以學生為本是數學課堂教學設計的出發點

　　摘 要： 本文以《正弦定理的引入、探索、發現與證明》一課教學為例，指出新課程理念下的數學教學是數學活動的教學，是師生之間交往互動與共同發展的過程，其核心是學生動手實踐、自主探索、合作交流.數學課堂教學設計的出發點是以學生為本.
　　關鍵詞： 新課程 以學生為本 數學課堂教學
　　
　　1.創設情境引入正弦定理
　　【板書】第一章 解三角形
　　【引入】同學們請看我們將要學習的本章標題:解三角形.我們知道三角形可分為直角三角形與斜三角形;而直角三角形的邊與角的關系在前面已經學習過，故如何解直角三角形我們已經熟悉，下面重點來研究怎樣解斜三角形.
　　提出問題:什么叫解斜三角形?
　　【教師】類比解方程（求方程中未知數的過程），解斜三角形是指由六個元素（三條邊和三個角）中的三個元素（至少有一個是邊）.求其余三個未知元素的過程.簡稱：求斜三角形中未知的邊和角的過程.
　　如:根據下列條件解三角形:a=16，b=26，A=30°.
　　提出問題:如何解決上述問題呢？同學們先回憶以前所學過的有關斜三角形的邊和角有哪些重要的結論.
　　【學生回答】
　　1.三角形內角和定理:三角形三個內角的和等于180°;
　　2.三角形任意兩邊的和大于第三邊（或三角形任意兩邊的差小于第三邊）；
　　3.三角形中，較大的邊所對的角較大;較大的角所對的邊較大.
　　【教師歸納】由結論（1）可知：已知三角形的兩個內角，可以求出第三個內角;而結論（2）、（3）只是定性給出三角形中邊、角之間的關系，對于要想求出三角形邊和角的準確值（解三角形）作用不大。所以要想直接利用它們解決上述問題還比較困難.因此，我們還要進一步探討:在任意三角形中，邊長和角之間還有什么關系?（由此引入為什么要學習正弦定理）
　　2.正弦定理的探索、發現與證明
　　2.1從特殊三角形入手進行觀察發現.
　　【學生活動】
　　1.讓學生觀察并測量一個三角板的邊長，例如，量得三角板三內角所對的三邊長分別約為5cm，8.6cm，10cm.提出問題:你能發現三邊長與其對角的正弦值之比之間的關系嗎?
　　結論：=10，≈10，=10.
　　2.（在任意的直角三角形中探討）如圖1，在Rt△ABC中，你能否發現類似的結論?
　　根據銳角三角函數定義:sinA=，sinB=，sinC=1=，
　　所以==.
　　【教師】對于特殊三角形，我們發現規律==.
　　提出問題:上述規律，對任意三角形成立嗎?
　　2.2實驗，探索規律.
　　【學生活動】二人合作，先在紙上作一個任意銳角（銳角或鈍角）三角形（如圖2），測量三邊長及其三個對角，然后用計算器計算每一邊與其對角正弦值的比，填入下面表中，驗證前面得出的結論是否正確.（其中，角精確到分，邊精確到0.1cm，結果保留3位有效數字）
　　2.3得出實驗結論.
　　【學生小結】忽略測量誤差，通過實驗，對任意三角形，有結論==，即在一個三角形中，各邊和它所對的角的正弦的比相等.
　　【教師】提出問題:上述的探索過程所得出的結論，只是我們通過實驗（近似結果）發現的一個結果，如果我們能在理論上證明它是正確的，則把它叫做正弦定理.那么怎樣證明呢?
　　【板書】正弦定理:三角形的各邊和它所對角的正弦之比相等.即
　　==
　　2.4研究定理的證明方法.
　　【教師引導】方法一：通過三角形面積證明.
　　如圖3，由銳角三角函數的定義可得：
　　△ABC的面積為S=BC?AD=acsinB.
　　同理S=absinC及S=bcsinA，
　　所以acsinB=absinC=bcsinA，
　　所以==.
　　【教師引導】方法二：向量法.
　　①若△ABC為直角三角形，由銳角三角函數的定義知定理成立.
　　②若△ABC為銳角三角形，過點A作單位向量垂直于，則向量與向量的夾角為90°-A，向量與向量的夾角為90°-C（如圖4），且有+=，所以?（+）=?，即?+?=?.展開，||||cos90°+||||cos（90°-C）=||||cos（90°-A），則得asinC=csinA，即=.同理，過點C作單位向量垂直于，可得=，故有==.
　　③若△ABC為鈍角三角形，不妨設A＞90°角（如圖5），過點A作單位向量垂直于，則向量與向量的夾角為A-90°，向量與向量的夾角為90°-C，且有+=，同樣可證得==.
　　【教師】提出問題:你還能利用其他方法證明嗎?請同學們課后自己利用平面幾何中圓內接三角形（銳角、鈍角和直角）及同弧所對的圓周角相等知識，將△ABC中的邊角關系轉化為以直徑為斜邊的直角三角形中去探討證明方法.
　　3.課后反思
　　3.1新課程倡導在教學中要注重數學知識的來龍去脈，數學知識的形成源于實際的需要和數學內部的需要.從數學內部需要出發引入新的知識，需要讓學生經歷發現問題、分析問題并探索解決途徑，驗證并應用所得的結論的全過程，教師切忌和盤端出.本案例，學生通過回憶所學過的有關三角形知識，發現要想解斜三角形，所學的知識還不夠，為了解決這一矛盾，還需要進一步研究、探討任意三角形的邊角關系，這樣讓學生知道我們學習正弦定理主要源于數學內部需要，并為今后進一步利用它解決實際問題所服務.
　　3.2傳統的數學課程內容重結果輕過程，形成結果的生動過程往往被單調機械的條文所取代，所以數學教學中有太多的機械、沉悶和程式化，缺乏生機、樂趣和對好奇心的刺激.于是，學習無需智慧，只要認真聽講和單純記憶，讀書不必深入思考，做題不必詰問創新，排斥了學生數學學習過程中的思考和個性.本案例，通過對特殊三角形（直角三角形）的各邊與所對角的正弦值之比尋找規律，進而推廣到任意三角形.這種由特殊到一般的猜想屬于合情推理，關注合情推理能力地培養學生的創新精神。當然，由合情推理得到的猜想常常需要證明（演繹推理），故又進一步探討了正弦定理的證明，從而讓學生體會到演繹推理和合情推理是既不相同又相輔相成的兩種推理形式.
　　3.3《新課程標準》指出:動手實踐、自主探索與合作交流是學生學習數學的重要方式，數學學習活動應該是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程.數學的學習方式不能再是單一的、枯燥的、以被動聽講和練習為主的方式，它應該是一個充滿生命力的過程，學生要有充分的進行數學活動的時間和空間，在自主探索、親身實踐、合作交流的氛圍中，解決困惑，更清楚地明確自己的思想，并有機會分享自己和他人的想法.本案例，在正弦定理的探索、發現過程中，學生通過自己動手實踐，自主探索，尋找規律，得出結論.在驗證結論時，又通過二人合作完成表格，進一步明確結論.這對于提高學生學習的積極性，改變傳統的學習方式，落實新課標的精神起到了積極作用.
　　3.4數學教學過程是教師引導學生進行數學活動的過程.首先，數學活動就是學生經歷數學化過程的活動，數學活動就是學生學習數學，探索、掌握和應用數學知識的活動.簡單地說，在數學活動中要有數學思考的含量，數學活動不是一般的活動，而是讓學生經歷數學化過程的活動，數學化是指學習者從自己的數學現實出發，經過自己的思考，得出有關數學結論的過程.其次，數學活動又是學生自己建構數學知識的活動.從建構主義的角度來看，數學學習是指學生自己建構數學知識的活動，學生與教材（文本）及教師產生交互作用，形成了數學知識、技能和能力，發展了情感態度和思維品質.每位數學教師都必須深刻認識到，是學生在學數學，學生應當成為主動探索知識的“建構者”，而不是模仿者.無論教師的教還是學生的學，都要在學生那里得到充分體現，不懂得學生能建構自己的數學知識結構，不考慮學生作為主體的教學，不會有好的效果.
　　
　　參考文獻：
　　［1］數學課程標準解讀（實驗稿）.教育部基礎教育司.