巧用“設而不求法”求解高考題

　　摘 要： 本文以幾道高考題為例，闡述直線和圓錐曲線相交，涉及交點坐標問題且計比較復雜時，可巧設一些輔助元（參數(shù)），然后在解題過程中，巧妙地消去輔助元（參數(shù)），而不必求出這些輔助元（參數(shù)）的值，以優(yōu)化解題過程，使計算過程更為簡捷.
　　關(guān)鍵詞： “設而不求” 高考題 設參數(shù) 消參數(shù)
　　
　　高考題一直注重對考生的數(shù)學基本能力的考查，特別是強調(diào)考查考生的運算求解能力.在平時的教學中，我們感觸最深的是一些學生計算時不講究技巧和策略，只要一遇到計算稍微復雜一些的題目就放棄.因此尋找簡捷、合理的運算途徑是運算求解能力的核心.而“設而不求”就是在運算求解時比較好的一種方法，可以大大地減少繁瑣的計算量.具體地講，“設而不求”就是指在解題時，可設一些輔助元（參數(shù)），然后在解題過程中，巧妙地消去輔助元（參數(shù)），而不必求出這些輔助元（參數(shù)）的值（有時也求不出），以優(yōu)化解題過程，使解題方法便捷.下面以幾道高考中的解析幾何題為例來說明，希望能為高中數(shù)學教學提供一些幫助.
　　例1.（2011年江蘇第8題）在平面直角坐標系XOY中，過坐標原點的一條直線與函數(shù)f（x）=的圖像交于P、Q兩點，則線段PQ長的最小值是？
　　解：設P（x，y），則y=，由題知P、Q關(guān)于原點對稱，得Q（-x，-y），PQ==≥=4，當且僅當x=±時，線段PQ長的最小值是4.
　　例2.（2011年江蘇第18題）如圖，在平面直角坐標系XOY中，M、N分別是橢圓+=1的頂點，過坐標原點的直線交橢圓P、A兩點，其中P在第一象限，過P作x軸的垂線，垂足為C，連接AC，并延長交橢圓于點B，設直線PA的斜率為k，
　　（1）若直線PA平分線段MN，求K的值；
　　（2）當K=2時，求點P到直線AB的距離；
　　（3）對任意k＞0，求證：PA⊥PB.
　　（1）和（2）問的答案省略.只看第（3）問：
　　證法一：設P（x，y），B（x，y）則A（-x，-y），
　　C（x，0），由C在直線AB上得:
　　k===k，即=2
　　所以k?k=?=?2=2①
　　由P，A，B在橢圓上得+=1，+=1，因此y-y=2（1-）-2（1-）=（x-x），將其代入①
　　得k?k=-1，所以PA⊥PB.
　　證法二：設P（x，y），B（x，y）則A（-x，-y），C（x，0），x＞0，x＞0，且x≠x，由P，A，B在橢圓上得+=1，+=1，
　　兩式相減得=（-）①
　　由A，B，C三點共線得k=k，即=②
　　將①②兩式依次代入k==（-）=（-）×=-，
　　又k=，所以k?k=-1，即PA⊥PB.
　　證法三：設P（x，y）則A（-x，-y），C（x，0），k=，+=1，
　　又可得直線AC的方程是y+y=（x+x）①
　　過點P作AP的垂線l，則垂線l的方程是y-y=-（x-x）②
　　①②兩式相乘得y-y=-（x-x），整理得y+x=y+x，
　　進一步得+=+=1，
　　即直線l與直線AC的交點在橢圓+=1上.得證.
　　評注：此法顯然比證法一和證法二更為簡捷，它實質(zhì)是我們求軌跡和軌跡方程中的一種特殊的方法——“交軌法”，當然也是設而不求法的一個特例.做題時要靈活選擇解題方法.
　　證法四：設P（2cosα，sinα），B（2cosβ，sinβ），則A（-2cosα，-sinα），
　　C（-2cosα，0），由A，B，C三點共線得k=k，即=.
　　代入k==×2，因k=，
　　所以k?k=×2×===-1，即PA⊥PB.
　　例3.（2010年江蘇第18題）在平面直角坐標系xoy中，如圖，已知橢圓+=1的左右頂點為A，B，右焦點為F，設過點T（t，m）的直線TA，TB與橢圓分別交于點M（x，y），N（x，y），其中m＞0，y＞0，y＜0.
　　（1）（2）問略，（3）設t=9，求證：直線MN必過x軸上的一定點（其坐標與m無關(guān)）.
　　分析：此問可采取“設而不求”，即首先設M（x，y），N（x，y），然后由已知條件M，N在橢圓上和A，M，T與B，N，T三點共線得到關(guān)于x，y，x，y的方程，最后思考由上面的方程如何處理，消去參數(shù)m才能得到直線MN過x軸上的一定點（h，0），即化成如下形式=.
　　證明：A（-3，0），B（3，0），T（9，m），M（x，y），N（x，y），-3＜x＜3，-3＜x＜3
　　由A，M，T三點共線得k=k，即=，
　　由B，N，T三點共線得k=k，即=，
　　上兩式消去參數(shù)m得=①
　　由M，N在橢圓上得+=1，+=1，即==②
　　將①代入②得=，化簡得=③
　　③再代入①式得==
　　若x≠1，由上式可進一步得到==，即=.
　　即M點與點（1，0）的斜率和N點與點（1，0）的斜率相等，即直線MN過定點（1，0）.若x=1，由③得x=1，此時直線MN也過點（1，0）.
　　綜上，直線MN必過x軸上的一定點（1，0）.
　　評注：1.此問若按常規(guī)思路，將含參數(shù)m的直線AT、BT的方程和橢圓方程分別聯(lián)立，求出M、N的坐標后，再求直線MN的方程，最后找定點，那么運算過于繁雜.因此在2010年高考中此問全省很少有考生做出來.
　　2.由以上幾個高考題可知，“設而不求”法實質(zhì)上是一種整體代換，說簡單點就是設了參數(shù)，但在解題過程中，不需求出參數(shù)的具體值，而在運算過程中被消掉，只是起到了橋梁作用，如上面的“交軌法”、“點差法”、“參數(shù)法”等.它主要適合于直線和圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）相交時，涉及交點坐標的問題.具體的第一種做法是：首先設交點坐標是（x，y），（x，y）；然后由已知條件列出所有關(guān)于x，y，x，y的方程；最后思考由上面的方程如何處理（比如是y-y還是，還是y+y或y×y，等等），才能得到所需要的結(jié)果.第二種做法是：借助于參數(shù)方程求解.做題時可靈活選取.