對函數模型的探究

　　函數應用問題是高考的熱點，高考對應用題的考查既考小題又考大題。出于“立意”和創設情景的需要，函數模型試題設置問題的角度和方式也不斷創新，重視函數模型思想的考查，加大函數模型應用題、探索題、開放題和信息題的考查力度，從而使考題顯得新穎、生動和靈活。
　　考試源于課本而不拘泥于課本，教材上的例習題都是很典型的，要求學生不斷挖掘教材中例習題的多種功能，在函數模型中，對增長率的應用由表及里，能培養學生思維的深刻性。
　　心理學家研究表明：人的認識總是由淺入深、由表及里、由具體到抽象、由簡單到復雜的。因而所設計的嘗試學習問題必須遵循人的認識規律，采取低起點、小步子、多訓練、快反饋的方法，使學生認識活動劃分為由易到難、由簡到繁的若干遞進層次，使學生逐步地多次地獲得成功，保護學生的旺盛的學習積極性，培養思維的深刻性。如在講指數函數的定義及應用時，可根據教材設計如下。
　　題組一：鞏固型題組，為熟悉基本知識、方法而設置。
　　問題1：根據國務院發展研究中心2000年發表的《未來20年我國發展前景分析》判斷，未來20年，我國GDP（國內生產總值）年平均增長率可望達到7.3%，那么，在2001—2020年，各年的GDP可望為2000年的多少倍？（人教版A版必修1P48引例）
　　如果我們把2000年的GDP看成是1個單位，2001年為第一年，那么：
　　1年后（即2001年）我國的GDP可望為2000年的（1+7.3%）倍；
　　2年后（即2002年）我國的GDP可望為2000年的（1+7.3%）倍；
　　3年后（即2003年）我國的GDP可望為2000年的倍；
　　4年后（即2004年）我國的GDP可望為2000年的倍；
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　　設x年后我國GDP為2000年的y倍，那么
　　y=（1+7.3%）（x∈N，x≤20）
　　即從2000年起，x年后我國的GDP為2000年的1.073倍。
　　該題雖然簡單，但學生的理解還處于一知半解的狀態，為了使學生掌握其通性通法，舉一反三，達到觸類旁通的境界，我作了如下變式：
　　問題2：某林場計劃第一年造林10000畝，以后每年比前一年多造林20%，則第四年造林 。
　　A.14400畝B.172800畝C.17280畝D.20736畝
　　問題3：某山區加強環境保護，綠色植被的面積每年都比上一年增長10.4%，那么，經過x年，綠色植被面積可增長為原來的y倍，則函數y=f(x)的大致圖像為 。
　　既補充和延伸了課堂教學，消除了學生的疑慮，排除了干擾，又培養了學生的質疑精神、科學的批判精神和鍥而不舍的學習精神，我們何樂而不為呢？
　　題組二：提高型題組，為提高運用知識，方法的能力而設置。
　　教材往往只是研究問題的基本形式，并用與之相應的習題讓學生訓練，這樣即使把有關問題做遍了，也只能是把握問題的某個方向。因此，教師要挖掘例習題深層次的知識點，縱橫聯系，多角度地考慮問題，使思維呈現輻射狀展開，開闊視野，拓展思維。
　　問題1：某蛋糕廠生產某種蛋糕的成本為40元/個，出廠價為60元/個，日銷售量為1000個。為適應市場需求，計劃提高蛋糕檔次，適度增加成本，若每個蛋糕成本增加的百分率為x（0　?。?）寫出y與x的關系式；
　?。?）為使日利潤最大，問x應取何值？
　　解：（1）由題意得：
　　y=［60×（1+0.5x）-40×(1+x)］×1000×(1+0.8x)
　　=2000(-4x+3x+10)(0＜x＜1)
　?。?）要保證日利潤最大，則x=-==0.375.
　　問題2：某人2010年1月1日到銀行存入一年期存款a元，若按年利率為x，并按復利計算，到2015年1月1日可取回款。
　　A.a（1+x）元B.a（1+x）元C.a（1+x）元D.a（1+x）元
　　問題3：某種放射性元素，100年后只剩原來質量的一半，現有這種元素1克，3年后剩下 。
　　A.克B.（1-0.5%）克C.0.925克D.克
　　題組三：發展型題組，為使思維靈活變通、強化創新意識而設置。
　　問題1：截止到1999年底，我國人口約13億。如果今后能將人口年年平均增長率控制在1%，那么經過20年后，我國人口數最多為多少（精確到億）？
　　解：設今后人口年年平均增長率為1%，經過x年后，我國的人口為y億。
　　1999年底，我國的人口為13億；
　　經過1年（即2000年），人口數為13+13×1%=13×（1+1%）（億）；
　　經過2年（即2001年），人口數為13×（1+1%）+13×（1+1%）×1%=13×（1+1%）（億）；
　　經過3年（即2002年），人口數為13×（1+1%）+13×（1+1%）×1%=13×（1+1%）（億）；
　　……
　　所以，經過x年，人口數為y=13×（1+1%）（億）.
　　當x=20時，y=13×（1+1%）≈16（億）.
　　所以，經過20年，我國人口數最多為16億。
　　在實際問題中，經常會遇到類似問題的指數增長模型：設原有量為N，每次的增長率為P，經過x次增長，該量增長到y，則y=N（1+p）（x∈N）。形如y=ka（k∈R，且k≠0；a＞0，且a≠1）的函數是一種指數型函數，這是非常有用的函數模型。
　　問題2：某工廠生產總值月平均增長率為p，則年平均增長率為 。
　　A.pB.12pC.（1+p）D.（1+p）-1
　　問題3．2010年我國工農業總產值為a億元，到2030年工農業總產值實現翻兩番的戰略目標，年平均增長率至少要達到 。
　　A.4-1B.2-1C.4-1D.2-1
　　問題4．某商品2010年零售價比2009上漲25%，欲控制2011年比2009年只上漲10%，則2011年應比2010年降價。
　　A.15%B.12%C.10%D.8%
　　對增長率的函數模型，由淺入深，層層遞進，環環相扣，把思維逐漸引向深入，使學生在輕松中品嘗成功的喜悅，既掌握了基礎知識，又充分認識了問題的本質，訓練了學生的數學思維。
　　學生解題的實質是基本問題的各種各樣的變化形式，對教材中的增長率進行變式，使之貌似原題，又不同于原題，并拾級而上，讓學生從不同角度、不同側面去思考和探索問題，加深對知識內涵、外延的理解，以求在變化中拓寬思想激發思維；使學生感到輕松、愉快，在學生的腦海中留下了深刻印象，既分清了問題的變化類型，又把所學知識系統地運用，從中獲得概括的知識，把握了基本題中所衍生出的不同類型，使之從單一化、固定化模式中轉入多棱化、多角化和多面化模式，從而獲得上升性思維能力。
　　在人的心靈深處，都有一種根深蒂固的需要，就是希望自己是一個發現者、探索者。教師應該鼓勵學生大膽探究與猜想，深刻領悟新課程改革精神，認真研究教學要求，以學生為本，精心設計例習題，以培養學生的合作能力和創新素質為己任，給學生一片自主探索的天空，使學生的創新能力得到培養，個性品質得到和諧發展。
　　總之，在全面推進素質教育的今天，我們要對增長率進行全面合理的設計，面向全體學生，充分發揮增長率的內在潛能，不僅要使學生聽懂，而且要拓展學生數學思維，培養學生的創新能力。