機械能守恒定律的幾個表達式及應用

　　在物體系內(nèi)，只有重力和彈簧彈力做功的情形下，動能和勢能可以相互轉(zhuǎn)化，總的機械能保持不變，這就是我們熟悉的機械能守恒定律。
　　一、機械能守恒定律的表達式
　　（1）E+E=E+E（或E=E）
　　該式表示所研究的物理過程中，任意兩個狀態(tài)的機械能總量相等。
　　（2） △E=△E
　　該式表示系統(tǒng)動能的增加量等于系統(tǒng)勢能的減少量。
　?。?） △E=△E
　　該式表示將系統(tǒng)分為a、b兩部分，a部分機械能的增加量等于b部分的減少量。
　　在應用上面的表達式解題時，第一個表達式中的E是相對的，建立方程時必須選擇合適的零勢能參考面，且每一個狀態(tài)的E都應是相對同一個參考平面而言，平時練習中大多數(shù)的題目都可用它來解決；后兩種表達式由于研究的是變化量，無需選擇零勢能面，有些問題利用它們解題顯得非常方便，特別是在選擇零勢能面時會出現(xiàn)未知的高度時，用這種表達式來解決更為方便，但是問題中一定要搞清楚增加量和減少量。
　　應用機械能守恒定律解題的基本步驟包含：（1）確定研究對象和研究過程；（2）判斷機械能是否守恒；（3）選定一種表達式，列式求解。
　　二、機械能守恒定律表達式的應用
　　例1.如圖所示，均勻鐵鏈長為L，平放在距離地面高為2L的光滑水平面上，其長度的懸垂于桌面下，從靜止開始釋放鐵鏈，求鐵鏈下端剛要著地時的速度？
　　解：鐵鏈在運動中機械能守恒，選取地面為零勢能面：
　　mg2L+mg(2L-)=mg+mv 得：
　　v=。
　　本題所涉及的屬于單個物體，切所給高度已知，所以用表達式（1）較簡便。
　　例2.如圖所示，半徑為R的光滑半圓上有兩個小球A、B，質(zhì)量分別為m和M，由細線掛著，今由靜止開始無初速度自由釋放，求小球A升至最高C點時A、B兩球的速度？
　　解析：A球沿半圓弧運動，繩長不變，A、B兩球通過的路程相等，A上升的高度為h=R；B球下降的高度為H==；對于系統(tǒng)，由機械能守恒定律得： -ΔE=ΔE；
　　∴ΔE=-Mg+mgR=(M+m)v
　　∴v=。
　　本題也可用表達式（1）來解。
　　例3.如圖所示，質(zhì)量分別為2m和3m的兩個小球固定在一根直角尺的兩端A、B，直角尺的頂點O處有光滑的固定轉(zhuǎn)動軸。AO、BO的長分別為2L和L。開始時直角尺的AO部分處于水平位置而B在O的正下方。讓該系統(tǒng)由靜止開始自由轉(zhuǎn)動，求：
　?。?）當A到達最低點時，A小球的速度大小v；
　　（2）B球能上升的最大高度h；
　　（3）開始轉(zhuǎn)動后B球可能達到的最大速度v。
　　解：以直角尺和兩小球組成的系統(tǒng)為對象，由于轉(zhuǎn)動過程不受摩擦和介質(zhì)阻力，所以該系統(tǒng)的機械能守恒。
　?。?）過程中A的重力勢能減少，A、B的動能和B的重力勢能增加，A的即時速度總是B的2倍。
　　2mg?2L=3mg?L+?2m?v+?3m（），解得v=。
　?。?）B球不可能到達O的正上方，它到達最大高度時速度一定為零，設該位置比OA豎直位置向左偏了α角。
　　2mg?2Lcosα=3mg?L(1+sinα)，此式可化簡為4cosα-3sinα=3。
　　利用三角公式可解得sin(53°-α)=sin37°，α=16°。
　?。?）B球速度最大時就是系統(tǒng)動能最大時，而系統(tǒng)動能增大等于系統(tǒng)重力做的功W。設OA從開始轉(zhuǎn)過θ角時B球速度最大，
　　?2m?（2v）+?3m?v=2mg?2Lsinθ-3mg?L（1-cosθ）=mgL(4sinθ+3cosθ-3)≤2mg?L，
　　解得v=。
　　本題如果用E+E= E′+E′這種表達形式，就需要規(guī)定重力勢能的參考平面，顯然比較煩瑣。用ΔE=ΔE就要簡潔得多。