賦值法在解數學題中的應用

　　在解數學題時，人們一般運用邏輯推理方法，一步一步地尋求必要條件，最后求得結論。對于有些問題，我們若能根據其具體情況，合理地、巧妙地對某些元素賦值，特別是賦予確定的特殊值（如0、1、-1等），往往能使問題獲得簡捷有效的解決，這就是賦值法。現舉例闡述這一方法的具體應用。
　　一、賦值法在求函數表達式中的應用
　　例1：設f（x）的定義域為自然數集，且滿足條件f（x+1）= f（x）+f（y）+xy，及f（1）=1，求f（x）。
　　分析：因為f（x）的定義域為自然數集，可令y=1，使f（x+1）=f（x）+f（y）+xy中只含有x，再令x=1、2、3、…、n-1，然后用累加的方式可求出f（n），即f（x）。
　　解：∵f（x）的定義域為N，取y=1，則有f（x+1）=f（x）+x+1
　　∵f（1）=1
　　∴f（2）=f（1）+2
　　f（3）=f（2）+3
　　……
　　f（n）=f（n-1）+n
　　以上各式相加，有f（n）=1+2+3+…+n=
　　∴f（x）=x（x+1），x∈N.
　　二、賦值法在判定函數奇偶性中的應用
　　例2：已知f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y），對一切實數x、y都成立，且f（0）≠0，求證f（x）為偶函數。
　　分析：由題設可知x、y為任意實數，可令x=0，得f（y）+f（-y）=2f（0）f（y），再令y=0，得2f（0）=2f（0），得f（0）=1；代入f（y）+f（-y）=2f（0）f（y）得f（-y）=f（y），從而判斷出f（x）為偶函數。
　　證明：令x=0，則已知等式變為f（y）+f（-y）=2f（0）f（y）…①
　　在①中令y=0，則2f（0）=2f（0）
　　∵f（0）≠0
　　∴f（0）=1
　　∴f（y）+f（-y）=2f（y）
　　∴f（-y）=f（y）
　　∴f（x）為偶函數.
　　三、賦值法在判定、證明函數單調性中的應用
　　例3：已知函數f（x）的定義域為（0，+∞），當x＞1時，f（x）＞0，且f（xy）=f（x）+f（y）。
　?。?）求f（1）；
　?。?）證明f（x）在定義域上是增函數。
　　分析：求f（1）的值需要在等式f（xy）=f（x）+f（y）中構造出含有f（1）的等式，只需令x=y=1即可；判斷抽象函數的單調性的基本方法是定義法，其關鍵是根據所給條件判斷f（x）-f（x）的符號，多數情況下需要設法構造出x-x或的因式。
　　解：（1）令x=y=1，得f（1）=0。
　　（2）設x＞x＞0，則＞1，
　　∴f（）＞0.
　　在等式f（xy）=f（x）+f（y）中令y=，
　　得f（1）=f（x）+f（）=0
　　∴f（）=-f（x）
　　∴f（）=f（x）+f（）=f（x）-f（x）＞0
　　即f（x）＞f（x）
　　故f（x）在定義域（0，+∞）上是增函數.
　　四、賦值法在處理特殊與一般關系題型中的應用
　　例4：過點M（p，0）任作一條直線交拋物線y=2px（p＞0）于P、Q兩點，則+的值為（）。
　　A. B.C.D.
　　分析：從題設條件中可知過點M（p，0）的直線具有任意性，直接解題非常繁瑣，而從選擇支中知道結論具有唯一確定性，因此可用特殊代一般賦予條件以特殊值來求解，就會很簡單。
　　解：取過點M（p，0）與x軸垂直的直線x=p，則P（p，p），Q（p，-p），
　　∴+=+=，故選D.
　　五、賦值法在有關二項式中求“系數和”中的應用
　　例5：已知（x-x+1）=a+ax+ax+ax+ax，則a+a+a+a=?搖?搖 ?搖?搖?搖?搖。
　　分析：從已知條件中可知，等式左側不是二項式，右側按x的升冪排列，不能從二項式定理入手，但就等式本身而言，x是同一值，欲求a+a+a+a，從右側可知，當x=1時，可得a+a+a+a+a，再去掉a，這時再令x=0就可得出。
　　解：令x=0，得a=1，
　　令x=1，得a+a+a+a+a=1，
　　∴a+a+a+a=0.
　　例6：設（x+1）（2x+1）=a+a（x+2）+a（x+2）+…+a（x+2），則a+a+a+…+a的值為（ ）。
　　A.-2 B.-1C.1D.2
　　分析：本題類似于上一題，但要注意右側中需將x+2看做整體。
　　解：令x+2=1，即x=-1，
　　可得a+a+a+…+a=［（-1）+1］［2×（-1）+1］=-2
　　故選A.