導數在不等式證明中的應用

　　摘 要： 導數知識是“高等數學”中極其重要的部分，它的內容、思想和應用貫穿于整個高等數學的教學之中。微分中值定理和導數應用是導數知識中的重要內容，它們在不等式證明中有著廣泛的運用。
　　關鍵詞： 導數 不等式證明 中值定理 泰勒公式 應用
　　
　　導數知識是高等數學中極其重要的部分，它的內容思想和應用貫穿于整個高等數學的教學之中.微分中值定理和導數應用是導數知識中的重要內容.微分中值定理主要有:Roller定理，Lagrange中值定理，Cauchy中值定理.導數的應用主要包括：利用導數判斷函數的單調性、最值、凸性、泰勒公式等.我們可以根據這些定理的內容把它們和要證明的不等式有機結合起來，尋找證明的有效途徑.
　　1．利用拉格朗日中值定理證明不等式
　　利用拉格朗日中值定理，一般要考慮導函數f′（x）的單調性，但有時不一定要求導函數具有單調性，如果能斷定導函數在所討論的區間上不變號，從而確定函數的單調性，也可以推證出不等式.解決這類問題的一般步驟是:
　　第一步：分析要證明的不等式，通過適當的變形后，選取輔助函數f（x）和區間［a，b］;
　　第二步：根據拉格朗日中值定理得到=f′（c）；
　　第三步：根據導函數f′（x）在（a，b）上的單調性，把f′（c）作適當放大和縮小，從而推證要證明的不等式.
　　例1：如果0＜x＜1，試證（1-x）e＜1+x.
　　證明：將要證明的不等式變形為（1-x）e-（1+x）＜0（0＜x＜1），令f（x）=（1-x）e-（1+x），則f′（x）=（1-2x）e-1，在（0，x）（0＜x＜1）上應用拉格朗日中值定理，得f（x）-f（0）=f′（c）（x-0）（0＜c＜x），而（1-x）e-（1+x）=［（1-2c）e-1］x（0＜c＜x）.
　　但在（0，1）上我們不易判別f′（x）的符號，為此我們由f（x）在（0，1）上的二階導數f″（x）的符號來判別f′（x）的單調增減性，因為f″（x）=-4xe＜0（0＜x＜1），所以f′（x）在（0，1）上單調減少，從而有f′（1）＜f′（x）＜f′（0）=0.于是
　　（1-x）e-（1+x）=［（1-2c）e-1］x＜0，
　　即（1-x）e-（1+x）＜0（0＜x＜1）.
　　例2：證明不等式＜ln＜（0＜a＜b）.
　　證明：設f（x）=ln（x），則f（x）在區間［a，b］上滿足拉格朗日中值定理的條件，所以存在c∈（a，b），使得f′（c）=，由f′（c）=，得=.
　　又因＜＜，于是＜lnb-lna＜，即＜ln＜.
　　2．利用函數的單調性證明不等式
　　許多不等式與函數相關，或整理后與函數相關，我們可以先用導數證明函數的單調性，再用函數單調性的性質去證明不等式，這就是利用單調性證明不等式的思想.用單調性證明不等式的步驟：
　?。?）確定函數自變量所在的區間［a，b］;
　　（2）求f′（x），確定f（x）在區間［a，b］上的單調性;
　?。?）由單調性得到不等式.
　　例3:證明：當x＞1時，不等式lnx＞恒成立.
　　證明：令f（x）=lnx-，則f′（x）=-=.
　　因為x＞1，所以f′（x）＞0，即x＞1時，f′（x）為增函數，所以：
　　f（x）＞f（1）=ln1-=0，
　　所以lnx-＞0，即lnx＞.
　　3．利用函數的凹凸性證明不等式
　　若函數y=f（x）在區間（a，b）上是凹（凸）的，則對（a，b）內任意兩點x和x，都有f（）＜（＞）［f（x）+f（x）］，從而可利用函數圖形的凹凸性證明一些不等式，特別是一類多元不等式.通常是根據欲證不等式，構造輔助函數，利用該函數在某區間上的二階導數的正負來判定在該區間上的凹凸性，從而證明不等式.
　　例4:證明不等式xlnx+ylny＞（x+y）ln（x＞0，y＞0，x≠y）.
　　分析：觀察欲證不等式，易發現其等價不等式為＞ln，從而易想到應構造輔助函數f（t）=tlnt（t＞0）.
　　證明：令f（t）=tlnt（t＞0），因為f′（t）=1+lnt，f″（t）=＞0，所以f（x）在（0，+∞）內是凹的，于是對于任給x，y∈（0，+∞），x≠y，都有
　　＞ln，
　　所以xlnx+ylny＞（x+y）ln.
　　4．利用泰勒公式證明不等式
　　如果函數f（x）的二階和二階以上導數存在且有界，可以利用泰勒公式證明這些不等式.
　　證題思路：①寫出比最高階導數低一階的泰勒展開式;
　?、谇‘斶x擇等式兩邊x與x;
　?、鄹鶕罡唠A導數的大小或界對展開式進行放縮.
　　例5:設f（x）在區間（a，b）內二階可導，且f″（x）≥0，則：
　　f≤，
　　其中p，p，…，p均為正數，x，x，…，x∈（a，b）.
　　證明：記x=，則x∈（a，b）.
　　由于f（x）在（a，b）內二階可導，故f（x）在點x處一階泰勒公式成立，
　　f（x）=f（x）+f′（x）（x-x）+（x-x）（x＜ξ＜x）.
　　因為f″（x）≥0，x∈（a，b），所以f″（ξ）≥0，所以f（x）≥f（x）+f′（x）（x-x），
　　分別取x=x，x，…，x，則有f（x）≥f（x）+f′（x）（x-x），
　　f（x）≥f（x）+f′（x）（x-x），…，f（x）≥f（x）+f′（x）（x-x），
　　以上各不等式分別乘以p，p，…，p，得：
　　pf（x）≥pf（x）+pf′（x）（x-x），pf（x）≥pf（x）+pf′（x）（x-x），
　　…，pf（x）≥pf（x）+pf′（x）（x-x），
　　將上面n個不等式相加，得：
　　pf（x）+pf（x）+…+pf（x）≥（p+p+…+p）f（x）+f′（x）［px+px+…+px-（p+p+…+p）x］
　　因為x=，所以：
　　pf（x）+pf（x）+…+pf（x）≥（p+p+…+p）f（x），
　　此即f（x）≤，
　　從而f≤.
　　通過研究導數在不等式證明中的應用能簡化解題過程，以及計算步驟，導數為以往數學問題的解決注入了新的活力，為數學解題提供了有力的工具，使不等式的證明變得更加簡單.
　　
　　參考文獻：
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