由一道“錯題”引發的思考

　　摘 要： 本文由一道練習題引出在解決古典概型問題時要首先考慮我們所構造的基本事件空間中的基本事件是否是等可能的，并討論了如果不是等可能的應該如何構造等可能的基本事件的方法。
　　關鍵詞： 古典概型 基本事件空間 等可能
　　
　　在學完人教A版數學《必修3》古典概型后，練習中出現了這樣一道練習題：
　　例1：據天氣預報，在今后的三天中，每一天下雨的概率為40%，求這三天中恰有兩天下雨的概率。
　　學生普遍采用下述解法：
　　若某一天下雨則用Y表示；若不下雨則用表示，因此基本事件空間為：
　　Ω={，Y，Y，Y，YY，YY，YY，YYY}
　　設事件A={三天中恰有兩天下雨}，則事件A所包含的基本事件為：
　　YY，YY，YY
　　由古典概型概率計算公式得：P（A）=。
　　摘 要： 本文由一道練習題引出在解決古典概型問題時要首先考慮我們所構造的基本事件空間中的基本事件是否是等可能的，并討論了如果不是等可能的應該如何構造等可能的基本事件的方法。
　　關鍵詞： 古典概型 基本事件空間 等可能
　　
　　在學完人教A版數學《必修3》古典概型后，練習中出現了這樣一道練習題：
　　例1：據天氣預報，在今后的三天中，每一天下雨的概率為40%，求這三天中恰有兩天下雨的概率。
　　學生普遍采用下述解法：
　　若某一天下雨則用Y表示；若不下雨則用表示，因此基本事件空間為：
　　Ω={，Y，Y，Y，YY，YY，YY，YYY}
　　設事件A={三天中恰有兩天下雨}，則事件A所包含的基本事件為：
　　YY，YY，YY
　　由古典概型概率計算公式得：P（A）=。
　　乍看之下這種解法似乎沒有什么問題，但它忽略了一個重要問題：這是否為古典概型問題？也就是基本事件是否滿足“有限、等可能”。問題中的基本事件“有限”是沒有問題的，那是否是“等可能”的呢？在“每一天下雨的概率為40%”的前提下，基本事件顯然不是等可能的，比如和Y。因此，這不是一個古典概型問題，學生在現有的知識下無法解決這個問題，所以這個題目是“錯誤”的。
　　若將此題中“每一天下雨的概率為40%”改為“每一天下雨的概率為50%”，那么上述解法就正確了。當然，原題利用獨立重復試驗的知識易得：P（A）=C0.4（1-0.4）=。
　　無獨有偶，課本第134頁B組第1題:
　　例2：某人有4把鑰匙，其中2把能打開門。現隨機地取1把鑰匙試著開門，不能開門的就扔掉，問第二次才能打開門的概率是多少？
　　學生大多采用下面的方法：
　　設4把鑰匙為a、a、b、b，其中a、a是能打開門的鑰匙，則：
　　Ω={a，a，ba，ba，ba，ba，bba，bba，bba，bba}
　　設事件A={第二次才能打開門}，則A所包含的基本事件為：
　　ba，ba，ba，ba
　　從而由古典概型概率計算公式得：P（A）==。
　　這種解法的問題與例1相同，也就是如此構造的基本事件空間中，基本事件發生的可能性不相同，比如a與ba，因此這不是一個古典概型問題，不能利用古典概型公式求解。
　　為了利用古典概型解決本題，我們可以構造“一次試驗”：開兩次門（不管第一次是否把門打開，都要試第二次）。因此，基本事件空間為：
　　Ω={aa，ab，ab，aa，ab，ab，ba，ba，bb，ba，ba，bb}
　　Ω中的每個基本事件發生的可能性都相同，因此是古典概型。設事件A={第二次才能打開門}，則A所包含的基本事件為：ba，ba，ba，ba。因此，由古典概型概率計算公式得：P（A）==。
　　在解決排列組合和概率問題時，列舉法是一個好方法，但有時候，過于相信自己所列出的“所有情況”，也會導致出現上面問題的出現。
　　例3：設A={1，2，3}，B={2，3}，從A、B中各取1個元素作為直角坐標系中點的坐標，求點落在直線2x+3y-12=0上的概率。
　　學生的解法是這樣的：
　　設事件C={點落在直線2x+3y-12=0上}，基本事件空間：
　　Ω={（1，2），（2，1），（1，3），（3，1），（2，2），（2，3），（3，2），（3，3）}，事件C所包含的基本事件為：（3，2），從而由古典概型概率計算公式：
　　P（C）=。
　　此解法與前面例1、例2出現的問題是一樣的。由于題目沒有要求A、B中哪個集合的元素作為橫坐標或縱坐標，因此上述基本空間中點（1，2）與點（2，3）出現的可能性是不相同的，因此也它也不是一個古典概型問題，無法使用古典概型概率計算公式。
　　我們可以將集合A和B中的2，3區分開，然后列舉出所有基本事件，構成下述基本事件空間：
　　Ω={（1，2），（1，3），（2，2），（2，3），（3，2），（3，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3）}
　　則每個基本事件發生的可能性相同，從而它是古典概型。事件C所包含的基本事件為：（3，2）和（3，2），由古典概型概率計算公式得：
　　P（C）==。
　　由此可見，在用古典概型概率計算公式解決概率問題時，首先要判斷我們所構造的模型是不是古典概型，也就是判斷基本事件是否是“有限、等可能”的。如果基本事件不是等可能的，我們可以通過構造的方式將問題轉化成古典概型問題，這樣就萬無一失了。