倒是給了我一個啟發：1÷3=0.333…=1/3，2÷3=0.666…=2/3，0.999……=0.333…+0.666…=1/3+2/3=1。兒子的回答卻是：“這么看好像對，可0.999…=1還是覺得不對。”就在我覺得解答還算成功時，問題又來了。“你看比較大小時，是先比首位，0.999…的首位是0比1小，所以還是0.999…小于1。”從教近20年的數學老師，不能給上小學五年級的兒子一個滿意的答復，看來我必須認真備一節小學數學課。
　　我們知道，有理數集包括有限小數和無限循環小數，而分數是有理數的另一種表現形式。即分數都能化成有限小數或無限循環小數；反過來，任何一個有限小數也能化成分數，當然任何一個無限循環小數，也一定會轉化成一個分數。如何把一個無限循環小數化成分數呢？根據無限循環小數分為純循環小數和混循環小數，可分為：純循環小數化成分數、混循環小數化成分數。
　　類型一：純循環小數化成分數
　　例1：把0.3和0.23化成分數。解1：0.333…×10=3.33…，0.333…×10-0.333…=3.333…-0.333…=3，（10-1）×0.333…=3，9×0.333…=3，0.3=3/9=1/3. 解2：0.23=23/99（過程略）。由此可見， 純循環小數化成分數，它的小數部分可以寫成這樣的分數：純循環小數的循環節最少位數是幾，分母就是由幾個9組成的數，分子是純循環小數中一個循環節組成的數。當然，0.9=9/9=1.
　　類型二：混循環小數化成分數
　　例2：把0.35、0.4734、0.12435化成分數。解1：0.3555…×10=3.555…，0.3555…×100=35.55，0.3555…×100-0.3555…×10=35.55…-3.555…=35-3=32，（100-10）×0.3555…=32，90×0.3555…=32，0.35=32/90=16/45. 解2：0.4734=4687/9900（過程略）。解3：0.12435=4141/33300（過程略）。由此可見，混循環小數，它的小數部分可以寫成這樣的分數：這個分數的分子是不循環部分與第一個循環節連成的數字組成的數，減去不循環部分數字組成的數之差；分母的頭幾位數字是9，末幾位數字是0，9的個數跟循環節的數位相同，0的個數跟不循環部分的數位相同。
　　當然，兒子提出的“0.999……等于1嗎”得到了圓滿的答復。至于他提出的比較大小問題，我的答案是：數學中的很多形式是可以變形的，不能簡單地只看外在形式，要看到它的本質。例如：4/2，它只是分數形式，并不是分數。兒子開心地說：原來循環小數可以變形啊，我會破解數學里的小魔術了。
　　（延邊大學師范分院）