極限理論在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的貫徹

　　摘 要： 極限理論描述了變量在無限變化過程中的變化趨勢，是高等數(shù)學(xué)的最重要的內(nèi)容之一，是構(gòu)成微積分的基礎(chǔ)。在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，向?qū)W生系統(tǒng)介紹極限的產(chǎn)生淵源、發(fā)展過程、極限中的辨讓思想、極限思想在微積分學(xué)習(xí)過程中的作用是十分必要的。
　　關(guān)鍵詞： 極限理論 高等數(shù)學(xué)教學(xué) 滲透
　　
　　極限理論就是人們認(rèn)識無限變化的偉大思想，這種思想和方法的運(yùn)用，擴(kuò)大了人們的思維空間。同時極限也是微積分中最基本、最重要的概念，它從數(shù)量上描述變量在無限變化過程中的變化趨勢，是構(gòu)成微積分的基礎(chǔ)。微積分中的許多概念，如連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、定積分等都建立在極限的基礎(chǔ)上。那么如何在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透極限這一偉大思想呢？我認(rèn)為，向?qū)W生系統(tǒng)介紹極限的產(chǎn)生淵源、發(fā)展過程、極限中的辯證思想、極限思想在微積分中的作用是十分必要的。
　　1.極限理論的產(chǎn)生
　　極限的思想和方法是社會實踐的產(chǎn)物，其萌芽可以追溯到古代。在古代希臘、中國和印度數(shù)學(xué)家的著作中，已不乏樸素的極限思想，如用無限趨近概念計算特別形狀的面積、體積和曲線長的例子。在中國，公元前5世紀(jì)，戰(zhàn)國時期的《莊子·天下篇》中就有一段話：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭。”這是我國較早出現(xiàn)的極限思想，而這正是數(shù)列{}的極限內(nèi)涵。又如公元3世紀(jì)，我國魏晉時期的數(shù)學(xué)家劉徽在注釋《九章算術(shù)》時創(chuàng)立了有名的“割圓術(shù)”。他的極限思想是“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體而無所失”。他第一個創(chuàng)造性地將極限思想應(yīng)用到數(shù)學(xué)領(lǐng)域，這種無限接近的思想就是后來建立極限概念的基礎(chǔ)。劉徽首先考慮圓內(nèi)接正六邊形面積，接著是正十二邊形面積，然后依次加倍邊數(shù)，則正多邊形面積愈來愈接近圓面積。按照這種思想，他從圓的內(nèi)接正六邊形面積一直算到內(nèi)接正192邊形面積，得到圓周率的近似值3.14，之后又算到內(nèi)接正3072邊形時得到π≈3927/1250≈3.1416，這在當(dāng)時是非常了不起了。再如古希臘人的窮竭法也蘊(yùn)含了極限思想。
　　2.極限理論的發(fā)展
　　極限思想的進(jìn)一步發(fā)展是與微積分的建立緊密相連的。微積分思想，源自古希臘人的窮竭法。古希臘最接近積分的是阿基米得于公元前225年求拋物線弓形面積的方法，他在拋物線弓形與其內(nèi)接最大的三角形的每一個空間中又內(nèi)接一個新的三角形，這個三角形與剩余空間同底同高，這樣無限進(jìn)行下去，最后的三角形就非常小了，他的方法實際上也是無窮級數(shù)求和最早的例子。
　　到了16世紀(jì)以后，歐洲處于資本主義的萌芽時期，生產(chǎn)力得到極大發(fā)展。生產(chǎn)和科學(xué)技術(shù)中存在大量的變量問題，如曲線切線問題、最值問題、力學(xué)中速度問題、變力做功問題等，初等數(shù)學(xué)方法對此越來越無能為力，需要的是新的數(shù)學(xué)思想、新的數(shù)學(xué)方法，突破只研究常量的傳統(tǒng)范圍，提供能夠用以描述和研究運(yùn)動、變化過程的新工具，這是促進(jìn)極限發(fā)展、QvUw+kgQ7decGf0yg9cY7w==建立微積分的社會背景。
　　牛頓和萊布尼茨以無窮小概念為基礎(chǔ)建立微積分，給出了數(shù)列極限的描述性定義：“如果當(dāng)n無限增大時，a無限地接近于常數(shù)A，那么就說a以A為極限。”
　　之后，維爾斯特拉斯為了排除極限概念中的直觀痕跡，建立的ε-N語言，給微積分提供了嚴(yán)格的理論基礎(chǔ)。所謂a以A為極限，就是指：“如果對任何ε＞0，總存在自然數(shù)N，使得當(dāng)n＞N時，不等式|a-A|＜ε恒成立。”
　　這個定義，借助不等式，通過和之間的關(guān)系，定量地、具體地刻畫了兩個“無限過程”之間的聯(lián)系。因此，這樣的定義是嚴(yán)格的，可以作為科學(xué)論證的基礎(chǔ)，至今仍在數(shù)學(xué)分析書籍中被廣泛使用。
　　3.極限中的辯證思想
　　極限思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想，它蘊(yùn)涵著豐富的辯證思想，反映了數(shù)學(xué)發(fā)展的辯證規(guī)律，即極限思想是過程與結(jié)果、有限與無限、近似與精確的對立統(tǒng)一。
　　在極限思想中充分體現(xiàn)了結(jié)果與過程的對立統(tǒng)一。比如，當(dāng)n趨于無窮大時，數(shù)列{}的極限為0。一方面，數(shù)列{}中任何一項無論n多大都不是0，體現(xiàn)了過程與結(jié)果的對立性。另一方面，隨著n無限增大，其項越來越靠近0，經(jīng)過極限可轉(zhuǎn)化為0，體現(xiàn)了過程與結(jié)果的統(tǒng)一性。所以極限思想是過程與結(jié)果的對立統(tǒng)一。
　　有限與無限常常表現(xiàn)為不可調(diào)和性。例如，把有限情形的法則原封不動地擴(kuò)展到無限的情形常常會發(fā)生矛盾。但這并不意味著在極限的觀念里有限與無限是格格不入的，相反極限思想是有限與無限的對立統(tǒng)一。
　　近似與精確是對立統(tǒng)一關(guān)系，兩者在一定條件下也可相互轉(zhuǎn)化，這種轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)應(yīng)用于實際計算的重要訣竅。數(shù)學(xué)中的“部分和”、“平均速度”、“圓內(nèi)接正多邊形面積”，分別是相應(yīng)的“無窮級數(shù)和”、“瞬時速度”、“圓面積”的近似值，取極限后就可得到相應(yīng)的精確值。這都是借助于極限的思想方法，從近似來認(rèn)識精確的。這反映了極限思想是近似與精確的對立統(tǒng)一。
　　又如曲線形與直線形有著本質(zhì)的差異，但在一定條件下也可相互轉(zhuǎn)化，正如恩格斯所說：“直線和曲線在微分中終于等同起來了。”善于利用這種對立統(tǒng)一關(guān)系是處理數(shù)學(xué)問題的重要手段之一。我們就是從直線形來認(rèn)識曲線形的。
　　4.極限理論在微積分中的作用
　　極限的思想方法貫穿于數(shù)學(xué)分析課程的始終。可以說在數(shù)學(xué)分析中的幾乎所有的概念都離不開極限。例如微積分中許多概念都把極限作為描述不同特性的重要工具，例如函數(shù)f（x）在x點連續(xù)的定義、函數(shù)f（x）在x點導(dǎo)數(shù)的定義、函數(shù)f（x）在［a，b］上的定積分的定義、數(shù)項級數(shù)的斂散性、廣義積分的斂散性等，都是用極限來定義的，可以說這些概念確定了微積分學(xué)的框架。
　　極限思想方法是數(shù)學(xué)分析乃至全部高等數(shù)學(xué)必不可少的一種重要方法，也是數(shù)學(xué)分析與初等數(shù)學(xué)的本質(zhì)區(qū)別之處。數(shù)學(xué)分析之所以能解決許多初等數(shù)學(xué)無法解決的問題（例如求瞬時速度、曲線弧長、曲邊形面積、曲面體體積等問題），正是由于它包含了極限的思想方法。
　　
　　參考文獻(xiàn)：
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　　［3］郭書春.中國古代數(shù)學(xué)［M］.商務(wù)印書館，2004.