一種混沌電路的設計與仿真

陳文敏

（成都紡織高等專科學校電子信息與電氣工程系，四川 成都 611731）

一種混沌電路的設計與仿真

陳文敏

（成都紡織高等專科學校電子信息與電氣工程系，四川 成都 611731）

研究一種混沌電路，對其數學模型進行分析；設計電路原理圖，并利用EWB軟件平臺進行仿真，理論分析仿真結果得到證實。

混沌；仿真；奇怪吸引子

混沌現象揭示了自然界和人類社會中普遍存在復雜性，有序性和無序性的統一、確定性和隨機性的統一，它既涉及到自然科學又涉及到社會科學，覆蓋面大，跨學科廣，綜合性強，發展前景和影響之深都是空前的，改變著幾乎所有科學和技術領域［1］。長期以來，人們在認識和描述運動時，大多只局限于線性動力學描述方法，即確定的運動有一個完美確定的解析解。但是自然界在相當多情況下，非線性現象卻起著很大的作用。1963年美國氣象學家Lorenz在分析天氣預報模型時，首先發現空氣動力學中的混沌現象，該現象只能用非線性動力學來解釋。于是，1975年混沌作為一個新的科學名詞首次出現在科學文獻中［2］。從此，非線性動力學迅速發展，成為有豐富內容的研究領域。該學科涉及非常廣泛，從電子學到物理學，從氣象學到生態學，從數學到經濟學等［3］。混沌通常具有下述主要特征：非線性、對初值極端敏感性、遍歷性、隨機性和分數維特性［4］。混沌通常相應于不規則或非周期性，這是由非線性系統本質產生的。混沌電路，簡單地說就是能夠產生混沌現象的電路。

現代電路理論的一個重要的內容就是研究非線性電路，而混沌電路的研究是非線性電路研究的重要分支之一［5］。混沌電路主要研究的內容包括混沌電路概念、混沌電路數學基礎、基本分析方法、基本設計方法和混沌電路應用等方面。本文主要討論一種混沌電路的設計與仿真。

1 數學模型

幾十年來，研究者們已經提出了很多種能產生混沌現象的三階非線性微分方程和其他方程，如李納德（Leonard）方程、杜芬（Doffing）方程、洛倫茲（Lorenz）方程［6］、蔡氏方程、陳氏方程等，這些方程都是相應的混沌電路的數學模型。本文研究的混沌電路的數學模型為

這是一個三階常系數非線性微分方程，由于方程中不含時間t，所以是一個三階自治方程。為便于設計，可做如下變換，將方程（1）變成一個三階常微分方程組。

2 理論分析

解式（3）可得到系統的2個平衡點，O（1，0，0）和E（－1，0，0）。在平衡點O（1，0，0）處對（2）進行線性化處理可得

由式（4）可知，其雅可比（Jacobi）矩陣為

為求得特征值λ，令

可解得在平衡點O（1，0，0）處的3個特征值為

由式（5）可知，3個特征值中，2個實部為負值，1個實部為正值，所以平衡點O（1，0，0）為鞍點［2］，其指標為1，是不穩定的。

同理可求得在平衡點E（－1，0，0）處的3個特征值為

由式（6）可知，平衡點E（－1，0，0）也是一個鞍點，其指標為2，也是不穩定的。另外，方程（1）的李雅普諾夫指數λL1＝0.105、λL2＝0和λL3＝ －0.545，系統具有一個正的李雅普諾夫指數，其吸引子是奇怪吸引子［2］，維數DL

從上述理論分析可知，該模型具有2個平衡鞍點，這是與蔡氏電路通常具有3個平衡點的最大不同之處，同時該模型具有一個正的李雅普諾夫指數，說明該模型能產生混沌現象，當然這還需要后面的仿真試驗來證實。

3 信號框圖

從上面的分析可知，系統具有2個不穩定的鞍點。為了分析系統的動力學特性，利用EWB進行仿真試驗研究。為畫出系統的電路原理圖，先由式（2）可畫出與之對應的信號框圖見圖1。

4 電路原理圖

由圖1可知，實現式（2）的電路應該包括3個積分器、2個放大器、1個乘法器、一個加法器和相應的反相器（圖1未畫出）。從實現的難易程度和成本的考慮，積分器、放大器、加法器和反相器可以用由集成運算放大器構成的單元電路來實現，例如集成運算放大器可選用TL084CN，而乘法器可以選擇集成乘法器，如AD633AN四象限集成模擬乘法器。在EWB中的電路原理圖見圖2。

5 仿真試驗

按圖2利用EWB軟件平臺進行仿真試驗。仿真結果見圖3～8，其中圖3～5分別為系統輸出X、Y和Z的時域波形，圖5～8分別為X－Y、Y－Z和X－Z的相圖。

由圖3～8可知，電路出現了奇怪吸引子，產生了混沌，證實了理論分析的結論。

圖1 式（2）的信號框圖Figure 1 Signal diagram

圖2 系統的電路原理圖Figure 2 Circuit principle diagram

6 結語

通過設計一個基于三階常系數非線性微分方程的混沌電路。①分析系統的平衡點，得出了該系統的2個平衡點都是不穩定的鞍點的結論；并計算了系統的李雅普諾夫指數和系統的維數，理論分析都指出由式（1）描述的系統是一個混沌系統。②對系統在EWB軟件平臺上進行了設計和仿真，仿真結果證實了理論分析的正確性。本文提出的混沌電路具有簡單的拓撲結構且僅僅只有2個平衡點，而該系統具有復雜的動力學行為，這個系統可以用簡單的非線性電路來實現，在保密通信、電子測量等方面具有潛在的應用價值。

1 李詳飛.混沌優化理論在控制系統設計中的研究［D］.長沙：中南大學，2003.

2 劉凌，蘇燕辰，劉崇新.一個新混沌系統及其電路仿真實驗［J］.物理學報，2006，55（8）：3 933～3 937.

3 高金峰.非線性電路與混沌［M］.北京：科學出版社，2005.

4 王東生，曹磊.混沌、分形及其應用［M］.合肥：中國科技大學出版社，1995.

5 黃潤生.混沌及其應用 ［M］.第二版.武漢：武漢大學出版社，2005.

6 楊志民.現代電路理論與設計［M］.北京：清華大學出版社，2009.

A chaos circuit design and simulation

CHEN Wen－min

（Electrical Department，Chengdu Textile College，Chengdu，Sichuan611731，China）

A chaotic circuit was studied，and the mathematical model was analyzed.According to the results of analysis，this conclusion is a chaotic circuit.Then design the circuit principle diagram，and EWB software platform was used to simulate，and the theoretical analysis simulation results was proved.

chaos；simulation；attractor

10.3969／j.issn.1003－5788.2011.04.033

陳文敏（1974－），男，成都紡織高等專科學校講師，工程碩士。E－mail：157547973＠qq.com

2011－04－11