關于三角形中的三等分角線的研究

　　古希臘三大著名幾何問題之一是：三等分角，即分任意角為三等分。這個問題大概產生于下列思想：與希臘人已經能二等分任意角，作為二等分角的延伸，自然會考慮三等分任意角。用現代的數學語言來說，它歸結于求解方程cosΦ=4cos-3cos，或者a=4x-3x。
　　“三等分一個已知角”在歷史上已證明是尺規作圖所不能的問題，但我們也提到了若改變作圖的條件，則問題就改變了。在這里我們要逆向地考慮問題，即僅用尺規作出某一個三角形，并作出它的各角的三等分角線。我提出的作法如下：
　　如圖1，在正△XYZ的邊上分別截取YD=ZE，YD=XF，又連結YE、ZD、XD、YF、XD交ZD于點B，又作∠XZF=∠FYE且ZF交XY于F，ZF交YF于點A，在ZY上截取ZE=XF，連結XE交YE于點C，作△ABC，又分別連結FB，FC并延長交YZ于點D、E，連結DC、DA并分別延長交XZ于點E、F，DA交FB于D，連結EB交DC于點E，延長EB交XY于點D，連結EA交CF于點F，延長EA交XY于點F，連結AD交BZ于點D，連結AE交CY于點D，連結BF分別交AD與AZ于點Q、E，又連結BE交CX于點E，連結CF分別交AE、AY于點P、F，連結CD分別交BE、BX于點R、F，那么有：
　　（1）AD，AE，BE，BF，CD，CF分別是△ABC的各劣角的三等分線；
　　（2）DF，EF，DE，FD，DE，FE分別是△ABC的各外角的三等分線；
　　（3）AF，AF，BD，BD，CE，CE分別是△ABC的各優角的三等分線。
　　為了證明這個作法，在這里引進一個引理：
　　引理：如圖2，在等邊△ABC內取點K、L、M，使得∠KAB=∠LBA=α，∠MBC=∠KCB=β，∠LCA=∠MAC=γ，且α+β+γ=60°，則∠LMK=3α，∠MLK=3β，∠MKL=3γ。
　　證明：如圖2，延長AK、AM分別交BC于點P、Q，又連結PM、QK，則∠PBM=∠PAM=β，?圯點P、M、A、B四點共圓，?圯∠MPA=∠MBA=α+γ，
　　同理可得∠AQK=∠ACK=γ+α，∴∠KPM=∠KQM=α+γ，∴點P、Q、M、K四點共圓，∴∠AMK=∠KPQ=∠ABP+∠PAB=60°+α。
　　同理可證：∠BML=60°+α。
　　又在△ABM中，∠AMB=180°-（α+β）-（α+γ）=120°-α，
　　∴∠LMK=∠AMK+∠BML-∠AMB=（60°+α）+（60°+α）-（120°-α）=3α。
　　同理可證：∠MLK=3β，∠MKL=3γ。
　　證畢。
　　下面我們正式來證明這個關于作某一個三角形的各角的三等分線的作法是正確的。
　　證明：由作法，已知等邊△XYZ，YD=ZE，YD=XF，∠XZF=∠FYE，ZE=XF，
　　則∵YD=ZE，YZ=YZ，∠XYZ=∠XZY=60°，
　　∴△DZY≌△EYZ，
　　∴∠CYZ=∠BZY=β。①
　　同理：由YD=XF得∠AYX=∠BXY=α。②
　　由ZE=XF得∠AZX=∠CXZ=γ。③
　　又∵∠XZF=∠FYE=∠AZX=γ，
　　∴α+β+γ=60°，④
　　由①、②、③、④可知，滿足引理條件，
　　∴∠ACB=3α，∠BAC=3β，∠CBA=3γ。
　　由∠DYC=∠CXD=β?圯點D、C、X、Y四點共圓，
　　?圯∠CYX=∠CDX=α+γ，
　　同理可得∠XEB=∠XZB=α+γ，
　　∴∠BDC=∠CEB=α+γ，
　　∴點B、C、E、D四點共圓，
　　∴∠BCE=180°-∠BDE=180°-（60°+α）=120°-α。
　　又優角∠C=360°-3α，三等分后為120°-α。
　　∴CE為優角∠C的一條三等分線。
　　同理可得：AF，AF，BD，BD，CE分別是△ABC相應的各優角的三等分線。（１）
　　∵點D、C、X、Y四點共圓（上已證），
　　∴∠DXY=∠DCY=α。
　　又∵∠BCY=180°-∠ACB-∠ECA=180°-3α-（120°-α）=60°-2α，
　　∴∠BCD=∠DFY+∠BCY=α+60°-2α=（180°-3α），
　　∴DC即ED為△ABC中對應∠C的外角的三等分線。
　　同理可得：
　　DF，EF，DE，FD，FE分別是△ABC的各外角的三等分線。（2）
　　由上述證明過程可得：
　　∠XYC=∠XDC=∠XED=α+γ，
　　即∠DYC=∠DDC=α+γ，
　　∴點D、Y、E、C四點共圓，
　　∴∠DCE+∠DYE=180°。
　　即∠DCE=180°-∠DYE=180°-60°=120°，
　　∴∠DCB=∠DCE-∠BCE=120°-（120°-α）=α=（3α），
　　∴CD是劣角∠C的三等分線。
　　同理可得：
　　AD，AE，BE，BF，CF分別是△ABC的各劣角的三等分線。 （3）
　　由（1）、（2）、（3）可知，此作法正確。
　　證畢。
　　以上作法及其證明表明，改變作圖的條件（在這里是作逆向考慮），作某一個三角形，并作出它的各角的三等分線，而借助的是一個正三角形，從而達到了作某一個三角形的三等分線的目的。當然，圖1還有許多尚未被發現的美妙性質，有興趣的讀者可以作進一步研究。
　　
　　參考文獻：
　　［１］梁卷明.一道IMO備選題的推廣［J］.中學數學，2003，3.