解排列組合應(yīng)用題常用的方法

　　很多同學(xué)對(duì)于排列組合的問題感到困惑，現(xiàn)就常用方法進(jìn)行如下歸納：
　　一、相鄰元素捆綁法
　　對(duì)于某些元素要求相鄰的問題，可整體視這些元素為一個(gè)“大”元素與其他元素排列，再考慮這些元素本身是否要全排列，如果要，再對(duì)這些元素進(jìn)行全排列。
　　例1.6名同學(xué)排成一排，其中甲、乙兩人必須排在一起的排法為____-種。
　　解析：因甲乙兩人要排在一起，故將甲乙兩人捆在一起視為一人，與其余4人進(jìn)行全排列有A55種排法，但甲乙兩人要進(jìn)行全排列有P22種排法，由分步計(jì)數(shù)原理可知共有240種排法。
　　二、不相鄰元素插空法
　　對(duì)于要求某些元素不能相鄰，其他元素將其隔開的問題，可以先把其他元素排列好，再將要求不相鄰的元素插入它們的空隙或兩端的位置。
　　例2.要排一張有6個(gè)歌唱節(jié)目和4個(gè)舞蹈節(jié)目的演出單，任何兩個(gè)舞蹈節(jié)目不得相鄰，問：有多少種不同的排法？
　　解析：先將6個(gè)歌唱節(jié)目排好，其排法為A66，這6個(gè)歌唱節(jié)目的空隙及兩端共7個(gè)空隙，再排4個(gè)舞蹈節(jié)目有P47種排法，由分步計(jì)數(shù)原理可知任何兩個(gè)舞蹈節(jié)目不得相鄰的排法。
　　三、定位問題優(yōu)限法
　　對(duì)于有限制條件的排列問題，首先考慮受限制的元素（或位置），再考慮其余元素（或位置）的解法，叫“優(yōu)限法”。
　　例3.從1、3、5、7中任取2個(gè)數(shù)字，從0、2、4、6、8中任取2個(gè)數(shù)字，組成沒有重復(fù)的四位數(shù)，其中能被5整除的四位數(shù)共有
　　個(gè)。
　　解：能被5整除的數(shù)的個(gè)位數(shù)字是0或5，因此優(yōu)先考慮的特殊元素為0或5，優(yōu)先考慮的特殊位置是首位與末位（首位不能為0）這樣的四位數(shù)分兩類：
　　第一類：形如▲▲▲0的四位數(shù)，其個(gè)數(shù)等于從1、3、5、7中任取2個(gè)數(shù)字，從2、4、6、8中任取1個(gè)數(shù)字，組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)，有C24C14A33=144個(gè)；
　　第二類：形如▲▲▲5的四位數(shù)，又分有0無(wú)0兩小類，仿照第一類的分析無(wú)0的四位數(shù)的個(gè)數(shù)等于從1、3、5、7中除5以外再任取一個(gè)數(shù)字，從2、4、6、8中任取2個(gè)數(shù)字，組成沒有重復(fù)的三位數(shù)的個(gè)數(shù)有
　　C13C24A33=108。有0的四位數(shù)其個(gè)數(shù)等于從1、3、5、7中除5外再任取一個(gè)數(shù)字，從0、2、4、6、8中任取0和2、4、6、8中的一個(gè)數(shù)，組成沒有重復(fù)的三位數(shù)C13C14A33-C13C14A22=48個(gè)，由分類計(jì)數(shù)原理可知，符合條件的四位數(shù)有144+108+48=300個(gè)。
　　四、相鄰問題一“元”法
　　對(duì)于某幾個(gè)元素要求相鄰的排列問題，可將相鄰的元素看作一個(gè)“元”與其他元素排列，然后在對(duì)“元”內(nèi)部元素排列。
　　例4.7人站成一排照相，甲、乙、丙三人相鄰，有多少種不同排法？
　　分析：把甲、乙、丙三人看作一個(gè)“元”，與其余4人共5個(gè)元作全排列，有A55種排法，而甲、乙、丙之間又有A33種排法，故共有A55A33種排法。
　　除了上述方法外，有時(shí)還可以通過設(shè)未知數(shù)，借助方程法、分排問題“直排”法、 構(gòu)造模型“隔板”法、局部問題“整體優(yōu)先”法等，簡(jiǎn)單一些的問題可采用列舉法，還可以利用對(duì)稱性或整體思想來(lái)解題等。
　　（作者單位 河北省正定三中）