高考題中的好題

　　在我國，高考指揮著教學，某種意義上，高考改革決定著課程改革，其中命題方式的改革對課堂優質教學具有指導意義。雖然近幾年高考命題有所改革，但還需練到“一看就會，一做就對”才能得高分。令人欣慰的高考命題也出現許多好題，比如對數學概念的本質的考題，可引導教學回歸數學概念，而不是“一個定義，三項注意”，“只重結果，輕視過程”的教學。本文結合近幾年各省市（主要是浙江省）高考部分考查數學本質的考題（或可利用數學本質直接解題）給予說明，以期引起大家的關注。
　　一、考查函數概念的實質
　　函數是中學數學的核心內容，初中的函數概念比較宏觀，是作為“變化過程”的函數，即“變量說”；高中就有了作為抽象化、精確化的需要，是作為“對應關系”的函數，即“映射說”；最后函數是“圖形”，即高中數學中函數概念強調兩個集合的元素之間的特殊對應關系，核心是對應法則，要用集合與對應語言表述問題，因此，如果命題抓住了“哪些對應關系是函數關系”，就是在考查函數概念的本質。
　　例1（2006浙江）：函數f：|1，2，3|→|1，2，3|滿足f（f（x））=f（x），則這樣的函數個數共有
　　（A）1個 （B）4個（C）8個（D）10個
　　根據函數概念，以“對應關系”的特點為操作指南，直接排一排，數一數，列舉出所有“對應關系”，從而可得到以下兩種思路：
　　探究1：結合圖形來解決f（（x））=f（x）即f（x）=x，即經過兩次映射后函數值不變，如圖所示：
　　探究2：f（f（x））=f（x），設則y=f（x）則f（y）=y，y∈A.若A*表示A的元素個數。
　　A*=1，則這樣的對應有3個，A*=2，則這樣的對應有6個，A*=3，則這樣的對應有1個
　　評析：本題核心是對條件f（f（x））=f（x）的理解，從中表現出對“對應關系”這一函數概念的核心的理解水平的考查。解決時若一味地應用排列，組合知識，反而使問題復雜化，由函數概念的本質數一數，排一排或畫一個圖形，從而得到這個問題的思路：從函數概念看，分兩步：f（x）一共有幾個，符合條件的f（x）有幾個。具體獲得“個數”時，關鍵是“不重不漏”地列出對應關系，還要借助分類思想。
　　例2：（2009浙江）
　　已知函數f（x）=x3-（k2-k+1）x2+5x-2，g（x）=k2x2+kx+1，
　　其中k∈R．
　　（II）設函數q（x）=g（x），x≥0f（x），x<0是否存在k，對任意給定的非零實數x1，存在惟一的非零實數x2（x2≠x1），使得q′（x2）=q′（x1）成立？若存在，求k的值；若不存在，請說明理由。
　　探究：本題（II）中導函數y=q′（x）是一個分段函數，是否存在k，對任意給定的非零實數（x1），存在惟一的非零實數（x2≠x1），使得q′（x2）=q′（x2）成立?其實質上是否存在k使確定函數y=q′（x）的映射是“二對一”的映射。從而得到以下簡便的解答方法：當x<0時
　　q′（x）=f′（x）=3x2-2（k2-k+1）x+5；當x≥0時有q′（x）=g′（x）=2k2x+k，因為當k=0時不合題意，因此k≠0，下面討論k≠0的情形，當k≠0時，x≥0，q′（x）=g′（x）=2k2x+k，是表示斜率大于0，截距為k的直線在y軸右半部分（含端點）；x<0，q′（x）=f′（x）=3x2-2（k2-k+1）x+5是對稱軸x=（k2-k+1）≥0的拋物線在y軸左半部分。在同一坐標系中，畫出g′（x）=2k2x+k和f′（x）=3x2-2（k2-k+1）x+5的草圖，則對任意給定的非零實數x1，存在惟一的非零實數x2（x2≠x1），使得g′（x2）=g′（x1）成立，只要k=5。
　　評析：本解法有別于標準答案給出的過于形式化的解答方式，事實上這個問題本質的理解是確定函數y=q′（x）的映射恰是“二對一”的映射，從而巧妙地運用數形結合的思想方法，結合題目條件給出一種思路清晰，步驟簡潔，計算量小的解答過程，結論簡捷明了，解法非常地漂亮和精彩！
　　二、考查函數極值概念的本質
　　由極大（小）值的概念知：若函數在x=a處取得極大（小）值，則在它的小領域內任取一個x0，均有f（x0）≤f（a）（或f（x0）≥f（a））；另外若函數f（x）在x0可導，且x0為f（x）的極值點，則f′（x0）=0.這就是可導函數x0在點取極值的必要條件是f′（x0）=0.
　　例3（2008浙江）：若cos?琢+2sin?琢=-
　　①則tan?琢=（）
　　（A） （B）2 （C）- （D）-2
　　探究：本題有多種解法，注意到了-為f（x）=cosx+2sinx的極小值這一特點，可得①式中等式的解恰好使得f（x）=cosx+2sinx的導數值為0，所以f′（?琢）=0，即-sin?琢+2cos?琢=0，即tan?琢=2.我們還可以得到一個普遍的變式：已知mcos?琢+nsin?琢=±則
　　tan?琢=tan（+k?仔-?茲）=cot?茲=。（這里解題過程與方法與例3相似）。從而轉化成導數為0進行求解。用一般化的語言描述，就是如果方程f（x0）=m，并且y=f（x）的極值為m，那么有f′（x0）=0。假如y=f（x）的極值不為m，那又該如何轉化呢？同理，我們可以用一般化的語言描述如下：如果方程f（x0）=m，并且y=f（x）在y=f（x）與y=m交點處的切線斜率為k，那么f′（x0）=k有（如下圖），從而簡化計算。
　　評析：仔細推敲上述轉化過程，可以發現關鍵因素就是所求方程的解恰為函數極值點的橫坐標，這樣就把求值問題轉化為求極值問題，使問題解答得到簡化。
　　例4：（2010浙江）已知a是給定的實常數.設函數f（x）=（x-a）2（x+b）ex，b∈R，x=a是f（x）的一個極大值點.求b的取值范圍；
　　探究：由x=a是f（x）的一個極大值點，本質是在x=a左右一個小領域內x=a是對應的點“最高”。即函數x=a在x=a處取得極大值，則在它的小領域內任取一個x0，均有f（x0）≤f（a）。此題有f（a）=0，故f（x0）≤0，注意到（x0-a）2≥0，e>0，故（x0+b）≤0，當x0去取a的時候就有：a+b≤0，即：b≤-a，顯然當b=-a時，函數沒有極值，故b<-a。
　　評析：本解法與標準答案相比另辟蹊徑，關鍵在于對極大值實質的深刻理解。因此老師平時不能只講很多技巧，卻忘了最基本的定義和概念的強化。
　　三、考查解析幾何的數形結合思想
　　解析幾何的本質是用代數的方法處理幾何問題的思想.但是事物都是一分為二的，在解析幾何中，要注重挖掘解析幾何中的幾何特征，用幾何的眼光看解析幾何中的問題，從而簡化運算。
　　例5（2008江蘇）若AB=2，AC=BC，則S△ABC的最大值
　　探究：因為AB=2（定長）可以以AB所在的直線為x軸，其中垂直線為y軸建立直角坐標系，則A（-1，0），B（1，0）。設C（x，y），由AC=BC可得=，化簡得（x-3）2+y2=8，即C在以（3，0）為圓心，2為半徑的圓上運動。
　　又S△ABC=AB×｜yc=|yc|≤。
　　評析：這種方法簡潔有效，由AC=BC，知C在以為（3，0）圓心，2為半徑的圓上運動本質特征.利用圓的幾何性質，結合圖像能很快得到答案。
　　例6（2006浙江）如圖，橢圓+＝1（a＞b＞0）與過點A（2，0）B（0，1）的直線有且只有一個公共點T，且橢圓的離心率e=.
　　
　　（Ⅰ）求橢圓方程；（Ⅱ）設F1、F2分別為橢圓的左、右焦點，M為線段AF1的中點，求證：∠ATM=∠AF1T.
　　探究：第（Ⅰ）題容易.對于第（Ⅱ）小題，要證∠ATM=∠AF1T，只需證△ATM∽AF1T即可，注意到∠ATM=∠F1AM，故需證夾這個角的兩邊成比例即可.當然，也可證明直線AB與過T，F1M三點的圓相切于點T。
　　評析：本題兩種方法都突出了本題的幾何特征，從而回避了大量的運算。
　　四、考查線性規劃問題最優解的本質
　　“課程標準”和“教材”所提供的“線性規劃問題”例題都是采用“平移法”，一般情況下最優解是在頂點上，只要一個一個頂點（頂點不是很多的情況下）代進去就看求出最優解。這種方法稱為頂點坐標法，它是由美國數學家G.B.丹齊克于1947年首先提出來的。它的理論根據是：線性規劃問題的可行域是維向量中的多面凸集，其最優值如果存在，必在該凸集的某頂點達到，即把可行域的端點值代入目標函數，比較其大小即可。頂點所對應的可行解稱為基本可行解。我們可總結出頂點坐標比較法的步驟：①根據約束條件畫出可行域；②考查多邊形圍成的可行域頂點，求解相應直線的方程聯立而成方程組，從而得到頂點的坐標值；③將這些坐標值分別代入目標函數，計算出相應的函數值；④將上述計算出的各個函數值進行比較，找出最優解。
　　例7（2008浙江）若a≥，b≥0，且當x≥0，y≥0，x+y≤1時，恒有ax+by≤1，則以a，b為坐標點P（a，b）所形成的平面區域的面積等于____________。
　　探究：把x≥0，y≥0，x+y≤1看成是平面區域的可行域，把ax+by看成是目標函數z，即z=ax+by，顯然目標函數的最大值就是在頂點（0，0）（1，0）或（0，1）處取到，即max{z=ax+by}=max{a，b}，而z=ax+by≤1，∴max{a，b}≤1，∴0≤a≤1，0≤b≤1，所以點（a，b）所圍成的面積是1。
　　評析：該解法是由線性規劃的頂點坐標比較法知Zmax在可行域的三個頂點0（0，0），A（1，0），B（0，1）取到，結合已知可得點P（a，b）所形成的平面區域為a≥0b≥0a≤1b≤1因而平面區域的面積等于1。構思巧妙，通俗中透出奇意，平淡中析出光芒，能力要求較高，充分體現考能力、考思想的命題理念。實踐證明，學生們都更喜歡用頂點坐標比較法，經訪談得知，學生們認為該解法的步驟清晰，雖有一些計算，但屬于初中解方程組內容，不少題目可不作圖就能快速得到解答。
　　五、考查向量概念的本質
　　浙江省六年高考試題中的向量小題都有幾何背景，而這也恰恰挖掘了向量這個既有“數”的一面（大小），又有“形”的一面（方向）的概念之特征，體現了向量概念的實質。
　　例8：（2008浙江）已知a，b是平面內兩個互相垂直的單位向量，若向量c滿足（a-c）?（b-c）=0，則|c|的最大值是C
　　（A）1（B）2 （C） （D）
　　反饋：部分考生在解題時，只是一味對（a-c）?（b-c）=0進行代數形式上的展開、化簡，從而使解題受阻。
　　探究1：如圖，設a=，b=，c=。
　　故|C|max=。
　　探究2：建立平面直角坐標系，得的起點在坐標原點，終點在以圓心（，），為半徑的圓上，故|C|max=。
　　評析：向量既是“代數”的，又是“幾何”的，向量從運算的角度促進了代數和幾何的聯系，本題已知條件中的向量雖是代數形式，但“a，b是平面內兩個互相垂直的單位向量”，具有顯明的幾何意義和坐標背景。探究1，2分別利用了向量的幾何意義和坐標運算形式，有效轉換了向量的運算形式。在向量運算中，學生思維受阻的原因往往是對向量的代數式、坐標式和幾何意義這三種運算形式缺少整體的把握，利用公式前，缺少對問題背景的分析，缺少對三種運算形式的選擇及運算形式相互間的有效轉換。
　　對以上高考題中的好題的剖析給我們啟示：教師必須“沉下去”，理清知識發生的本源，對數學概念的理解要到位，要把握教材中最主要，最本質的東西。只有這樣，才能在教學中不斷地“捅破”題目和方法之間的一層紙，才能讓學生從題目中提練和概況出最本質性的知識，從而提升學生思維的品質，提升課堂教學的有效性，學生也才能積極面對和應付數學高考。
　　參考文獻
　　[1] 張奠宙，趙小平.自主招生考試破除“命題八股化”.數學教學，09（2）.
　　[2] 王小紅.一道高考題引發的思考.中學數學教學參考，2008（10）.
　　[3] 章建躍.追求數學課堂的本來面目.中國數學教育，2009（4）.
　　[4] 章建躍.數學概念的理解與教學.中學數學教學參考，2010（11）.
　　（責任編輯劉永慶）