首發命中的數學模型解析及驗證

　　摘 要： 文章從彈著點散布的統計理論出發，研究了擊毀目標的數學模型，并根據這一模型推出首發命中擊毀目標的數學依據，最后對數學模型行了數學驗證。
　　關鍵詞： 首發命中 射擊效率 數學模型
　　
　　現代戰爭中，首發命中不僅能提高第一時間摧毀敵目標的概率，而且對于整個戰局起著至關重要的作用。在一定條件下大量重復射擊，其彈著點總是圍繞著某一點散落的，這些點密集在此點的周圍，我們稱這一點為散布中心；經過大量的統計發現，這種彈著點的散布是服從正態分布規律的。假如我們考慮的是平面散布，目標的位置在坐標原點，那么，彈著點對目標的偏離，可以用兩個隨機變量加以描述。對于這類平面散布，在正態分布的假設下，可設它的概率密度為φ（x、y）
　　φ（x，y）=e
　　其中（μ，μ）為散布中心，也即平均彈著點位置的坐標。由于靶心在原點，因此（μ，μ）稱為系統誤差。σ和σ分別為沿O軸與O軸的均方差。此時，彈著點的坐標為
　　x=μ+ε，y=μ+ε
　　ε，ε是隨機誤差，它隨著各次射擊而隨機改變。顯然，射擊條件相同時，系統誤差μ，μ應不變化。
　　對于神槍手來說，或在比較規范的射擊條件下，散布中心往往與靶心相一致。故若設（μ，μ）=（0，0），則
　　φ（x，y）=e
　　如果隨機變量x、y是相互獨立的，那么
　　φ（x、y）=φ（x）φ（y），
　　其中
　　φ（t）=e
　　這里t為某隨機變量。在此情況下，彈著點散布函數為F（x、y），且
　　F（x，y）=F（x）F（y）
　　其中
　　系統誤差μ，μ，均方誤差φ，φ等均稱為散布特征。
　　在討論首發命中時，必須涉及“擊毀”這一概念。因為只有擊毀敵方的目標，才能使對方的戰斗能力完全喪失。有一些射擊可能只有在直接命中目標的情況下，才能擊毀目標；而另一些射擊在目標附近的某個距離范圍內爆炸也能擊毀目標。我們引進一個概念：目標擊毀率，它是指當一定數量的帶觸發引信的戰斗部在直接命中目標時，或觸發引信的戰斗部在某點爆炸時擊毀（殺傷）目標的條件概率，記作G（K）。
　　然而，擊毀率G（K）是比較復雜的，它與（所射彈丸的）戰斗部威力、目標的易損程度、彈著點、引信的動作特點有關。
　　G（K）定義：
　　G（K）=1-（1-α）
　　其中α表示一發射彈擊中目標時的目標被毀率，K是擊中的彈的發數。若假設命中彈對目標沒有損傷積累，也即各發彈擊毀目標的事件相互獨立，并且每次命中目標的毀傷概率相同，則擊毀目標的射彈平均數（期望數）應為
　　E=1+［（1-a）+（1-a）+…］=
　　若用A表示“擊毀目標”這一事件，則該概率應記作W=P（A）。設用武器直射目標時，目標被毀概率用G（K）表示。假設對某單個目標射擊n次而有m發彈擊中目標的概率是P，又設有一發彈命中目標、兩發彈命中目標，所有n發彈都命中目標等諸事件是互不相容的，那么
　　W=P（A）=PG（m）
　　讓我們舉個例子。設有某軍事設施，它的幅員可劃分成三個部分：Ⅰ區、Ⅱ區、Ⅲ區，其中Ⅰ區為要害部分，占30%；Ⅱ區為次要害部分，占20%；Ⅲ為非致命部分，占50%。攻擊Ⅰ區，只需1枚某型導彈即可將該設施摧毀；攻擊Ⅱ區需同型號導彈2枚；而攻擊Ⅲ區至少需同型號導彈3枚。現向該設施發射同型號導彈4枚，設命中1、2、3、4枚的概率分別是P=0.3，P=0.35，P=0.20，P=0.15，試計算該軍事設施的被毀概率W。
　　實際上，只需算出G（K）（K=1，2，3，4）便可得到W，因為Ⅰ區只有中1枚導彈才算被毀，而Ⅰ區所占面積為30%，所以G（1）=0.30。發射2枚時，必須至少有Ⅰ枚擊中Ⅰ區或2枚均擊中Ⅱ區，所以
　　G（2）=1-（1-0.3）+0.2=0.55
　　3枚命中而該設施未被擊毀的情況，只有在1枚中Ⅱ而2枚擊中Ⅲ區時才可能出現，所以G（3）=1-3×0.2×0.5=0.85。
　　由于擊中Ⅲ區3枚以上即可將該設施摧毀，因此，只要4枚均命中，在任何情況下該設施均會被摧毀，因此G（4）=1G，從而有
　　W=PG（m）=0.603
　　從這一結果可以看出，首發命中對摧毀目標的概率非常重要。
　　
　　參考文獻：
　　［1］蔣澤軍.模糊數學教程［M］.北京：國防工業出版社，2007.
　　［2］葉義成.系統綜合評價技術及其應用［M］.北京：冶金工業出版社，2006.