也談遞延年金

　　【摘要】 文章對現行遞延年金的定義進行了介紹和分析，指出權威教材只定義了遞延年金的一種表現形式，實際上遞延年金還有另外一種表現形式，并歸納出兩種表現形式下的年金計算方法，最終得出遞延年金較準確而全面的定義。
　　【關鍵詞】 年金；遞延年金；定義；計算
　　
　　一、通常對遞延年金的定義和計算
　　
　　年金（Annuity）是指一定期間每期相等金額的收付款項。年金的三個特征是：時間間隔期限相同；發生金額相等；系列收付款項。采用平均年限法計提的折舊、租金、利息、保險金、養老金等通常都采用年金的形式，因而在財務管理的時間價值計算中應用非常普遍。
　　年金根據發生的時間不同，一般分為后付年金、預付年金、遞延年金和永續年金。本文僅就遞延年金的定義和計算進行介紹。
　?。ㄒ唬┩ǔf延年金的定義
　　遞延年金也叫延期年金，是指第一次收付款發生時間與第一期無關，而是隔若干期（假設為m期，m>1）后才開始發生系列等額收付款項。它是普通年金的特殊形式，凡不是從第一期開始的年金都是遞延年金（財政部會計資格評價中心編《財務管理》。其他如人民大學出版社，荊新、王化成、劉俊彥主編《財務管理學》中的定義是：遞延年金是在最初若干期沒有收付款項的情況下，后面若干期等額的系列收付款項。注冊會計師考試指定教材和會計師資格考試指定教材等權威版本對遞延年金的定義也基本類似。按照這種定義，遞延年金的特點可以概括為：（1）普通年金的特殊形式；（2）不是從第一期開始而是從第二期以后發生的普通年金。
　　為了方便理解這種定義，筆者假設遞延期為m，年金發生期為n，其現金流量圖如圖1所示。
　　（二）通常遞延年金現值的計算
　　根據上述對遞延年金的定義和現金流量圖可知，遞延期發生在前，年金發生期在后。這類遞延年金終值的計算就是計算n期普通年金的終值，無須贅述。對這類遞延年金的現值的計算有兩種方法。
　　1.順算法：順算法是將n期普通年金現值折算到m點，然后再貼現m期即可。
　　其計算公式為：PVA=A×PVIFA i、n×PVIF i、m
　　式中：PVA為遞延年金現值，PVIFA為年金現值系數，PVIF為復利現值系數，i為貼現率，n為年金發生期，m為遞延期。
　　2.扣除法：前提是假定m期也發生年金A，看起來就是一個典型的m+n期普通年金了，計算出m+n期普通年金現值后減去m期實際沒有發生的m期普通年金現值， 差就是遞延年金的現值。
　　公式為：PVA=A×PVIFA i、m+n －A×PVIFA i、m
　　 = A（PVIFA i、m+n－PVIFA i、m）
　　式中的字母含義同上。
　　例1，某企業準備在第5年末起每年取出10萬元用于職工培訓，共計5年，年利率為10%，則現在應存入銀行多少錢？
　　已知：A=10萬元，m=4，n=5，m+n=9
　　則方法一：
　　PVA=A×PVIFA i、n×PVIF i、m=10×PVIFA10%、5×PVIF 10%、4
　　=10×3.7908×0.683=25.8910（萬元）
　　或方法二：
　　PVA= A（PVIFA i、m+n－PVIFA i、m）=10×（PVIFA10%、9-PVIFA10%、4）
　　 =10×（507 590-3.1699）=25.8912（萬元）
　　
　　二、另外一種遞延年金介紹
　　
　　筆者在長期的財務管理教學中，經常碰到另外一種類似前述遞延年金的系列收付款現象，即年金發生期發生在前，而遞延期發生在后。比如有些保險險種，前幾年要交保險，交了若干期后就不再交了，等到若干期后一次性還款。這就是典型的年金發生期在前，而遞延期發生在后的一種年金形式。那么，這類年金屬于哪一類年金呢？筆者認為，這也應該屬于遞延年金的范疇。現行權威教材對遞延年金的定義之所以只規定遞延期在前，年金發生期在后的系列收付款項屬于遞延年金，是因為一般的投資決策計算的是現值指標。而年金發生期發生在前，遞延期發生在后的系列收付款的現值計算就是計算普通年金的現值，因而討論沒有意義。然而毋庸置疑的是利用終值指標進行決策也是投資決策重要的方法之一，有些時候可以使計算更加簡化。這種遞延年金的特點可以歸納為一是普通年金的特殊形式；二是從第一期開始發生而從第二期以后不再發生的普通年金。與通常定義下的遞延年金相比，其年金發生期在前，而遞延期在后。年金發生期與遞延期剛好顛倒。例2可以說明這個問題。
　　這種類型的遞延年金的現金流量圖如圖2所示。為統一起見，還是假定遞延期為m期，年金發生期為n期。
　　對這種類型的遞延年金，計算其現值即計算n期普通年金的現值，不再贅述，而對于計算其終值同樣也有兩種方法：
　?。ㄒ唬╉標惴?br/>　　順算法是指先計算n期普通年金的終值；然后計算n期普通年金終值的m期的終值。
　　用公式表述為：FVA=A×FVIFA i、n×FVIF i、m
　　式中：FVA為年金終值，FVIFA為年金終值系數，FVIF為復利終值系數，n為年金發生期，m為遞延期，i為貼現率。
　?。ǘ┛鄢?br/>　　假定遞延近期m期也發生年金A，這樣就是一個典型的m+n期的普通年金，計算出m+n期普通年金終值后再減去m期普通年金的終值，即是n期遞延年金終值，公式為：
　　FVA=A×FVIFA i、m+n －A×FVIFA i、m
　　 =A（FVIFA i、m+n－FVIFA i、m）
　　式中：FVA為年金終值，FVIFA為年金終值系數，n為年金發生期，m為遞延期，i為貼現率。
　　例2，保險公司推出這樣一份投資保險品種，每年末交5 000元錢，連續交10年，中間10年不再交保險。20年后一次性返回現金10萬元，問這種投資是否合算？（假設同期社會平均投資利潤率為6%）。
　　本例可以利用遞延年金的終值或現值兩種方法解決：
　　方法一：利用遞延年金的終值解決，這種方法比較的是兩個方案的終值。
　　這里的投資返還款10萬元為20年后的終值，因此要計算20期的遞延年金的終值，這個終值與投資返還款10萬元才能進行比較，如果終值小于10萬元，說明投資合算，否則就為不合算。
　　1.順算法：FVA=A×IFA i、n×FVIF i、m
　　=5 000×FVIFA 6%、10×FVIF 6%、10
　　=5 000×13.181×1.7908=118 023（元）
　　大于10萬元， 因而購買這種保險是不合算的。
　　2.扣除法：FVA =A（FVIFA i、m+n－FVIFA i、m）
　　 =5 000×（FVIFA 6%、20－FVIFA 6%、10）
　　 =5 000×（36.786－13.181）=118 025（元）
　　大于10萬元， 因而投資是不合算的，結論同上。
　　方法二：利用普通年金的現值解決，這種方法比較的是兩個方案的現值。
　　先計算10期普通年金的現值；然后計算投資返還款10萬元的現值；最后比較兩個現值的大小。如果年金的現值大于10萬元的現值，則投資是不合算的；反之是合算的。
　　1.計算10期普通年金的現值：
　　PVA=5 000×PVIFA6%、10=5 000×7.3601=36 800.5（元）
　　2.計算10萬元投資返還款的現值：
　　PV=100 000×PVIF6%、20=100 000×0.3118=31 180（元）
　　36 800.5大于31 180，因而投資是不合算的。
　　比較上述兩種方法可知，第一種方法更簡單，因為只需要計算一次終值。也就是利用終值在這里可以簡化計算。而第二種方法需要計算兩個現值，計算更加復雜。這就說明了年金發生期發生在前，而遞延期發生在后的系列收付款列入遞延年金的必要性。
　　綜上所述， 遞延年金是一種年金發生期和遞延期同時存在的年金現象。只不過年金發生期和遞延期發生在先在后的問題。因而筆者認為：遞延期在前，年金發生期在后屬于遞延年金；而年金發生期在前，遞延期在后也應該屬于遞延年金。眾所周知，對一個概念下定義時，必須準確全面，不能產生歧異。因此對于遞延年金定義應該是：存在若干沒有收付款時期和年金發生期的系列收付款現象叫遞延年金。這樣定義遞延年金無疑更加全面準確，有些時候對計算資金的時間價值可以起到簡化計算的作用。
　　
　　【主要參考文獻】
　　［1］ 財政部會計資格評價中心編.財務管理［M］.2004：11.
　?。?］ 荊新，王化成，劉俊彥.財務管理學［M］.人民大學出版社，2005：9.
　?。?］ 中國注冊會計師協會編.財務成本管理［M］.經濟科學出版社，2008：4.
　?。?］ 何恩良，萬仁新，方國旗.財務管理學［M］.吉林大學出版社，2011：1.